DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SISA PEMBAGIAN BILANGAN BULAT POSITIF BERPANGKAT

SISA PEMBAGIAN BILANGAN BULAT POSITIF BERPANGKAT

 Dari pemberitahuan   Search Engine (mesin pencari) yang masuk, seseorang mencari jawaban dari soal 10 pangkat  99 dibagi 7 berapa sisanya ?  Siapapun orangnya , berikut ini penulis sajikan  cara menjawab  untuk soal sisa pembagian tersebut !

 1099  DIBAGI  7  SISANYA BERAPA ?

Penyelesaian :

Sembarang bilangan  bulat positif dibagi  7  sisanya  yang mungkin adalah ; 0, 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 .

Jika  kita bagi secara konvensional  bilangan yang begitu besar tersebut dengan  7 , tentu  merepotkan dan cukup menyita waktu serta energi.

Pada  dasarnya  mencari sisa pembagian bilangan bulat  dibagi bilangan bulat sbb:

Sederhanakan  bilangan yang dibagi,  dengan jalan memfaktorkan bilangan tersebut, tujuannya  agar mendapatkan suatu bilangan  yang bersisa sama (kongruen) jika dibagi 7.

Faktorkan bilangan  yang dibagi , dalam bentuk faktor-faktornya yang memuat  bilangan pangkat dari 10 yang bersisa 1 jika dibagi 7.

Kita periksa bilangan pangkat dari 10 jika dibagi 7 bersisa 1. Mulai dari bilangan terkecil yaitu 10

101         dibagi    7  sisanya  3

102         dibagi    7  sisanya  2

103         dibagi    7  sisanya  6

104         dibagi    7  sisanya  4

105         dibagi    7  sisanya  5

106         dibagi   7  sisanya  1

Tips :  Untuk menentukan sisa pembagian bilangan diatas dibagi 7 , tak perlu melakukan pembagian secara utuh, misalnya  102 = 100 , lalu 100 : 7 = 14 sisa 2.  Anda cukup  melihat hasil sisa pembagian sebelumnya , sisa pembagian 102 = 10 x 10 dibagi 7  sama dengan sisa (3 x 3) dibagi 7,  9 : 7 sisa 2.

Begitu juga seterusnya  103 = 101 x 102, sisa 103 dibagi 7  adalah 3 x 2 = 6. (karena demikian sifat sisa pembagian bilangan )Ok.. Lanjut

Dengan memuat  bilangan terakhir  yaitu 106 , kita faktorkan  1099.

Dengan algoritma pembagian diperoleh  bahwa;   99 = 6 x 16 + 3

Sehingga dapat ditulis ;

Dengan demikian  sisa 1099 dibagi 7 sama dengan  sisa 103 dibagi 7  yaitu  6.

(karena 106  dipangkatkan  bilangan bulat positif berapapun  dibagi 7  tetap besisa  1)

Jadi,   1099 dibagi  7 bersisa 6.

SOAL  LATIHAN ,  BERAPAKAH  SISA PEMBAGIAN    52011  DIBAGI  7 ?

TINGKAT  LANJUTAN :

Kesamaan sisa pembagian  tersebut dalam  matematika dikemas  dengan  istilah Kongruensi Modulo.

Mahasiswa  tk. I  biasanya  telah mendapat materi ini  dalam mata kuliah Aljabar atau Teori Bilangan .

Apapun  istilah dan penyajiannya, dalam mencari solusi sisa pembagian pada  prinsifnya  sama , ini yang disebut  Persamaan Linear Kongruensi Modulo, dan soal  tersebut  dalam kongruensi modulo  ditulis sebagai berikut;

Tentukan  penyelesaian  dari

1099 ≡  x (mod  7)

Jawab :

Mulailah   dari  bilangan terkecil diatas  yang bersisa 1 dibagi  7,  yaitu   106

106 ≡  1 (mod  7)

Kedua ruas  persamaaan kongruensi modulo  tersebut  dipangkatkan  16  diperoleh

(106)16  ≡  116 (mod  7)

1096  ≡  1 (mod  7)

Kedua ruas  dikali  103 , diperoleh ;

1096 x 103  ≡  1 x 103 (mod  7)

1099  ≡  103 (mod  7)

1099  ≡  10 x 10 x 10 (mod  7)

1099  ≡  3 x 3 x 3 (mod  7)

1099  ≡  27 (mod  7)

1099  ≡  6 (mod  7)

Dengan kata lain,  1099  dibagi  7  bersisa  6.

Simpulan :

Dalam beberapa kasus  soal sisa  pembagian, lebih sederhana  penyelesaiaannya dengan langkah pengerjaan  seperti  di atas , sehingga  soal sisa pembagian bilangan bulat berpangkat,  dapat diberikan kepada  siswa  SMP atau SMA.

Contoh Soal  berikut  adalah Kebalikan  Soal di atas

Tentukan  bilangan bulat positif  terkecil , jika dibagi  3  bersisa 1 , jika dibagi 5 bersisa 2 , dan jika dibagi dengan 7  bersisa 6 ! 

 Jawab :

Soal seperti ini untuk mahasiswa  termasuk soal  sistem persamaan linear  kongruensi modulo, tetapi oleh siswa SMP  dapat dijawab  dengan langkah seperti berikut :

Karena bilangan yang  ditanyakan tak terhingga banyaknya , maka bilangan yang dicari  dibatasi dengan bilangan yang terkecil.

Misalkan  N adalah  bilangan bulat positif  terkecil, dimana  N < 105  ,  105 = KPK ( 3, 5, 7).

N  dibagi  3  bersisa  1

N  dibagi  5  bersisa  2

N  dibagi  7  bersisa  6

Karena  FPB(3, 5 , 7) = 1 , maka kita dapat menentukan bilangan  pengali untuk sisa masing-masing pembagi.

Cari  bilangan kelipatan persekutuan  terkecil dari  b dan c  yang bersisa  1  dibagi  a , secara bergantian.

Bilangan  kelipatan persekutuan  terkecil  dari  (5 dan 7)  yang bersisa 1  dibagi  3  adalah  70 ,

Bilangan  kelipatan persekutuan  terkecil  dari  (3 dan 7)  yang bersisa 1  dibagi  5  adalah  21 , dan

Bilangan  kelipatan persekutuan  terkecil  dari  (3 dan 5)  yang bersisa 1  dibagi  7  adalah  15

Sehingga ,  Salah satu bilangan  N =  1 x 70 + 2 x 21 + 6 x 15 = 70 + 42 + 90 = 202 ,

Tetapi  bilangan  N  yang diminta  adalah  bilangan bulat positif  terkecil

Jadi,  N =  202 – 105 = 97 .

Jika  Bilangan yang dicari bilangan bulat positif  terkecil yang teridiri dari 3 digit, maka 202  jawabannya.

Jika  soal tersebut tanpa pembatasan, maka  jawaban soal tersebut bersifat umum .

Jawab  umum  dari soal tesersebut  adalah  N = 97 + k . 105  , dengan  k adalah bilangan Bulat .

Untuk  soal  ini ,

bilangan Pengali  70 , untuk  sisa pembagian oleh  3

bilangan Pengali  21 , untuk  sisa pembagian oleh  5

bilangan Pengali  15 , untuk  sisa pembagian oleh  7 .

Prinsipnyasisa pembagian suatu bilangan , jika  dikalidengan bilangan tertentu yang bersisa 1 , lalu dibagi  pembagi, tidak merubah sisa pembagian tersebut.

Sebagai illustrasi  9 : 7  sisanya 2 ,  maka  2 x 8 = 16 ,  16 : 7  sisanya  2  (tetap)

Bilangan Pengali  8 adalah  bilangan terkecil yang dibagi 7 bersisa 1.

Dengan menggunakan bilangan Pengali  15 juga diperoleh sisa yang  tetap.

Ini mudah  dipahami  secara aljabar  :

Jika  S  adalah sisa pembagian suatu bilangan bulat  oleh  bilangan bulat  P,  maka

dengan k  adalah bilangan bulat, maka  tampak  sisanya  tetap  S.

 

//

About these ads

10 Maret 2011 - Posted by | ALJABAR, TEORI BILANGAN | , ,

9 Komentar »

  1. (Y) :)

    Komentar oleh Culez | 18 Desember 2013 | Balas

  2. 5 ya min. jawaban soal diatas ??

    Komentar oleh ogi sugasi basri | 15 Februari 2013 | Balas

    • maksudnya soal yg mana?

      Komentar oleh deni11math | 16 Februari 2013 | Balas

  3. ada sedikit kekurangan, jika digunakan bilangan 2 pangkat 5 hasilnya 32 dibagi 7 hasil sisanya 4, begitu juga bilangan 4 pangkat 5 hasilnya 1024 dibagi 7 hasil sisanya 2.

    Komentar oleh Chazz Princeton (@aldiand_) | 5 September 2012 | Balas

  4. membantu sekali, thanks

    Komentar oleh Chazz Princeton (@aldiand_) | 5 September 2012 | Balas

  5. gimana cara ngmbil soal-soal matematika terkhusus hanya satu pokok bahasan materi aja, Sir.?

    Komentar oleh Bernadita | 26 Oktober 2011 | Balas

    • Cari aja di silabus matematika tk. SMP or SMA pake search enggine, biasanya banyak yg rajin posting, tapi itu biasanya soal rutin, sedangkan OSN soal tidak rutin.

      Komentar oleh deni11math | 26 Oktober 2011 | Balas

  6. keren

    Komentar oleh LM Umar Reky RR | 28 Mei 2011 | Balas


Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 53 pengikut lainnya.

%d blogger menyukai ini: