PEMBAHASAN SOAL OSN PG TAHUN 2007

PEMBAHASAN SOAL  OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP TINGKAT KOTA TAHUN 2007

MATA PELAJARAN MATEMATIKA

By : DR. Math’s

SOAL  PILIHAN GANDA NO.  1  – 20 .

1.   Urutan bilangan-bilangan 2⁵⁵⁵⁵ , 5²²²², dan 3³³³³ dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah …

Pembahasan :

Soal ini termasuk soal bilangan berpangkat  a^p , dengan  a dan p bilangan Bulat.

Ada dua kasus untuk jenis soal mengurutkan bilangan berpangkat ini :  a^p , b^q, dan c^r , yaitu :

• Pertama ,  jika  a = b = c (bilangan yang dipangkatkan sama), maka  soal seperti ini sederhana hanya mengurutkan  bilangan pangkatnya yaitu  p , q, dan r .
• Kedua, jika  p = q = r  (bilangan pangkatnya sama) maka yang dilakukan adalah mengurutkan  bilangan  a, b, dan c .

Soal ini termasuk kasus yang kedua, karena bilangan yang dipangkatkan tidak sama yaitu; 2, 5, dan 3. Yang dilakukan adalah membentuk agar bilangan-bilangan itu mempunyai pangkat yang sama .

 2⁵⁵⁵⁵ = (2⁵)¹¹¹¹

5²²²² = (5²)¹¹¹¹

3³³³³= (3³) ¹¹¹¹

Kita ketahui bahwa  2⁵= 32 , 5² = 25 , dan 3³= 27 . dimana  25 < 27 < 32.

Jadi urutan dari yang terkecil sampai yang terbesar adalah 5²²²², 3³³³³ , 2⁵⁵⁵⁵.

Pilihan jawaban B

 2.       Misalkan  a, b, dan c  bilangan bulat.  Pernyataan-pernyataan berikut yang Salah adalah …

Pembahasan :

• Pernyataaan  A benar . Jika  a  membagi  b  dan  b membagi  c, maka  a membagi c.

Bukti :

a  dikatakan membagi  b , jika  ada bilangan bilangan bulat lain k  sehingga  b = k.c

dikatakan juga bahwa b adalah kelipatan dari a dan ditulis  a|b .

a|b  maka b = k₁. a  ,dan   b|c  maka  c = k₂. b   dengan k_{1 ,} k_{2  ­­­} bilangan bulat

                                                                        c =  k₂. k₁. a

k₂. k₁  adalah bilangan bulat dan dapat ditulis k₂. k₁= k, sehingga  c = k. a  ditulis a|c

 atau  a  membagi  c .

• Pernyataan  B benar,  Jika a membagi  b, dan a membagi c, maka  a membagi  b+c.

Bukti :

 a|b  maka b = k₁. a  ,dan   a|c  maka  c = k₂. a   dengan k_{1 ,} k_{2  ­­­} bilangan bulat.

b + c = k₁. a + k₂. a

b + c = (k₁ + k₂) a ,  (k₁+ k₂)= k  merupakan bilangan bulat  sehingga

b + c = k. a ditulis  a|(b +c)    atau   a  membagi (b+c).

• Pernyataan C  benar,  jika  a membagi  b dan a membagi c, maka  a membagi  bc.

 a|b  maka b = k₁. a  , dan   a|c  maka  c = k₂. a   dengan k_{1 ,} k_{2  ­­­} bilangan bulat.

b . c = k₁. a  . k₂. a  = (k₁. k₂. a) a

b . c = k. a ditulis  a|bc  atau  a membagi  b  

• Pernyataan D  salah, jika a membagi c, dan b membagi c, maka ab membagi c .

Bukti :

a|c  maka c = k₁. a  , dan   b|c  maka  c = k₂. b   dengan k_{1 ,} k_{2  ­­­} bilangan bulat.

c . c = k₁. a  . k₂. b  = (k₁. k₂. ) ab

c² = k. ab  dituli  ab | c² atau  ab membagi c²

Pernyataan ini berlaku untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c .

Misalkan  a = 2,  b = 4, dan c = 8 .

2|4 , dan 4|4 , maka  2.4 |8  ini pernyataan yang benar, akan tetapi  jika

a = 2,  b = 4, dan  c = 4,  maka  2.4|4  atau 8|4   ini pernyataan yang salah.

• Penyataan E benar , jika a membagi  b, maka  a membagi  bc . Silahkan pebelajar  mencoba untuk membuktikannya !

3.       Misalkan untuk bilangan bulat  a  dan  b  didefinisikan       Untuk semua bilangan bulat   a, b, c . 

1. a * b = b * a 
2. a * a = a 
3. a * ( b * c ) = ( a * b ) * c 

Pembahasan :

Pernyataan yang benar adalah   I dan II saja . Pilihan jawaban  D

I. 

 II. 

III.   a * ( b * c )  ≠ ( a * b ) * c   silahkan diperiksa ! 

 

4.  Bilangan Cacah lima-digit dengan digit (angka) pertama tidak nol dan semua jumlah digitnya sama dengan 2  ada  sebanyak …

Pembahasan :

Cara pertama :

Sesuai syarat soal, angka pertama (angka puluhan ribuan) yang mungkin hanya 1 dan 2, tetapi angka 1 dan 2 tidak dapat digunakan bersamaan pada satu bilangan karena jumlahnya harus 2.

Bilangan-bilangannya adalah 11000, 10100, 10010, 10001, dan 20000.

Jadi bilangan Cacah tersebut sebanyak  5 .

Cara kedua :

Untuk digit pertama (angka puluhan ribu) 1,  tentukan kemungkinan angka ribuan, ratusan, puluhan serta  satuan dan angka yang digunakan kemungkinannya hanya  0 dan 1 .

• Jika angka ribuannya 1, maka kemungkinan angka ratusan ada 1 kemungkinan yaitu hanya 0, dan ada 1 kemungkinan angka puluhan begitu pula ada 1 kemungkinan angka satuaannya. Jadi ada 1. 1. 1. 1 = 1 kemungkinan
• Jika angka ratusannya  1, maka kemungkinan angka ribuan ada 1 kemungkinan , ada 1 kemungkinan angka puluhan begitu pula ada 1 kemungkinan angka satuaannya.

 Jadi ada 1. 1. 1. 1 = 1 kemungkinan

• Jika angka puluhannya 1, maka kemungkinan angka ribuan ada 1 kemungkinan, dan ada 1 kemungkinan angka ratusan  begitu pula ada 1 kemungkinan angka satuaannya.

 Jadi ada 1. 1. 1. 1 = 1 kemungkinan

• Jika angka 1 sebagai angka satuan , maka kemungkinan angka ribuan ada 1 kemungkinan,  ada 1 kemungkinan angka ratusan  begitu pula ada 1 kemungkinan angka puluhannya.

Jadi ada 1. 1. 1. 1 = 1 kemungkinan

♦ Jadi untuk digit pertamanya 1 ada sebanyak  1 + 1 + 1 + 1 = 4 kemungkinan

♦ Untuk digit  pertamanya 2, maka hanya ada 1 kemungkinan untuk angka ribuan, ratusan,   puluhan dan satuan yaitu 0. Jadi ada 1 . 1 . 1. 1 = 1 kemungkinan.

        Dengan demikian bilangan Cacah yang dimaksud soal  ada sebanyak  4 + 1 = 5 .   (D)

        Cara seperti ini lebih tepat, untuk soal bilangan yang angkanya lebih banyak, akan terhindar dari perhitungan ganda . Seperti contoh soal berikut :

Contoh soal :

 Berapakah banyak bilangan yang dapat dibentuk dari angka-angka  1, 3, 5, dan  7, yang terdiri dari 3 digit (angkanya boleh berulang) tetapi harus memuat angka 5 !

Jika jawabannya   60 atau 64 jelas salah karena ada bilangan yang dihitung ganda.

Coba gunakan cara kedua diatas maka banyaknya bilangan sebanyak 37. Selamat mencoba .

5.  Perhatikan Gambar !

 

Nilai dari  a + b + c + d + e + f + g + h + i  adalah …

Pembahasan :

Karena  yang ditanyakan jumlah besar sudut dalam segi-9 tak beraturan  pada gambar , maka kita bentuk  segi-9 tersebut menjadi 7 bagian bidang segitiga sebagai berikut :

Sehingga nilai dari a + b + c + d + e + f + g + h + i = 7 x 180 = 1.260       (D)

180⁰ adalah jumlah besar sudut dalam segitiga .

 

6.  Suatu bilangan kuadrat jika dibagi 3 , maka kemungkinan sisanya adalah …

 Pembahasan :

Dalam teori bilangan, ini persoalan sisa pembagian bilangan bulat. Disebut kongruensi modulo dari bilangan kuadrat.

Suatu bilangan bulat k jika dibagi 3, maka kemungkinan sisanya 0, 1, atau 2.

Kuadrat adalah operasi hitung pangkat 2. Dalam kongruensi modulo,memiliki sifat  kuadrat pada suatu bilangan, kongruen dengan kuadrat sisa pembagiaannya  sehingga ;

Suatu bilangan k² jika dibagi 3 maka sisanya 0², 1², atau 2²  sama dengan  0, 1, 4 . Karena 4 masih bersisa dibagi 3 yaitu 1 , maka  sisanya  0, 1, atau 1.

Jadi suatu bilangan k² jika dibagi 3 , maka sisanya kemungkinan 0 atau 1 .   (D)

7.  Seorang pedagang membeli 25 kg beras jenis A  seharga Rp 6.000,- setiap kilogram dan 15 kg beras jenis B seharga Rp 4.000,- setiap kg. Kedua jenis beras tersebut kemudian dicampur. Agar mendapat untung 4% setiap kg beras tersebut dijual seharga Rp …

Pembahasan :

Harga pembelian 25 kg beras A seharga = 25 x Rp 6.000,- = Rp 150.000,-

Harga pembelian 15 kg beras B seharga = 15 x Rp 4.000,- = Rp 60.000,-

Harga pembelian 40 kg beras A dan B seharga = Rp 150.000,- + Rp 60.000,- = Rp 210.000,-

Atau harga pembelian setiap kg kedua jenis beras  Rp 210.000,- : 40 = Rp 5.250,-

Agar mendapat untung 4% maka harga penjuan setiap kg beras campuran tersebut seharga

104% x Rp 5.250 =  Rp 5.460     (B)

8 . Jika  f  fungsi dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan asli yang memenuhi

f (x) + f (x+1) = 2x²   dan  f (31) = 99,  maka  f (99) = ….     (C)

Lihat pembahasannya topic  Rumus Rekursif  pada Daftar Isi di sidebar atau klik disini

9.  Diketahui suatu segitiga sama sisi dan setengah lingkaran seperti Gambar 2.

     Gambar 2

Jika panjang sisi segitiga tersebut 14 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah … cm².

 Pembahasan :

Luas daerah yang diarsir = luas segitiga sama sisi – luas setengah lingkaran.

Dalam menghitung luas segitiga sama sisi terlebih dahulu tentukan tingginya, kemudian hitung tingginya. Demikian pula dalam menghitung setengah luas lingkaran yang menyinggung kedua sisi segitiga tersebut terlebih dahulu temukan titik pusat lingkaran, lalu tentukan jari-jarinya dan hitung panjang jari-jari setengah lingkaran tersebut seperti pada gambar berikut :

Buat  segmen garis tinggi CD tegak lurus AB

Menurut  teorema Pythagoras; 

 Maka luas segitiga sama sisi ABC = 1/2 x AB x CD = 1/2 x 14 x 7√3 = 49 √3 cm².

 Karena setengah lingkaran tersebut menyinggung kedua sisi segitiga, maka titik D adalah pusat lingkaran , DE adalah jari-jari setengah lingkaran , dan E titik singgung setengah lingkaran pada satu sisi segitiga ABC.

DE tegak lurus BC (menurut sifat garis singgung lingkaran tegak lurus jari-jari di titik singgungnya). Perhatikan   segitiga DEC siku-siku di E. Besar  sudut ACB = 60⁰ , maka besar sudut DCE = 30⁰ sehingga panjang

 DE = r = 1/2 CD =    

 Luas setengah lingkaran D = 1/2 π r² =

 Jadi Luas daerah yang diarsir  =       (C)

10.  Suatu lapangan rumput berbentuk persegi  ABCD  seperti pada Gambar 3, dengan panjang

 AB = 7 cm. Seekor kambing diikat di  E  dengan tali sepanjang 4 m.

Jarak AE = 2 m. Luas daerah rumput yang dapat dimakan kambing tersebut adalah … m².

 Pembahasan :

Terlebih dahulu buatlah sketsa gambar lapangan rumput yang mungkin terjangkau oleh kambing seperti pada gambar berikut :

Luas daerah yang dimaksud  adalah luas segitiga EAF dan luas daerah Sektor (juring) GEF.

Luas  segitiga  EAF  = 1/2 x AE X AF

Perhatikan  segitiga  EAF siku-siku di  A  maka menurut teorema Pythagoras ;

Jadi  luas  segitiga  EAF = 

Untuk dapat menghitung luas daerah sector GEF kita harus mengetahui besar sudut GEF .

Perhatikan   segitiga  EAF siku-siku di  A , panjang  AE = 2 , dan  EF = 4 , maka besar  sudut AFE = 30⁰, dan besar sudut AEF = 60⁰ sehingga besar sudut  GEF = 180⁰ – besar sudut AEF =  180⁰ – 60⁰ = 120⁰.

 Jadi luas sector lingkaran       

 Dengan demikian luas daerah rumput yang dapat dimakan kambing =             (A)

11.  Banyaknya jalan terpendek dari  P  ke Q  adalah …

 

 Sebelum menyimak pembahasan soal tersebut, sebaiknya pelajari ilustrasi berikut :

Berapa banyaknya jalan terpendek dari   A  ke  B pada dibawah ini :

 

                                                Karena jalan terpendek yang ditanyakan, maka routenya hanya

                                                Ke kanan, atau ke atas.( seperti pada Gambar 1)

                                                Jika kita hitung banyaknya route dari A ke B ada  10 jalan atau 10 cara

jalan berbeda yang dapat ditempuh.

Dalam matematika 10 cara ini merupakan kombinasi  3 unsur dari 5 unsur yang berbeda.  

           Ditulis       

 Penjelasan :  5  adalah banyaknya segmen garis yang menghubungkan dua titik sudut dari A ke B  dalam satu route.

                         3     adalah  jumlah segmen garis yang menghubungkan dua titik dalam satu route ke arah atas.

 Ada dua cara dalam menghitung banyaknya jalan terpendek dari  P  ke  Q  pada gambar diatas.

• Pertama dengan menghitung semua jalan dari P ke Q dalam ukuran 5 x 4  grid , lalu dikurangi banyaknya jalan yang melalui segmen-segmen garis yang terputus tersebut. Cara ini cukup panjang .
•  Kedua dengan mengitung langsung banyaknya jalan melalui titik-titik percabangan, seperti yang akan dibahas.

Untuk memudahkan perhitungan (agar tidak melakukan perhitungan ganda)  tandai titik-titik sudut pada gambar seperti berikut :

 

Route jalan dari P ke A melalui B dan menuju Q        ditulis    P – A – B – Q .

Kita hitung banyaknya jalan dari gambar diatas.

 

               Jadi banyaknya jalan terpendek dari   P ke  Q  adalah 3 + 27 + 9 + 15 + 6 = 60        (D)

 12.  Pada pukul 10.15  penerjun payung melompat dari pesawat udara sambil membuka parasutnya. Setelah 8 detik,  ketinggiannya  2000 meter dari permukaan tanah. Lima detik kemudian ketinggiannya  1900 meter.  Misalkan mulai detik ke- 8  sampai dengan satu menit kecepatannya tetap.

Ketinggian  pada pukul  10.16  adalah  …. meter.

Jawab :

Berdasarkan data soal tersebut : kecepatan dianggap tetap ,perhitungan mulai detik ke-8.

Dalam 5 detik  penerjun telah turun ke bumi  sejauh 100 meter, berarti  kecepatan turun penerjun  100/5 = 20 meter/detik.

Jadi ketinggian  pada pukul  10.16 (setelah 1 menit)    = 2000 – (20m/detik x 52)

                                                                                                            = 2000 – 1040 meter

                                                                                                           = 960 meter                        (D)

 13.  Desi merayakan hari ulang tahun pada tanggal 27 Desember  2006. Jika pada hari tersebut usia Desi  sama dengan  jumlah digit dari angka tahun kelahirannya,  maka Desi lahir pada tahun …

Jawab :

• Dengan Coba periksa satu persatu pilihan jawaban yang tersedia (try and error)

Jika Desi lahir pada tahun 1994, maka jumlah angka-angkanya = 1 + 9 + 9 + 4 = 23,

dan  2006 – 1994 = 12,  sedangkan  23 ¹ 12 . Jadi salah

Jika Desi lahir pada tahun 1984, maka jumlah angka-angkanya = 1 + 9 + 8 + 4 = 22,

dan  2006 – 1984 = 22, dan ini benar. Jadi Desi lahir pada tahun 1984 berdasarkan pilihan jawaban yang disediakan.                 (D)

• Dengan teori bilangan :

Misalkan Desi lahir pada tahun X

Analisa . Jika X terdiri dari satu digit tak mungkin Desi berumur  ribuan tahun,  begitu pula dua digit, atau tiga digit. Yang mungkin  X terdiri dari 4 digit dan dapat kita tulis Desi lahir pada tahun  abcd, dan menurut soal  diperoleh kesamaan :

2000 – 1000.a + (0 – 100.b) + (0 – 10.c) + (6 – d) = a + b + c + d , dimana a + b + c + d >0 dan

                                                                                                        a + b + c + d < 1+9+9+9

                                                                                        atau       a + b + c + d < 28

                                               1000( 2 – a ) – 100.b – 10.c + (6 – d )          = a + b + c + d

Karena  nilai dari a + b + c + d  positif, maka nilai a yang mungkin adalah 1 atau 2 .

• Untuk  a = 1 , maka diperoleh kesamaan ;

1000( 2 – 1 ) – 100.b – 10.c + (6 – d )         = 1 + b + c + d

1000  – 100.b – 10.c + (6 – d )                       = 1 + b + c + d

Karena nilai dari a + b + c + d bilangan puluhan,  maka nilai b = 9 sehingga diperoleh;

1000  – 100.9 – 10.c + (6 – d )       = 1 + 9 + c + d

100 – 10.c + (6 – d )                          = 10 + c + d

96 – 11.c                                               = 2.d

Tampak  96 – 11.c adalah bilangan kelipatan 2 dari d , maka nilai c  genap dan

96 – 11.c  ≤ 18 ,   (karena maksimal nilai d =9)

11.c  ≥ 78 dipenuhi untuk  c = 8 , sehingga diperoleh kesamaan :

96 – 11. 8             = 2. d

             2. d            =  8  , atau            d = 4

Dengan demikian   untuk  a= 1 , maka  b = 9 ,  c = 8,  d = 4 .            jadi  X = 1984

• Untuk  a = 2 , karena  nilai dari  a + b + c + d  positif, maka nilai b=0 , dan c = 0 ,  sehingga diperoleh kesamaan ;

1000( 2 – 2 ) – 100.0 – 10. 0 + (6 – d )        = 2 + 0 + 0 + d

                                                                6 – d      = 2 + d

                                                                2. d         =  4         atau       d = 2

Dengan demikian   untuk  a= 2 , maka  b = 0 ,  c = 0,  d = 0 .            jadi  X = 2002

Jadi untuk soal ini kemungkinan Desi  lahir pada tahun 1984  atau 2002.

 14.  Suatu barisan hanya terdiri dari bilangan 1 , 2, 3, 4, dan 5.

Jika barisan tersebut adalah  1 , 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, …, maka suku ke-100  dari barisan tersebut adalah ….

        Jawab :

        Barisan ;  1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ….                      Sebut barisan ke-1

Jika kita perhatikan barisan tersebut diatas,  banyaknya bilangan 1, 2, 3, 4, dan  5  yang muncul membentuk barisan Aritmetika  dengan suku pertama= 1 dan beda =1 ,sebagai berikut :

        1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, …                            sebut  barisan ke-2

        Jumlah n suku pertama dari barisan ke-2  menyatakan suku ke-n barisan ke-1 .

        Kita cari pada suku ke berapa ? suku ke-100 pada barisan ke-1 termuat pada barisan ke-2

        Dengan kata lain berapa  nilai  n   bilangan bulat positif terkecil  yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

       
       Nilai n yang memenuhi adalah n = 14  karena  1/2. 14 (14 + 1) = 7 x 15 = 105 >100

        Sehingga suku ke-100 pada barisan ke-1, adalah bilangan yang berulang sebanyak 14 kali.

        Persoalannya berapakah bilangan itu  1, 2, 3, 4, atau 5 ?

        Karena barisan ke-1  terdiri dari bilangan  1, 2, 3, 4, dan 5  secara berulang, maka

        14 dibagi 5 bersisa 4, dengan demikian bilangan 4 adalah bilangan yang berulang sebanyak 14 kali tersebut.

        Jadi suku ke-100 pada barisan tersebut adalah 4 .                             (D)

15.  Konstanta dari               adalah ….

 Jawab :

Ini bentuk perpangkatan suku dua, disebut juga  Binomial Newton.

Konstanta  dari            

 adalah hasil perpangkatan dari suku dua tersebut yang tidak memuat variable x  atau  variable  dari x   berpangkat  nol .

Permasalahannya  suku x³ dipangkat berapa dan suku x^-1 dipangkatkan berapa agar hasil kalinya x⁰.

 Secara matematika  dapat ditulis ;

 dimana       

 

Karena m + n = 8  maka  m + 3m  = 8

                                                           4m  = 8

                                                          m  = 2    dan   n =6

Untuk koefisien hasil pengkatan suku dua tersebut  dapat kita temukan dengan pola bilangan segitiga Pascal sebagai berikut :

                                                                                                            

 

 Jadi  konstanta dari               (D)

 

•  Dengan rumus Binomial Newton  (jika kita ingat )

Konstanta dari        

 

16.  Banyaknya   bilangan asli yang kurang dari 10.000  dengan jumlah digit pertama dan digit terakhirnya sama  dengan  11  adalah ….

Jawab :

Karena  bilangan tersebut kurang dari 10.000  berarti bilangan tersebut terdiri dari 4 digit, 3 digit dan 2 digit.

a.  Untuk Bilangan yang terdiri dari 4 digit.

Karena jumlah digit pertama dan terakhir sama dengan  11, maka angka yang mungkin

• Untuk angka ribuan dan satuan  selalu berpasangan yaitu  (2 , 9 ) , (9 , 2), (3 , 8), (8 , 3),(4 , 7),(7 , 4),(5 , 6) atau (6 , 5)  ada 8 pasangan.
• Untuk angka  ratusan ada  10 kemungkinan
• Untuk angka  puluhan ada  10 kemungkinan

Untuk memudahkan  gambar 4 kotak seperti berikut, kemudian isikan banyaknya kemungkinan  angka yang dapat digunakan.

 

 b.   Untuk bilangan yang terdiri dari 3 digit, dengan cara yang sama diperoleh sebanyak :

        8 x 10 x 1 = 80

 c.   Untuk bilangan yang terdiri dari 2 digit, dengan cara yang sama diperoleh sebanyak :

        8 x 1 = 8 

Jadi, Banyaknya   bilangan asli yang kurang dari 10.000  dengan jumlah digit pertama dan digit terakhirnya sama  dengan  11  sebanyak  888.  (B)

 17.  Perhatikan  Gambar 5.  Jika bilangan pada daerah persegi tidak diarsir diperoleh dengan menjumlahkan dua bilangan pada persegi  tidak diarsir di bawah dan terhubung dan terhubung dengannya, maka nilai  x  adalah ….

 

 Jawab :

(1 + x) +( x + 6) +(x + 6 ) +( 6 + 8 ) = 6x

3x + 27                                                  = 6x

                                                         3x  = 27 ,  maka        x = 9                       ( C )

 18.  Perhatikan Gambar 6.  Diketahui  PQRS adalah jajargenjang dan misalkan garis SU memotong diagonal  PR di titik  T , memotong  ruas garis  QR  di titik U,  dan memotong PQ di titik  V.

 

 Jika panjang  ruas garis  ST = 16 cm  dan  panjang  ruas garis  TU = 8 cm,  maka

Panjang ruas garis  UV   adalah …. cm.

Jawab :

Petunjuk  : Mencari panjang ruas garis tertentu pada bangun bidang datar yang membentuk beberapa segitiga, gunakan  teorema-teorema atau sifat- sifat kesebangunan segitiga! 

Langkah awal  untuk memudahkan isikan data-data yang diketahui  pada gambar, gunakan data soal yang diketahui , lalu temukan sepasang segitiga yang sebangun dan temukan hubungan-hubungannya yang  berkaitan  dengan yang ditanyakan.

 

 Karena Segiempat  PQRS  adalah jajargenjang, maka  ruas garis SR sejajar PQ  dan ruas garis PS sejajar  QR,  maka  besar sudut  TSR = sudut PVT  (sudut dalam bersebrangan/ tidak sepihak)

          besar sudut  TRS = sudut  VPT  (sudut dalam bersebrangan/ tidak sepihak)

         besar sudut  TPS = sudut  TRU (sudut dalam bersebrangan/ tidak sepihak)

• Perhatikan  segitiga PST  sebangun dengan  segitiga RUT  ( sd-sd-sd)

Akibatnya ;

 

                                                              

•  Perhatikan  segitiga  PTV  sebangun dengan  segitiga RTS        (sd-sd-sd)

Akibatnya ;

Perhatikan ruas garis TV

UV = TV – TU

UV = 32 – 8 = 24

Jadi panjang ruas garis UV = 24 cm         (E) 
 

19.  Dua mata uang dilempar empat kali berturut-turut.  Peluang muncul angka  pertama kali pada pelemparan kempat  adalah …

Jawab :

Cara pertama :

Langkah awal : tentukan semua hasil yang mungkin (ruang sampel) dari pelemparan dua mata uang tersebut.

• Pada pelemparan pertama , semua hasil yang mungkin { AA, AG, GA, GG}  ada sebanyak  4 kemungkinan.  ( dapat dilihat pada table berikut)

 

Begitupun pada pelemparan kedua, ada  4 kemungkinan

• Pada pelemparan ketiga, ada 4 kemungkinan, dan
• Pada pelemparan keempat  ada  4 kemungkinan

Jadi banyaknya  semua hasil yang mungkin dari empat kali pelemparan sebanyak

4 x 4 x 4 x 4 = 4⁴

Misalkan   N adalah kejadian munculnya angka (A)  pertama kali pada pelemparan keempat. Maka  N = {AA, AG, GA}  , maka

 

Jadi peluang munculnya angka pertama kali pada pelemparan keempat adalah

         (C)    

                       
Cara kedua :

        Kejadian munculnya angka(A) atau gambar (G) pada pelemparan mata uang adalah dua kejadian yang saling bebas (independent) artinya terjadinya kejadian muncul angka atau tidak terjadinya tidak mempengaruhi kejadian munculnya gambar.

        Sehingga munculnya angka atau tidak muncul, tidak mempengaruhi kemungkinan munculnya gambar  dalam setiap pelemparan.

        Untuk dua kejadian  K dan L  yang saling bebas ,  P (K dan L) = P(K) . P(L)

        Dengan konsep tersebut kita dapat menghitung nilai peluangnya pada setiap pelemparan.

        Karena yang ditanyakan pada soal  adalah peluang munculnya angka pertama kali pada pelemparan keempat, berarti :

        Pada pelemparan kesatu muncul {GG}, begitu pula pada pelemparan kedua dan ketiga.

Peluang munculnya GG  = 1/4 , pada pelemparan kesatu, kedua, dan ketiga.

        Pada pelemparan keempat  kejadian yang mungkin muncul {AA, AG, GA}, Peluang (AA, AG, GA) = 3/4 ,

sehingga Peluang yang ditanyakan soal adalah,

       

 20.  Untuk meningkatkan penjualan suatu perusahaan memberikan hadiah yang dimuat dalam setiap kotak susu yang dijual,  satu dari empat seri buku secara acak.

Jika Ghina membeli  empat kotak susu,  maka peluang Ghina mendapatkan semua seri buku hadiah adalah ….

Jawab :

Karena setiap hadiah yang dimuat dalam setiap kotak susu diambil secara acak, maka dalam setiap kotak susu terdapat  4 kemungkinan seri buku yang dimuat , sehingga banyaknya semua hasil yang mungkin dari 4 kotak susu atau banyakny anggota Ruang Sampel  adalah 4 x 4 x 4 x 4 = 256.

Sedangkan banyaknya hasil mungkin agar Ghina mendapatkan semua seri buku (4 seri buku) adalah Permutasi dari 4  unsur yang berbeda yaitu 4! = 4 x 3 x 2x 1 = 24. 

        Sehingga  peluang Ghina mendapatkan  semua  seri buku  dalam empat kotak susu adalah

24/256 = 3/32

        
 Demikian pembahasan  20 soal ini penulis sajikan khususnya buat siswa-siswa SMPN 14 Kota Sukabumi, umumnya bagi pengemar matematika.

Tulisan ini utuh gagasan penulis sendiri, kritik dan saran sangat diharapkan dari  para pakar matematika pendidikan ,karena bukan hal yang mustahil  terdapat kekeliruan  baik  konsep maupun penyajiannya (al insan mahalul khotho’). Akhirnya semoga bermanfaat …

About these ads