DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA OSN TK. PROPINSI 2003

SOAL DAN PEMBAHASAN MATEMATIKA  SMP

OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT PROPINSI

TAHUN 2003

Terima kasih kepada Mas Saipul Arif, S.Pd rekan seprofesi di Jawa Timur yang telah mengirimkan soal-soal OSN ini mudah-mudahan apa yang saya tulis ulang ini tidak ada kesalahan redaksi penulisan yang mengubah esensi soal tersebut. Pembahasan ini salah satu sarana penulis dalam belajar matematika dan didaktik matematika, yang mudah-mudahan dapat memberikan sedikit manfaat bagi siswa yang belum pernah mengikuti OSN di masa mendatang.

Soal OSN tingkat Propinsi ini berbentuk Uraian dengan tingkat kesukaran , mudah, sedang, dan ada yang sukar untuk siswa SMP.

Berikut 10 soal Isian singkat dan 5 soal uraian, Selamat mencoba dan semoga terinspirasi.

A. SOAL ISIAN SINGKAT

1.    

Soal no. 1 mudah sebagai stimulator anda berpikir, operasi pengurangan bilangan pecahan.

2.      Suatu botol dengan kapasitas 875 mililiter digunakan untuk mengisikan minyak kedalam suatu jerigen  

          berkapasitas 20 liter. Berapa kalikah botol tersebut digunakan untuk membuat penuh sebuah jerigen kosong ?

Jawab :

Soal ini sama dengan 20 liter minyak diisikan ke dalam sejumlah botol yang volumnya 875 ml,

berapa jumlah botol yang dapat terisi ?

Jadi, 23 kali botol tersebut digunakan agar jerigen terisi penuh.

3.      Titik-titik sudut suatu segitiga memiliki koordinat (0,0) , (4,3) dan (7, -1), Maka luas segitiga tersebut adalah ….

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Cara I :

Dengan Aksioma Penjumlahan Luas

Buatlah sketsa gambar titik-titik O(0,0), A(4,3), dan C(7, -1) pada bidang Kartesius ,

dan bentuk persegipanjang BCDE seperti berikut :

Cara II :

Buatlah sketsa gambar titik-titik O(0,0), A(4,3), dan C(7, -1) pada bidang Kartesius :

 Untuk dapat menghitung luas segitiga, harus diketahui panjang alas dan tinggi yang saling tegak lurus, tetapi kita periksa terlebih dahulu segitiga OAB tersebut.

Gradien segmen garis OA atau m OA = 3/4 , sedangkan m AB = (- 1-3)/(7- 4) = -4/3.

Karena m OA x m AB = -1 , maka garis OA tegak lurus AB, sehingga segitiga OAB siku-siku di A.

Jadi, luas segitiga OAB = 1/2 x OA x AB = 1/2 x 5 x 5 = 25/2 = 12,5 satuan luas

Cara III : (Tanpa harus mengambar)

Dengan Rumus Luas Segitiga jika diketahui 3 titik koordinat.

 

Untuk mengingat Rumus tersebut dapat dibuat skema seperti berikut ini :

 

Jumlah hasil kali unsur-unsur dengan arah panah ke kanan bawah dikurangi jumlah hasil kali unsur-unsur dengan arah panah ke kanan atas. Ingat ini hanya skema mengingat rumus,bukan rumus ‼

4.      Suatu persegi panjang dapat dipecah-pecah menjadi 5 persegi yang kongruen.

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

5.     

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Jadi hubungannya s + t = -1

6.      Kapasitas tangki bahan bakar suatu mobil adalah 40 liter. Setiap menempuh perjalanan sejauh 100 km, mobil  tersebut menghabiskan 7,7 liter bahan bakar. Suatu waktu mobil tersebut digunakan untuk pergi dari Bandung ke Yogyakarta yang jaraknya 428 km. Ketika memulai perjalanan, tangki mobil tersebut terisi penuh bahan bakar. Dalam satuan liter terdekat, banyaknya bahan bakar yang tersisa ketika tiba di Yogyakarta adalah …

Jawab

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Jadi bahan bakar yang tersisa 40 – 33 liter = 7 liter

7.     Ada satu keluarga terdiri dari Ayah, Ibu, dan tiga orang anak. Ibu lahir pada bulan April.

Berapakah peluang ada tepat satu orang anggota lain dalam keluarga tersebut yang lahir juga di bulan April ?

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Peluang semua orang terlahir di bulan April adalah sama yaitu 1/12.

Ada 2 Kemungkinan kejadian yang terjadi , misalkan

A : Kejadian lahirnya Ibu dan Ayah di bulan April. Atau

B : Kejadian lahirnya Ibu dan seorang anaknya di bulan April

Kejadian A yaitu lahirnya Ibu dan Ayah adalah kejadian yang saling Bebas artinya terjadinya atau tidak terjadinya salah satu dari kejadian tersebut tidak mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian yang lain. Sehingga P(A) = 1/12 x 1/12 = 1/144.

Begitu pula kejadian B, maka P(B) = 1/12 x 1/12 = 1/144.

Sedangkan kejadian A dan B adalah dua kejadian yang saling lepas artinya dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan, sehingga Peluang ada tepat satu orang anggota lain yang lahir di bulan April adalah P(A) + P(B)= 1/144 + 1/144 = 1/72

8.      Pada suatu Kubus ABCD.EFGH , ruas garis AG adalah diagonal ruang dari kubus tersebut.

Ada berapa carakah perjalanan terpendek dari titik sudut G ke titik sudut A dengan syarat perjalanan tersebut hanya melalui rusuk-rusuk kubus tanpa da yang dilalui lebih dari satu kali ?

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Buatlah sketsa gambar kubus agar dapat menentukan rute perjalanan yang disyaratkan !

Dari titik G ada tiga rute yang dapat dilalui yaitu melalui titik C, F, dan H. Sedangkan dari masing-masing 3 titik tersebut ada 2 rute yang dapat ditempuh.

Jadi banyaknya cara perjalanan terpendek dari titik G ke A sebanyak 3 x 2 = 6 cara.

ATURAN PERKALIAN :

Jika suatu prosedur (urutan pengerjaaan) dapat dilakukan dengan m cara dan tiap-tiap m cara terdiri dari n cara, maka secara keseluruhan prosedur tersebut dapat dilakukan dengan m x n cara.

Dengan diagram garis :

Tampak ada 6 cara rute perjalanan yang dapat ditempuh dari G ke A.

9.      Misalkan a dan b adalah dua bilangan tertentu . Jika a + (a + b)b = a(b – a) + x , maka x= ..

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Karena a dan b adalah biangan tertentu, maka        

10.     Gaji Yuni dan Yuli pada tahun 2001 sama besarnya. Pada tanggal 1 januari 2002, gaji Yuni naik 15%, sedangkan  gaji Yuli naik 10%. Tepat satu tahun kemudian , gaji Yuli naik 15% dan gaji Yuni naik 10%.

Siapakah yang gajinya sekarang lebih besar ?

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Misalkan gaji Yuni dan Yuli pada tahun 2001 adalah G.

Pada 1 Januari 2002 :

Besar gaji Yuni = 1,15 G

Besar gaji Yuli = 1,10 G

Pada 1 Januari 2003 :

Besar gaji Yuni = 1,15 G x 1,10 = 1,15 x 1,10 G

Besar gaji Yuli = 1,10 G x 1,15 = 1,10 x 1,15 G

Tampak pengali dari G sama, Jadi Gaji Yuni dan Yuli sama besar.

B. SOAL URAIAN

1.    
        Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Pembuat nol pertaksamaan tersebut hanya x = -3. Sehingga

Dengan garis bilangan tampak semua bilanga real x yang memenuhi

2.   Diketahui T adalah titik tengah suatu segi- 6 beraturan dengan panjang sisi 1 satuan.

       Berapakah panjang TE ?

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Segi banyak beraturan terbentuk dari sebuah lingkaran dengan membagi besar sudut pusat lingkaran menjadi n bagian yang sama , jadi tentukan pusat lingkaran segi-6 tersebut dengan membuat garis-garis diagonal BE dan CF.

Dengan demikian panjang OF=OE=EF= 1 satuan.

Perhatikan segitiga TOE !

3.     Diketahui suatu barisan U(n) = 2.3 + 3.4 + 5.6 + 6.7 + … + (n + 1)(n +2), sehingga beberapa unsur pertamanya  sebagai berikut ; U(1) = 6 , U(2) = 18 , U(3) = 38 , U(4)= 68, U(5) = 110.

Tentukan nilai dari U(100) !

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Cara I :

Dengan Rumus Jumlah n suku Barisan Tingkat 2

Amati ! Tampak bahwa U(n) adalah suatu barisan yang merupakan jumlah n suku dari barisan f(n),

yang berderajat 2 dalam n , dengan f(n) = (n +1)(n +2).

5 suku pertama barisan f(n) adalah ; f(1) = 6 , f(2) = 12 , f(3) = 20 , f(4) = 30 , f(5) = 42 .

Perhatikan skema selisih suku-suku dari barisan f(n) berikut;

f(n) adalah barisan tingkat 2, jumlah n suku dari barisan ini adalah S(n), dengan

Diketahui bahwa a=6 , b=6, dan c=2 (lihat skema diatas), 2!=2×1 , dan 3!=3x2x1 , sehingga diperoleh:

Seandainya Rumus tersebut diatas tidak ingat atau tidak tau, anda dapat menggunakan cara berikut

Cara II :

Cara ini akan terasa lebih mudah dalam perhitungan.

Tentukan rumus U(n) !

Diketahui :

U(1) = 6 , U(2) = 18 , U(3) = 38 , U(4)= 68, U(5) = 110, Agar jelas nilai-nilai tsb diperoleh dari;

U(1)=(1+1)(1+2)=2×3=6

U(2)=(1+1)(1+2)+ (2+1)(2+2)=2×3 + 3×4= 18

U(3)= (1+1)(1+2)+ (2+1)(2+2)+(3+1)(3+2) = 2×3 + 3×4 + 4×5 = 38, dengan cara yang sama

U(4)= 68 , dan U(5)= 110, dst.

Ditulis dalam barisan bilangan sbb:

Karena setelah tiga tahapz dilakukan selisih antara dua suku berurutan diperoleh selisih yang tetap, maka, U(n) merupakan barisan tingkat 3 artinya U(n) berpangkat 3 dalam n, atau pangkat tertinggi dari n dalam rumus U(n) adalah 3.

Barisan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam pasangan berurutan sbb;

(1, 6) , (2, 18) , (3, 38) , (4, 68) , (5, 110), dst

Karena U(n) berpangkat 3 dalam n , maka U(n) dapat ditulis :

U(n) = a(n-1)(n-2)(n-3) + b(n-1)(n-2) + c(n-1)(n-3) + d(n-2)(n-3)

» U(1) = 6

d(1-2)(1-3) = 6

2d = 6

d = 3

» U(2) = 18

-c = 18

c = -18

» U(3) = 38

2b = 38

b = 19

» U(4) = 68

6a + 19 x 3 x 2 + (-18)x 3 x 1 + 3 x 2 x 1 = 68

6a + 114 – 54 + 6 = 68

6a = 68 + 54 – 120

6a = 2

a = 1/3

Jadi, U(n) = 1/3 x (n-1)(n-2)(n-3) + 19(n-1)(n-2) – 18 (n-1)(n-3) + 3(n-2)(n-3)

Kenapa cara ini bisa digunakan, insyaallah secara sepesifik penulis akan bahas tentang barisan tingkat tinggi.

Jika Suku ke-n dengan n < 10 yang ditanyakan dan soalnya isian singkat atau PG dapat dilakukan pengurangan antara 2 suku berurutan seperti pada skema pengurangan diatas.

Cara III :

U(n) adalah barisan tingkat 3, maka U(n) berpangkat 3 dalam n, sehingga U(n) dapat ditulis;

Dengan p=1/6 d , q = 1/2 c – d , r = b – 3q – 7p , dan s = a – (p+q+r)

p=1/6 d = 1/6 x 2 = 1/3 , dan q = 1/2 x 8 – 2 = 4 – 2=2 , r = 12 – 3×2 – 7×1/3 = 6 – 7/3 = 11/3,

s = 6 – (1/3 + 2 + 11/3) = 0 , sehingga diperoleh ;

Cara IV :

Nyatakan U(1)=6 , U(2)=18, U(3)=38 , dan U(4)=68 , diperoleh 4 persamaan linear, selesaikan

Sistem persamaan tersebut dengan metoda eliminasi –substitusi maka diperoleh nilai-nilai

p , q , r , dan s , lalu substitusikan kedalam U(n).

Ini cara yang konvensional digunakan, silahkan kuasai salah satu cara yang dirasakan mudah dan sederhana.

4.    

       

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

5. Dalam suatu kelas, 3/5 bagian siswanya adalah perempuan. Ke dalam kelas tersebut ditambahkan 5 siswa pria dan 5 siswa perempuan. Sekarang 3/7 bagian siswanya adalah pria. Berapakah banyak siswa dalam kelas mula-mula?

Jawab :

Lebih baik coba dikerjakan dulu ! Lihat pembahasan

Misalkan banyaknya siswa pria = x orang, dan

Banyaknya siswa perempuan = y orang.

3/5 bagian siswanya adalah perempuan, maka

Setelah ditambahkan 5 pria dan 5 perempuan, 3/7 bagian siswanya pria, maka :

Substitusi persamaan (1) ke (2) diperoleh :

Jadi , banyaknya siswa mula-mula adalah x + y = 10 +15 = 25 orang

Cara II :

3/5 bagian siswanya adalah perempuan, berarti rasio banyaknya siswa pria : siswa perempuan adalah 2 : 3 . sehingga dapat ditulis ;

banyaknya siswa pria = 2 k , dan

banyaknya siswa perempuan = 3 k , dengan k bilangan bulat positif, sehingga jumlah siswa semula adalah 5 k.

Selanjutnya menurut data soal

Jadi, jumlah siswa semula adalah 5.k = 5 x 5 = 25 orang

Tampak cara ini lebih simple, demikian jika anda memahami konsep perbandingan .

Mohon kritik atau saran jika ada yang salah atau keliru ‼

About these ads

22 Desember 2010 - Posted by | BAHAS SOAL | , ,

Belum ada komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 47 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: