DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TK PROPINSI 2004

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP

TINGKAT PROPINSI TAHUN 2004

 

A.   ISIAN SINGKAT

1.    Setiap muka sebuah kubus diberi bilangan seperti pada gambar. Kemudian setiap titik sudut diberi bilangan yang merupakan hasil penjumlahan bilangan pada muka-muka yang berdekatan dengannya. Nilai tertinggi bilangan pada titik sudut adalah …

  

 Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

 

 Dari jaring-jaring tersebut terbentuk kubus seperti diatas.

Titik-titik sudut suatu kubus merupakan  Irisan 3 bidang sisi. Titik sudut A adalah irisan bidang sisi ABCD, ABFE, dan ADHE.

Jadi, nilai tertinggi terdapat pada titik sudut A = 5 + 11 + 9 = 25      

 2.     Jika a + b = 1, b + c = 2, dan c + a = 3, maka a + b + c = ….

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Perhatikan  di dalam 3 persamaan  tersebut terdapat variabel a, b, c  yang sama masing-masing sebanyak dua, jadi  kita tidak perlu mencari nilai a, b, atau c , karena yang ditanyakan operasinya sama yaitu penjumlahan. Ini sejalan dengan sifat transitif, atau logika sylogisme.

Jumlahkan ke tiga persamaan, diperoleh;

     a + b + b + c + c + a = 1 + 2 + 3

     2a + 2b + 2c    = 6

     2 ( a + b + c )   = 6

     a + b + c          = 6/3 = 3                    

 3.    Sebuah jam digital angka-angka yang tertera mulai dari 00:00 sampai dengan 23:59. Jam itu dapat menampilkan Palindrome ( bilangan yang dibaca dari depan dan dari belakang sama nilainya, misalnya 12:21, dan 23:32). Dalam satu hari satu malam, banyaknya bilangan Palindrome yang muncul adalah …..

        Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Bilangan Palindrome adalah bilangan yang dibaca dari depan dan dari belakang sama nilainya.  Kalau kata Palindrome seperti  SUGUS,   KAKAK, KAPAK, KATAK , KODOK dan sejenisnya tetapi yang lebih menjadi kajian pakar matematika dunia yaitu bilangan Palindrome.   ,

Untuk menghitung banyaknya bilangan Palindrome dalam satu hari satu malam, tentukan bilangan yang mungkin muncul dari ke- 4 digit pada jam digital tersebut dan syaratnya.

Untuk memudahkan  buatlah petak perhitungan yang menyatakan banyaknya bilangan yang mungkin muncul seperti berikut :

 

Digit ke-1 harus sama dengan digit ke 4, dan digit ke 2 harus sama dengan digit ke-3.

Dengan demikian cukup menentukan kemungkinan bilangan yang muncul pada digit ke- 1 dan digit ke-2.

Bilangan digit ke-1 yang mungkin muncul adalah  0 , 1, dan 2     ada 3.

Bilangan digit ke-2 yang mungkin muncul adalah  0 , 1, 2, 3, 4, dan 5     ada 6.

 

Jadi,  dalam satu hari satu malam,  banyaknya bilangan  Palindrome yang muncul adalah

sebanyak  3 x 6 = 18 bilangan.

Diantaranya :  00:00, 01:10, 02:20, 03:30, 04:40, 05:50 , 10:01, 11:11, 12:21, 13:31, 14:41, 15:51 dan sejenisnya silahkan lanjutkan !

Jika yang diawali dengan 0 tidak termasuk bilangan, maka banyaknya bilangan Palindrome sebanyak 18-6=12 

4.      Bilangan bulat a dan b, (a, b) adalah bilangan positip yang merupakan sisa a x b jika dibagi oleh 5.  Bilangan yang ditunjukkan oleh (- 3,4) adalah …

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

(-3) x 4 = -12,   -12 dibagi  5 sisanya = k. 5 + (-12) , dengan  k  bilangan bulat positif

Untuk  k = 3  diperoleh  15 -12 = 3.      

Jadi,  Bilangan yang ditunjukkan oleh (- 3,4) adalah  3.

5.     Bilangan 10-angka terbesar menggunakan empat angka 1, tiga angka 2, dua angka 3, dan satu angka 4, sehingga dua angka yang sama tidak terletak bersebelahan adalah …

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Buatlah 10 petak mendatar untuk menempatkan angka-angka  1, 2, 3, 4  tersebut sehingga tersusun sebuah bilangan terbesar yang memenuhi syarat yang ditentukan.

Tempatkan angka terbesar yang mungkin pada nilai tempat terbesar (dari paling kiri) menuju ke kanan!

 Bilangan 10 angka terbesar yang memenuhi syarat yang ditentukan adalah

4.321.312.121

6.     Jika selisih dua bilangan adalah 2 dan selisih kuadrat dua bilangan itu adalah 6, maka hasil tambah dua bilangan itu adalah …..

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Misalkan  bilangan  itu adalah  a dan b .

a – b = 2 ,
  

 (a + b)(a – b) = 6

7.      

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Karena akar pangkat 2 , berarti harus merubah bilangan yang terdapat dalam tanda akar menjadi bentuk  kuadrat.


 

 

8.     Suatu garis memotong sumbu X di titik A(a, 0) dan memotong sumbu Y di titik B(0, 3). Jika luas segitiga AOB sama dengan 6 satuan luas dengan titik O(0,0), maka keliling segitiga AOB sama dengan …..

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Jika tak  terbayangkan dalam benak anda, buatlah  sketsa gambar pada bidang Kartesius;

 Segitiga  AOB siku-siku di O, maka

LUAS SEGITIGA  AOB = 6

Menurut Teorema Pythagoras ;

Jadi Keliling segitiga AOB = panjang AB + panjang OA + panjang OB = 5 + 4 + 3 = 12 satuan panjang.

 9.    Persegi Antimagic ukuran 4 x 4 adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan 1 sampai dengan 16 sedemikian sehingga jumlah dari setiap empat baris, empat kolom, dan dua diagonal utamanya merupakan sepuluh bilangan bulat berurutan. Diagram berikut ini menunjukkan sebagian dari persegi Antimagic ukuran 4 x 4. Berapakah nilai dari *.

 

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Jumlahkan bilangan pada setiap baris, kolom dan diagonal-diagonalnya dan misalkan bilangan pada petak yang kosong a, b, c, d , dan * seperti gambar berikut ;

Bilangan yang mungkin untuk pengganti  a, b, c, d, dan *  adalah 1, 2, 8, 15, dan 16.

Sekarang periksa apakah 30 merupakan jumlah terkecil dan 39 jumlah terbesar.

30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39   sepuluh bilangan bulat berurutan.

Jadi 30 jumlah terkecil dan 39 jumlah terbesar pada persegi ini.

Selanjutnya terka dan periksa nilai c !

Nilai c tidak mungkin 1, 2, 15, dan 16 (silahkan periksa !). Jadi nilai c = 8, sehingga jumlah bilangan pada salah satu diagonalnya adalah  8 + 9 + 13 + 4 = 34.

Selanjutnya terka dan periksa nilai d !

Nilai d yang mungkin  1  atau 2 ?

Jika d = 2, maka jumlah kolom ke-2 : 2 + 9 + 12 +11 = 34 dan ini sama dengan jumlah salah satu diagonal utama (tidak memenuhi syarat), jadi nilai d = 1 sehingga jumlah kolomnya = 1 + 9 + 12 + 11 = 33.

Selanjutnya terka dan periksa nilai * !

Tersisa dua bilangan yang bisa diperiksa yaitu 15 atau 16 .

Jika * = 16 , maka jumlahnya c + d + * + 14 = 8 + 1 + 16 + 14 = 39, dan ini sama dengan jumlah salah satu diagonal utama tidak memenuhi syarat , jadi haruslah  * = 15 .

Dengan demikian nilai  a = 2 ,  b = 16.     Tampak  gambar yang berisi bilangan 1 s.d. 16 .

 

 Antimagic persegi merupakan himpunan bagian dari heteromagic persegi dan berlainan dengan persegi ajaib (magic square) yang jumlah angka-angkanya pada setiap baris, kolom, dan diagonal-diagonalnya sama.

Sekilas tentang Antimagic persegi ukuran  n x n.

Bilangan yang digunakan 1 s.d. n2

Untuk persegi ukuran 4×4 terdapat jumlah bilangan pada setiap baris, kolom, dan diagonal-diagonalnya membentuk 10 bilangan bulat berurutan. Sedangkan untuk ukuran 5×5 terdapat jumlah bilangan-bilangannya yang membentuk 12 bilangan bulat berurutan.

10.   

 Jawab:

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Untuk mempersingkat penulisan

Faktorkan penyebut bilangan pecahan tersebut !

B.   URAIAN

1.     Enam belas tim sepak bola mengikuti turnamen. Pertama-tama mereka dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistem gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut?

Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Ini temasuk  masalah Kombinasi atau masalah pembagian.

Kita pilah pertandingan ke dalam 4 babak, babak I, II, III, dan babak IV.

Pada babak I , terdapat 4 kelompok dan dalam 1 kelompok yang terdiri dari 4 tim saling bermain satu kali, maka

Banyaknya pertandingan  pada babak  I adalah

Pada babak II terdapat 8 tim yang bertanding dengan sistem gugur.

Banyaknya pertandingan  pada babak II adalah 8 : 2 = 4 kali

Pada babak III terdapat 4 tim yang bertanding dengan sistem gugur.

Banyaknya pertandingan  pada babak II adalah 4 : 2 = 2 kali

Pada babak IV (Final)  terdapat 2 tim yang bertanding .

Banyaknya pertandingan  pada babak II adalah 2 : 2 = 1 kali.

Jadi, banyaknya pertandingan dalam turnamen tersebut sebanyak 24 + 4 + 2 + 1 =31 kali.

 2.     Pada gambar dibawah, ABCD adalah persegi dengan panjang 4 cm. Titik titik P dan Q membagi diagonal AC menjadi tiga bagian sama panjang. Berpakah luas PDQ.

         

 Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

  Luas segitiga ABC = 1/2 x AB x BC = 1/2 x 4 x 4 = 8 cm²

 

3.      

        Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Berdasarkan  

        Maka nilai x = 1 atau  -1 .

        Jadi, semua nilai x yang memenuhi  persamaan tersebut adalah  -1 atau 1 .

4.     Sebuah semangka yang beratnya 1 kg mengandung 93% air. Sesudah beberapa lama dibiarkan di bawah sinar matahari, kandungan air semangka itu turun 90%. Berapakah berat semangka sekarang.

        Jawab :

        Di dalam  buah  semangka yang beratnya 1 kg , terdapat :

        Berat serat buahnya = 7% x 1 kg = 0,07 kg =70 gr .

        Berat kandungan air dalam semangka = 93% x 1kg = 0,93 kg = 930 gr .

        Karena terkena sinar matahari kandungan airnya turun 90% sehingga berat kandungan ainya hanya 10% = 93 gr.

        Jadi, berat semangka sekarang  70 + 93 gr = 163 gr = 0,163 kg.

 5.     

          Jawab :

Coba anda jawab dulu !  Lihat pembahasan →

Dalam matematika untuk membuktikan suatu teorema atau dalil, kita dituntut menguraikan, menganalisa, menyusun, lalu menyimpulkan  kebenaran sesuatu yang harus dibuktikan dengan menggunakan data pada pernyataan sebelumnya (yang disebut premis), didukung dengan aksioma-aksioma , fakta yang benar, definisi, atau teorema lain sebelumnya yang berkaitan (jika diperlukan).

Metode pembuktian yang digunakan ada metode Induktif dan metode Deduktif.   

Pembuktian dengan metode Induktif  yaitu, suatu pembuktian yang diawali  dari hal yang bersifat khusus menuju hal yang bersifat umum (yang harus dibuktikan), dan ini yang dikenal dengan istilah induksi matematika. Sedangkan metode Deduktif kebalikan dari metode Induktif.   

Teknisnya, ada pembuktian secara langsung (Direct prove) dan bukti tak langsung (Indirect prove).

Bukti langsung diawali dengan menganalisa, menguraikan pernyataan awal (premis), memeriksa kebenaran yang harus dibuktikan, lalu menyimpulkan secara umum (generalisasi).

Sedangkan bukti tak langsung diawali dengan penyangkalan (negasi) dari kebenaran yang harus dibuktikan sehingga ditemukan hal yang kontradiksi dengan premis, lalu menyimpulkan kebenaran yang harus dibuktikan.

         Bukti secara induktif :

Karena a, b adalah sembarang bilangan real, periksa untuk a=b , kita bisa menganggap

    
 Jadi,  a² + b² = 2 (a + b) – 2    …………..(1)

Untuk  a > b ,  anggap  a = 0 , dan b = – 2 , diperoleh nilai  a² + b² = 0² + (-2)² = 4 , sedangkan nilai dari

2 ( a + b ) – 2 = 2( 0 + (-2)) – 2 = -4 – 2 = -6 ,  diketahui bahwa  fakta  4 > -6.

Jadi,  a² + b²  > 2 (a + b) – 2    ………….(2)

          Periksa untuk  a dan b yang bernilai pecahan, maka akan diperoleh kondisi yang sama.

Dari  persamaan (1) dan pertidaksamaan (2) disimpulkan ;

 a² + b² ≥ 2 (a + b) – 2     (yang harus dibuktikan)

Bukti Secara Deduktif :

Nyatakan suatu pernyataan  yang benar dari  data premis!

Karena a , b, sembarang bilangan real, maka jika a dipangkatkan 2 hasilnya adalah suatu bilangan yang tidak negatif ,dapat berupa bilangan 0 atau bilangan positif .

Dalam kalimat matematika ditulis ;                     a² ≥ 0

Demikian juga :                                                         ( a – 1 )² ≥ 0

Karena b juga sembarang bilangan real, maka ;

       

Pertidaksamaan (1) ditambah  pertidaksamaan (2) diperoleh ;

 

Yang harus dibuktikan

        Pembuktian-pembuktian suatu teorema di dalam matematika mutlak harus dikuasai dan dipahami jika anda memutuskan untuk belajar matematika pada jenjang yang lebih tinggi. Mulailah sejak dini belajar menurunkan rumus seperti rumus akar-akar persamaan kuadrat, menentukan rumus suku ke-n suatu barisan bilangan, rumus-rumus geometri yang sederhana seperti luas daerah segitiga= 1/2 alas x tinggi dlsb, sehingga kita akan lebih memahami teorema-teorema yang dirumuskan karena dengan memahaminya, rumus tak perlu dihapal, akan melekat kuat dalam benak kita sehingga selain memudahkan kita dalam menuliskan rumus, memudahkan juga dalam mempelajari materi-materi matematika lainnya.  

        Pada hakikatnya ketika kita membuktikan suatu teorema yang dinyatakan dengan rumus, kita belajar melacak dasar pemikiran /pola pikir si penemu (ilmuwan) ketika menemukan suatu temuan dan mendeklarasikannya dalam suatu teorema lalu diformulasikan dalam suatu rumus .

       Semoga bermanfaat…

        Mohon kritik.., jika ada yang salah, keliru atau kurang jelas ..!

About these ads

28 Desember 2010 - Posted by | BAHAS SOAL | , ,

5 Komentar »

  1. Tanya dong…
    1. Saat ini umur agus dan umur fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur agus dan umur Fauzan ditulis secara berurutan, maka diperoleh suatu bilangan 4 digit (angka) yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian jika umur mereka ditulis dengan cara yang sama, maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang merupakan kuadrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan merupakan bilangan bulat positif, berapakah umur mereka saat ini?
    2. Diketahui bilangan bulat positif n memiliki sifat – sifat berikut. 2 membagi n, 3 membagi n + 1, 4 membagi n + 2, 5 membagi n + 3, 6 membagi n + 4, 7 membagi n + 5. 8 membagi n + 6. Bilangan bulat pertama yang memiliki sifat itu adalah 2. Tentikan bilangan bulat positif ke 5 yang memenuhi sifat- sifat diatas.

    Komentar oleh ruli | 6 Juni 2011 | Balas

  2. pak pembahasan soal OSN tingkat Propinsi 2011 ditunggu lo..

    Komentar oleh ruli | 5 Juni 2011 | Balas

    • saya belum punya soallya , krn sibuk ngurus anak kls IX pasca UN

      Komentar oleh deni11math | 6 Juni 2011 | Balas

  3. Kang rlt aq (saiful arif)berasal dari malang jw timur bkn jw tengah.

    Soal no 7, saya mengerjakan ketemu hasil akhir -akr 6.
    kayaknya langkah terakhir kang deni perlu diperiksa. Ingat (akr x^2) = nilai mutlak x. karena akr 3 – akr 5 bernilai negatip, maka akr((akr 3 – akr 5)^2)= -(akr 3 – akr 5) = -akr 3 + akr 5.

    Komentar oleh saiful arif | 11 Januari 2011 | Balas

    • Maaf saya lupa Malang tuh Jawa Timur ya, yang saya inget cuma terkenal Applenya.
      Oh iya betul mas Arif, Saya keliru menempatkan, yang akhirnya jadi salah.
      Biar simple saya tulis (akar 5 – akar 3)^2 saja. sudah saya koreksi. thx

      Komentar oleh deni11math | 13 Januari 2011 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 50 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: