DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SOAL DAN PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA TK.PROP 2005

PEMBAHASAAN  SOAL

OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT PROPINSI 2005

             Soal OSN Tk. Propinsi tahun 2005, menurut penulis lebih menantang dibanding soal tahun sebelumnya, dan jika anda dapat memahami pembahasan  soal  ini  tentu akan mudah dapat menjawab soal OSN tahun 2006, karena beberapa soal relatif sama.  Soal ini  memuat materi pokok: Bilangan, Aljabar, Geometri dan Pengukuran, Statistika. Secara keseluruhan banyak menyangkut tentang analisa bilangan bulat.

            Soal terdiri dari 15 butir , 10 butir Isian Singkat dan 5 butir Uraian.

Dalam menjawab soal Isian Singkat peserta diperbolehkan menjawab berupa hasil akhirnya tanpa perlu menuliskan langkah-langkah pengerjaan, sedangkan pada bagian B soal uraian langkah pengerjaan peserta diperlukan. Jadi soal isian singkat tidak berarti cara menjawabnya singkat, walau ada satu dua soal yang penyelesaiannya singkat.

Dalam pembahasan soal ini, penulis berusaha menyajikan sejelas mungkin berdasarkan konsep matematika yang benar, sebatas pengetahuan yang penulis ketahui. Seandainya terdapat hal yang kurang jelas boleh anda tinggalkan pertanyaan, dan mohon kritik jika terdapat kekeliruan.

Untuk penggemar matematika selamat menyimak,  dan semoga terinspirasi.

 A.    ISIAN SINGKAT

1.     Perhatikan segi enam berikut. Banyaknya segitiga yang dapat ditemukan pada gambar tersebut adalah …

 

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Soal ini tidak sukar hanya perlu ketelitian saja, ya dihitung saja.

Soal menanyakan banyaknya segitiga yang terdapat  pada gambar tersebut .

Untuk menghindari perhitungan ganda, berilah nomor pada daerah berbentuk segitiga yang merupakan partisi dari segi-6 tersebut, lalu tentukan gabungan dari beberapa partisi yang membentuk segitiga secara berurutan !

 

Daerah berbentuk segitiga yang merupakan gabungan beberapa partisi adalah  segitiga :

AGF, AEF, ABF, ABE,BEF, BFH, BIE,BFJ, BCF,BCH, BDE, BDC, EFI, dan EFH. Sebanyak 14.

Jadi banyaknya segitiga yang terdapat pada gambar tersebut adalah  8 + 14 = 22 buah.

 

2.    

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Perhatikan ! bentuk  1 + 2 + 3 + 4 + ….+ n   adalah jumlah n  suku bilangan asli pertama.

Dan itu merupakan jumlah deret Aritmetika dengan suku pertama;  a=1 dan  Un = n .

Karena n adalah bilangan bulat positif atau bilangan asli, maka nilai  n terbesar adalah 4008.

 

3.     Bilangan A adalah bilangan asli terkecil yang merupakan hasil kali dari 3 bilangan prima

pertama. Dua buah bilangan antara 200 dan 300 yang memiliki faktor prima tepat sama dengan bilangan A adalah ….

( Catatan : 10 dan 30 punya faktor prima yang tidak tepat sama, sedangkan 12 dan 18 memiliki faktor prima yang tepat sama).

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan 

Berdasarkan data soal  bilangan A = 2 x 3 x 5 = 30.

Dengan demikian dua bilangan yang memiliki faktor yang tepat sama dengan A, adalah bilangan kelipatan 30, sehingga dua bilangan tersebut dapat ditulis :

 X = k. 30  , dengan k bilangan bulat positif non Prima. Dan    200 < x < 300 . 

Nilai k yang memenuhi adalah  k = 8 , dan k = 9 sehingga diperoleh dua bilangan tersebut adalah  240  dan 270.

 

4.    

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Cara I :

Dengan Coba dan Periksa.

Tapi terlebih dahulu batasi nilai  m > 2 , dan n > 3  m,n bilangan Asli.

Persamaan (1) dibagi  n  diperoleh ;

Begitupun untuk nilai m = 7 ,  diperoleh n bukan bilangan asli.

Sampai di sini pengujian nilai selesai, karena perhatikan nilai  m dan n  berbanding terbalik, jika nilai m  membesar maka nilai  n mengecil, juga dengan memperhatikan batasan nilai n > 3 , nilai n terkecil yaitu n = 4 sudah diperoleh dari  m = 8.

Jadi, pasangan bilangan Asli (m, n) yang memenuhi persamaan tersebut adalah

(3, 9) , (4, 6), (5, 5), dan (8, 4).

Cara II :

Dengan Aljabar .

Persamaan (1) dibagi n  diperoleh ;

Misalkan ;

Maka diperoleh ;

Dan    

 Persamaan (3) dikurangi persamaan (4)  diperoleh ;

 

Dari persamaan (4) dan (5), disimpulkan ;

Dari persamaan terakhir, tampak bahwa (m – 2) dan (n – 3) merupakan sepasang faktor-faktor dari 6 , yaitu (1 , 6) dan ( 2, 3) secara bergantian.

Jika  m – 2 = 1 ,  maka m= 3 , dan  n – 3 = 6 , maka  n = 9 , pasangan (m, n) = (3, 9). 

Jika  m – 2 = 6 ,  maka m= 8 , dan  n – 3 = 1 , maka  n = 4 , pasangan (m, n) = (8, 4).

Jika  m – 2 = 2 ,  maka m= 4 , dan  n – 3 = 3 , maka  n = 6 , pasangan (m, n) = (4, 6).

Jika  m – 2 = 3 ,  maka m= 5 , dan  n – 3 = 2 , maka  n = 5 , pasangan (m, n) = (5, 5).

Jadi, pasangan bilangan asli   m dan n  yang memenuhi persamaan soal adalah ;

(3, 9) , (4, 6), (5, 5), dan (8, 4).

Demikian jika kita memahami konsep persamaan linear dan perbandingan, dengan m, dan n bilangan Asli

Pasangan (m, n) dapat ditentukan dengan mudah ? Ok. Lanjut ..!

 

5.      

dengan a dan b adalah bilangan asli. Semua pasangan bilangan asli a dan b yang

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Jika anda menggunakan cara coba dan periksa, tentu cukup memakan waktu .

 (a + b)(a – b) = 45.   Tampak  (a + b) dan  (a – b) merupakan sepasang faktor-faktor  yang tentu dari 45 , dimana (a + b) > ( a – b ) > 0

Sepasang faktor-faktor dari 45 adalah  (45, 1) , (9 ,5) dan ( 15, 3),  sehingga terdapat tiga pasang (a, b) yang memenuhi persamaan soal .

Gunakan  metode eliminasi , eliminasi  b  !

Jadi, pasangan  (a, b) yang memenuhi  persamaan soal adalah  ( 23, 22) , (7, 2) dan (9, 6).

 

6.     16 dapat dinyatakan sebagai  3x+7y sebab jika x diganti dengan 3 dan y diganti dengan 1 diperoleh 3.3 + 7.1 yang bernilai 16.  Tujuh bilangan antara 100 dan 122  yang  dapat dinyatakan ke dalam bentuk  6x +9y   adalah ….

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

6x + 9y = 3 (2x + 3y) .

Tampak  tujuh bilangan yang dimaksud merupakan bilangan kelipatan 3, sehingga tujuh bilangan tersebut dapat ditulis  sebagai   B= k .3  ,dengan  k  bilangan bulat positif, dimana  100 < B < 122.

Untuk  k = 34 , diperoleh B = 102, dan 102 dapat dinyatakan sebagai  6. 2 + 9. 10 = 102.

Untuk  k = 35 , diperoleh B = 105, dan 105 dapat dinyatakan sebagai  6. 10 + 9. 5 = 105

Untuk  k = 36 , diperoleh B = 108, dan 108 dapat dinyatakan sebagai  6. 3 + 9. 10 = 108

Untuk  k = 37 , diperoleh B = 111, dan 111 dapat dinyatakan sebagai  6. 5 + 9. 9 = 111

Untuk  k = 38 , diperoleh B = 114, dan 114 dapat dinyatakan sebagai  6. 4 + 9. 10 = 114

Untuk  k = 39 , diperoleh B = 117, dan 117 dapat dinyatakan sebagai  6. 15 + 9. 3 = 117

Untuk  k = 40 , diperoleh B = 120, dan 102 dapat dinyatakan sebagai  6. 14 + 9. 4 = 120 

Jadi, tujuh bilangan tersebut adalah  102, 105, 108, 111, 114, 117, dan 120.

Dengan karakteristik bilangan habis dibagi 3.

Ciri bilangan habis dibagi 3 yaitu jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.

102  bilangan habis dibagi 3 , karena  1 + 0 + 2 = 3, dan  3 : 3 = 1 sisa 0.

Demikian juga, 105, 108, 111, 114, 117, dan 120.

 

7.     Tiga bilangan bulat membentuk kumpulan data yang berata-rata 10. Banyaknya kombinasi

Bilangan yang (sebutkan pula datanya), jika diketahui selisih data terbesar dan terkecilnya tidak lebih dari 4 adalah …..

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Misalkan tiga bilangan bulat tersebut ;  a , b, dan c , dimana a ≤ b≤  c , berdasarkan data soal ;  (a + b + c) /3 = 10  ,  maka  a + b + c = 30 , dan

selisih data terbesar dan terkecil tidak lebih dari 4, maka   c – a ≤4 .

Karena  c – a ≤ 4 , maka kemungkinannya :

  • Jika  c – a = 4 , atau  a = c – 4 , maka kemungkinan  c – b = 2 atau b = c – 2 ,

karena (a + b + c) bilangan kelipatan 3.

Sehingga diperoleh;  c – 4 + c – 2 + c = 30   atau  3c = 36  atau c = 12 , dan b = 10 , a = 8 .

  • Jika  c – a = 3 , atau  a = c – 3 , maka ada 2 kemungkinan  c – b = 0 atau c – b = 3 .

(1)   Untuk  a = c – 3 dan c – b  = 0 , atau b=c  diperoleh ;  c – 3 + c + c = 30  atau  3c = 33  atau

           c = 11 , b = 11  dan  a = 8 .     

(2)   Untuk  a = c – 3 dan b = c – 3  diperoleh ;  c – 3 + c – 3  + c = 30  atau  3c = 36  atau  c = 12

           maka  b = 9  dan  a = 9 .

  • Jika  c – a = 2 , atau  a = c – 2, maka kemungkinan  c – b = 1  atau  b = c – 1 , sehingga

diperoleh;  c – 2 + c – 1 + c = 30  atau  3c = 33  atau c = 11  ,  b = 10 , a = 9

  • Jika c – a = 0 , atau  a = c , maka  b = c , sehinggga  a = b = c = 10.

Jadi, banyaknya kombinasi tiga bilangan bulat tersebut adalah 5 

(8, 10, 12), (8, 11, 11), (9, 9, 12), (9, 10, 11), dan ( 10, 10, 10 ) .

 

8.      

dengan B adalah himpunan bilangan bulat. Banyaknya himpunan bagian tak kosong dari H adalah …..

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

H = { -3, -2, -1, 0, 1, 2 }  ,  n(H) = 6 , dan banyaknya semua himpunan bagian dari H adalah

Dari 64 himpunan bagian ini termasuk  1 himpunan kosong .

Jadi, banyaknya himpunan bagian dari H yang tak kosong adalah 64 – 1 = 63.

 

9.    

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Cara I :

Bilangan real yang memenuhi persamaan :

 

Berarti ,  mencari  akar-akar persamaan tersebut yang merupakan bilangan real.

Karena koefisien pangkat 4 dari  x  adalah 1, dan konstantanya = 1, maka dapat ditulis;

Perhatikan antara ruas kiri dan ruas tengah, maka diperoleh;

a + b = -2  atau    b = – a – 2        …… (1)

ab + 2 = – 1  atau             ab = -3                         …… (2)

Substitusi  b = – a – 2  ke  persamaan  (2) , diperoleh;

     a ( -a – 2 ) = -3

Maka,   a = -3                  atau     a = 1

Untuk  a = – 3   maka  b = 1

Untuk  a = 1 ,   maka  b =- 3 .   

Karena jumlah a + b  dan a x b  bersifat konstan (tetap), maka kita bebas pilih.

Substitusi  nilai  a= -3  dan b = 1  ke  persamaan (*) diperoleh;

Persamaan ini bernilai  nol, jika dan hanya jika ;

Tetapi persamaan kuadrat

Jadi, haruslah        

Dengan rumus akar-akar persamaan kuadrat , diperoleh;

Jadi, bilangan real x  yang memenuhi persamaan soal  adalah

 

Akar-akar persamaan tersebut  saling berkebalikan .

Coba anda periksa ! karena, x ≠ 0  , misalkan  y = 1/x  maka  x=1/y . Substitusi  x = 1/y  ke persamaan soal (1)

diperoleh  persamaan semula.
 Ini yang disebut persamaan Harmonis. Dari sini kita dapat informasi bahwa sepasang akar-akar persamaan ini saling berkebalikan.

 Sebagai  soal latihan, akar-akar persaman pangkat 4 berikut memiliki 2 pasang akar saling berkebalikan. Tentukan akar-akar persamaan berikut :

 

10.   Dalam menentukan jawab perkalian bilangan 1493 dan 1507, seorang anak mengurangkan

langsung 49 dari 2.250.000. Dia sama sekali tidak mengalikan kedua bilangan itu dengan cara panjang. Prinsip Matematika yang digunakan oleh anak tersebut adalah ….

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

1.493 x 1.507       = ( 1.500 – 7 ) x ( 1.500 + 7 )

      = 1500 ² – 7²

      = 2.250.000 – 49

Prinsif yang digunakan adalah  menggunakan sifat selisih dua kuadrat.

Sifat ini banyak membantu dalam menyelesaikan soal, yang tentunya secara spontan kita gunakan , jika kita terbiasa dalam mengerjakan soal dengan cara yang lebih sederhana dengan menggunakan sifat-sifat bentuk aljabar yang sudah dipelajari. Karena cara bisa karena biasa ….

B.    URAIAN

1.     Perhatikan gambar berikut. Andaikan Anda diminta untuk mencari luas daerah di dalam kurva ABCDE.  Jika jarak terdekat dua titik secara mendatar atau vertikal adalah 5 cm, berapakah luas segilima ABCDE ?

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Untuk memudahkan perhitungan, namai titik sudut yang diperlukan ! seperti berikut:

Berdasarkan data soal, jarak terdekat secara mendatar dan vertikal , misalkan s = 5 cm.

Berarti , Segiempat CFGH adalah Persegipanjang.

Dengan Postulat Penjumlahan Luas :

Luas daerah Segilima ABCDE = Luas Persegipanjang CFGH – (luas trapesium HCIE +luas segitiga DEI + luas segitiga CFB + luas segitiga AJB + luas trapesium AJGE)

Luas daerah segilima ABCD     = 6s x 5s – [ 1/2(6s + 4s) x s + 1/2 x 4s x s + 1/2 x 5s x s +

                                                                 1/2 x 4s x s + 1/2(4s+s)xs ]

=30 s² – ½ s (10s + 4s + 5s +4s + 5s)

= 30 s² – 14 s²

= 16 s² = 16 x 25 = 400 cm²

2.     Seseorang memiliki sejumlah koin 1000 rupiahan. Setelah diperhatikan dengan seksama,

ternyata koin yang dimilikinya terdiri dari 3 macam diantara 4 macam koin sekarang yang

masih berlaku (500-an, 200-an, 100-an, dan 50-an). Selidiki dan tentukan berapa banyak kombinasi koin yang mungkin dimiliki oleh anak tersebut.

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Langkah pertama hitung banyaknya macam kombinasi yang ada dari nilai koin yang tersedia. Ini kombinasi yang terdiri dari 3 unsur dari 4 unsur yang berbeda yaitu sebanyak;

Jadi, ada 4 macam kombinasi. 

Macam Ke-1 terdiri dari uang koin : 500-an , 200-an, dan 100-an.

Macam Ke-2 terdiri dari uang koin : 500-an , 200-an, dan 50-an.

Macam Ke-3 terdiri dari uang koin : 500-an , 100-an, dan 50-an.

Macam Ke-4 terdiri dari uang koin : 200-an , 100-an, dan 50-an.

Dari 4 macam ini masing-masing hitung banyaknya kombinasi yang terdiri dari 3 koin yang mungkin dan  jumlahnya 1000.

Untuk memudahkan dapat dibuat tabel perhitungan seperti berikut:

Macam Ke- Banyaknya Koin Jumlah Uang Banyaknya Kobinasi
  500-an 200-an 100-an 50-an    
1 1 2 1 - 1.000 2
  1 1 3 - 1.000  
2 1 2 - 2 1.000 2
  1 1 - 6 1.000  
3 1 - 4 2 1.000 4
  1 - 3 4 1.000  
  1 - 2 6 1.000  
  1 - 1 8 1.000  
4 - 4 1 2 1.000 16
  - 3 3 2 1.000  
  - 3 2 4 1.000  
  - 3 1 6 1.000  
  - 2 5 2 1.000  
  - 2 4 4 1.000  
  - 2 3 6 1.000  
  - 2 2 8 1.000  
  - 2 1 10 1.000  
  - 1 7 2 1.000  
  - 1 6 4 1.000  
  - 1 5 6 1.000  
  - 1 4 8 1.000  
  - 1 3 10 1.000  
  - 1 2 12 1.000  
   - 1 1 14 1.000  

 Jadi, banyaknya kombinasi uang yang dimiliki seseorang yang mungkin sebanyak 24.

Cara lain, dapat dibuat 4 persamaan linear dengan 3 variabel dari 4 macam kombinasi koin tersebut, lalu tentukan penyelesaiannya dan hitung banyaknya penyelesaian.

Jika  p, q, r, dan s  bilangan bulat positif berturut-turut menyatakan banyaknya koin 500-an, 200-an, 100-an, dan 50-an , maka  keempat persamaan tersebut :

(1).  500p + 200q + 100r = 1000, jika disederhanakan  5p + 2q + r = 10  , dengan p,q,   r ≥ 1

               Pasangan  (p, q, r) yang memenuhi yaitu  (1, 2, 1) dan (1, 1, 2)  ada sebanyak  2.

(2).  500p + 200q + 50s = 1000 ,  atau  10p + 4q + s = 20 , dengan  p, q ≥ 1 , dan s ≥ k.2 dengan k bilangan bulat  positif.

Pasangan  (p, q, s) yang memenuhi yaitu  (1, 2, 2), (1, 1, 6)  ada sebanyak  2.

(3).  500p + 100r + 50s = 1000 ,  atau  10p + 2r + s = 20 , dengan  p, r  ≥ 1 , dan s ≥ k.2 dengan k bilangan bulat positif.

Pasangan  (p, r, s) yang memenuhi yaitu  (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 2, 6) dan (1, 1, 8 )

 Ada sebanyak  4.

(4).  200q + +100r + 50s  = 1000 ,  atau   4q + 2r + s = 20 , dengan  q, r  ≥ 1 , dan s ≥ k.2 dengan k bilangan bulat positif.

          Pasangan  (q, r, s) yang memenuhi yaitu  (4, 1, 2), (3, 2, 2), (3, 2, 4), (3, 1, 6), (2, 5, 2),

(2, 4, 4), (2, 3, 6), (2, 2, 8), (2, 1, 10), (1, 7, 2), (1, 6, 4), (1, 5, 6), (1, 4, 8), (1, 3, 10), (1, 2, 12) dan (1, 1, 14).  Ada sebanyak 16.

Jadi, dari keempat macam uang koin tersebut diperoleh 2 + 2 + 4 + 16 = 24 kombinasi.

3.     Suatu bilangan x terdiri dari 6 angka dan dimulai dari angka 1. Jika angka pertama dipindahkan dari ujung paling kiri ke ujung paling kanan tanpa mengubah susunan angka-angka yang lainnya, bilangan yang baru terbentuk adalah tiga kali lipat bilangan semula. Berapakah bilangan x tersebut ?

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Bilangan X tersebut adalah  1abcde.   

Pengganti  a,b,c,d,e  yang mungkin adalah angka  1 s.d. 9.

Jadi kita harus mencari pengganti a,b,c,d, dan e  yang  sesuai informasi soal.

Berdasarkan informasi soal :

Perhatikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan diatas !

  • Tentukan e .

Ruas kanan merupakan bilangan kelipatan 3, maka haruslah ditulis sebagai;

3e = 1 + k.10 , dengan k=0, atau 1, atau 2. Dipenuhi untuk k=2 sehingga diperoleh;

3e = 1+20 , maka e = 7.

Bahasa eksplisitnya:  bilangan kelipatan 3 terkecil yang angka satuannya  1 adalah 21,

  • Tentukan  d .

3(10d+7) = 70+ 1 + k.100 , dengan  k = 0, atau 1, atau 2.

Ruas kanan harus merupakan bilangan kelipatan 3, maka k=1 yang memenuhi, sehingga diperoleh ;

30d + 21 = 171

30d = 150 maka  d= 5.

  • Tentukan c .

3(100c + 50 + 7) = 500 + 70 + 1+ k.1000 , dengan  k=0, atau 1, atau 2.

Dipenuhi  untuk  k=2 , sehingga diperoleh;

300c + 171 = 571 + 2.000

300c = 2.571 – 171

300c = 2.400 , maka  c = 8.

  • Tentukan b .

3(1.000b +800+50+7) = 8.000 + 500 + 70 + 1 + k. 10.000 , dengan k=0 sehingga diperoleh;

3.000b + 2.571 = 8.571

3.000b = 8.571 – 2.571

3.000b = 6.000, maka  b = 2.

  • Tentukan  a.

3(100.000 +10.000a+2.000+800+50+7)=100.000a+20.000+8.000+500+70+1+k.100.000

Dipenuhi untuk  k=0 , sehingga diperoleh;

300.000 + 30.000a + 8.571 = 100.000a + 28.571

70.000a = 308.571 – 28.571

70.000a = 280.000 , maka  a = 4.

Jadi, bilangan  X adalah  142.857

Bukti ;  142.857 x 3 = 428.571

Cara mudah  menentukan  k , dengan memperhatikan ciri bilangan habis dibagi 3, yaitu :

Jumlah angka-angka penyusunya  habis dibagi 3.

Untuk latihan :

Suatu bilangan N  terdiri dari  5 digit (angka) dengan angka pertamanya 2, jika dikalikan dengan 4, diperoleh suatu bilangan yang angka-angkanya sama dengan bilangan semula tetapi urutannya terbalik (maksudnya 2ABCD x 4 = DCBA2) .

Berapakah bilangan N  tersebut ?

Coba anda belajar menyelidiki, memahami dan menemukan sendiri (belajar Heuristik).

Selamat mencoba . 

4.     Pada gambar dibawah, titik O adalah pusat lingkaran yang berjari-jari r. Jika panjang ruas  garis ED juga sama dengan r, buktikanlah bahwa  sudut  DEC =1/3 sudut AOB.

Jawab :

Coba anda jawab dulu ! lihat pembahasan 

Buatlah garis DO ! seperti pada gambar berikut :

Perhatikan  segitiga ODE  samakaki (panjang DE= pangjang OD = r ) ok.

Maka  sudut  DEC = sudut DOC .

Sudut  DEC adalah sudut luar lingkaran ( sudut yang dibentuk oleh talibusur AC dan BD yang berpotongan di luar lingkaran O yaitu di E).

TIPS :

Dalam mengerjakan soal Geometri yang umumnya kita bekerja dengan gambar. Sering kali kita perlu mengkonstruksi garis, atau titik, atau mentransformasi bentuk menjadi bentuk yang sederhana,  untuk memperoleh informasi yang diperlukan secara visual, sejalan dengan strategi penyelesaian yang direncanakan dalam menemukan hal yang dicari/ ditanyakan.

5.     Ada berapa banyakkah pasangan terurut bilangan asli (a, b) dengan syarat a< b, dan

FPB(a, b) = 4  serta KPK(a,b) = 140  ?

Jawab :

Sebaiknya anda jawab dulu ! lihat pembahasan

Diketahui :

FPB (a, b) = 4 , maka dapat ditulis ;

KPK (a, b) = 140 , maka dapat ditulis ;

Sepasang faktor dari 35 yaitu;  ( 1, 35) dan (5, 7).

Dengan demikian pasangan  (a, b) adalah  (4, 140) dan (20, 28).

Jadi, ada 2 pasang.

Ini soal berkualitas dan tidak rutin, seandainya anda kesulitan menjawab soal ini, anda terjebak dengan rutinitas soal seperti berapakah FPB dan KPK dari  4 dan 18 ?

Mungkin ada benarnya apa yang dikatakan Maier dalam bukunya Didactic of Mathematics “ tidak sedikit pebelajar matematika terjebak dalam rutinitas”.

Semoga anda penggemar matematika tergugah dan tidak terjebak dengan rutinitas.

Misalnya rutinitas soal pada segitiga siku-siku diketahui panjang 2 sisi-sisinya, cari panjang sisi lainnya.

Soal tidak rutin :

 Jika panjang sisi-sisi suatu segitiga siku-siku merupakan bilangan bulat positif.

Dapatkah menentukan panjang dua sisi lainnya jika diketahui  panjang satu sisinya misalnya  7 ?

Jawabnya tentu bisa.

Semoga bermanfaat…


About these ads

16 Januari 2011 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, GEOMETRI, TEORI BILANGAN | ,

4 Komentar »

  1. thanks banget :)
    sangat membantu buat persiapan OSN

    Komentar oleh Alina N. F. | 6 April 2013 | Balas

  2. thanks for this pages………

    Komentar oleh alumni 2006 | 25 November 2011 | Balas

  3. siiiiiiiiip lah mau lg doooooooong. wah saya bener ” terbantu dgn adanya pembahsan soal” olimpiade macam ni.tq yaaa

    Komentar oleh ruli | 1 April 2011 | Balas

  4. Gagasan yang bagus

    Komentar oleh Endang | 5 Februari 2011 | Balas


Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 52 pengikut lainnya.

%d blogger menyukai ini: