Pembahasan Soal Matematika PASIAD Ke-6 Final 2010

Pembahasan Kompetisi Matematika PASIAD se-lndonesia VI

Tingkat SMP Babak Final

Pembahasan ini menurut cara penulis sebatas pengetahuan yang ada di benak, tentu yang legal pembahasan dari pembuat soal PASIAD.  Pembahasan ini hanya sarana penulis berlatih dan berbagi untuk mereka penggemar matematika, dan siswa yang merasa kesulitan dalam menjawab soal-soal yang tidak rutin. Tentu banyak jalan yang bisa ditempuh dari Surabaya menuju Jakarta, demikian pula lebih dari satu  cara dalam menjawab soal ini. Sebaik-baiknya jawaban adalah pembahasan yang benar dengan cara sendiri. Sebagai pembahas, saya hanya memberikan sedikit dasar teori serta logika berpikir yang mana setiap orang dikaruniai hal itu, tinggal kita membukanya. Jadi jangan pernah terpola dengan satu cara pembahasan.

Selamat menyimak dan semoga bermanfaat !

PEMBAHASAN

1.

2.    Diketahui bilangan m  dengan jumlah digit-digitnya 30, maka  m   adalah bilangan kelipatan 3.

Bilangan  m  terkecil adalah terdiri dari 4 digit.

Jika m = 3999 , maka m + 3 = 4002  sehingga jumlah digitnya  4 + 2 = 6

Jika m = 9399 , maka m + 3 = 94002  sehingga jumlah digitnya  9 + 4 + 2 = 15

Jika m = 9939 , maka m + 3 = 9942  sehingga jumlah digitnya  9 + 9 +4+ 2= 24

Jika m = 9993 , maka m + 3 = 9996  sehingga jumlah digitnya  9 + 9 +9+ 6= 33

Jadi bilangan  m + 3 , jumlah digitnya  tidak bisa sama dengan  21 .                       B

3.    Rubahlah  bilangan  x , y, z,  dan  t  sehingga  berpangkat sama !

4.    Persoalan ini dapat kita  analogikan  sebagai pertukaran posisi tempat duduk  5 orang, dimana semua orang harus berpindah posisi duduk jika disediakan 5 kursi.

Untuk memudahkan perhitungan kita lakukan dalam dua tahap

Tahap  I.

Hitung banyaknya susunan untuk  posisi kursi ke-1 dan ke-2, adalah merupakan  permutai 2 unsur dari 5 unsur yang berbeda, yaitu sebanyak ;

Tetapi  dari  20 susunan ini terdapat  susunan yang tetap, yaitu AB, AC, AD, AE, CB, DB, dan EB.

Jadi, banyaknya susunan untuk  posisi kursi ke-1 dan 2  yang berbeda dan tidak ada yang tetap sebanyak  20 – 7 = 13 susunan, yaitu;  BA, BC, BD, BE, CA, CD, CE, DA, DC, DE, EA, EC, ED,

Tahap II

Selanjutnya  dari setiap 13 susunan tersebut, hitung banyaknya susunan untuk posisi kursi ke-3, 4 dan 5 yang berbeda dan tidak ada yang tetap.

1)      Untuk posisi  kursi ke-1 dan 2 ,  yaitu BA.

Buatlah  5 petak lalu isi petak  ke-3, ke-4 dan 5 dengan banyaknya kemungkinan orang yang dapat menduduki posisi tersebut.

Kursi ke- 3 kemungkinan dapat diduduki oleh 2 orang  yaitu  D dan E, selanjutnya kursi ke-4 dan ke-5 kemungkinan  dapat diduduk oleh 1 orang, jadi  banyaknya susunan yang berbeda untuk posisi kursi ke-1 dan ke-2,    BA  sebanyak  2 x 1 x 1 = 2 susunan.

Yaitu  B A  D E C , dan  B A E C D

2)      Untuk  posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu  BC

Maka banyaknya susunan sebanyak   3 x 1 x 1= 3 susunan, yaitu;

BC AED ,  BC EAD,   BC DEA.

Banyaknya susunan ini sama untuk posisi kursi ke-1, dan ke-2  yaitu:

BD, BE, CA,  DA, EA

Jadi, banyaknya susunan 6 x 3 = 18 susunan

3)      Untuk  posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu  CD,

Maka banyaknya susunan sebanyak   2 x 2 x 1= 4 susunan, yaitu;

CD AEB ,  CD BEA,   CD EAB, CD EBA

Banyaknya susunan ini sama untuk posisi kursi ke-1, dan ke-2  yaitu: DC, ED, DE, EC, CE.

Jadi, banyak susunan sebanyak  6 x 4 = 24 susunan.

Dengan demikian banyaknya susunan posisi duduk dengan kondisi tidak ada yang tetap adalah sebanyak  2 + 18 + 24 = 44.

Jadi banyaknya cara yang mungkin  saling memberikan hadiah sebanyak  44  cara.          D

5.     Jumlah  nilai digit angka m = 999 x 9 = (1000 – 1) x 9 = 9000 – 9 = 8.991    B

Cukup mudah.

6.     Rasio  jarak yang ditempuh jarum (jam) dan jarum (menit) yang bergerak selama 3 jam adalah

Cukup mudah

7.     Gunakan  sifat  akar, dan  aljabar.

Dari persamaan  (1) dan (2), disimpulkan ,bahwa;

a = c ,  dan

2a + b = – (b + 2c)  atau  2a + 2b = – 2c  atau  a + b = -c .

Atau disimpulkan bahwa, b = -2a

Maka nilai  (a + b + c)²             = (-c + c)² = 0  , tapi pilihan jawaban ini tidak ada, ubah kebentuk lain

= (a + b + a)²

= (2a + b)²

= 4a² + 4ab + b²

=  4a² + 4a(-2a) + b²

= 4a² – 8a² + b²

=   b² – 4a²

=   b² – 4ac                  A

 

8.     Gunakan pemfaktoran  bentuk  selisih dua kuadrat !

Cukup  mudah.

9.     Sederhanakan  penjumlahan bilangan pecahan bersusun tersebut !

 

10.     Diketahui  persegi berukuran  8 x 8

Ukuran persegi  yang terbentuk adalah

Persoalan ini sama dengan berapa banyak cara menempatkan ubin  2 buah persegi (berukuran 2×2) pada petak pesegi  berukuran 4×4. Hal ini sama dengan permutasi 2 unsur  dari 4 unsur yang sama, yaitu sebanyak 4² = 2⁴ .

Karena   pewarnaan merah dan biru, merupakan hal yang saling bebas, maka banyaknya cara mewarnai sehingga potongan 2 persegi berwarna biru dan 2 persegi berwarna merah adalah sebanyak =   2⁴ x 2⁴  = 2⁸                       C

11.     Koefisien  hasil perpangkatan bilangan (1 + x)ⁿ  adalah

Diketahui bahwa , 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Koefisien  terbesar hasil perpangkatan bilangan (1 + x)ⁿ  adalah  1/24   n (n-1)(n-2)(n-3) , maka

Dari  bentuk (A)  tampak  bahwa  r = 4, sehingga  bentuk (A)  dapat ditulis:

Selanjutnya  bentuk (B) periksa nilai  n  yang menghasilkan nilai  yang sama dengan 1/24 n(n-1) (n-2)(n-3) :

Dipenuhi untuk  n = 7  ;

 7!/(7-3)! = 7!/3! = 7 x  6 x 5 x 4 = 1/24   (7 x 6 x 5 x 4)

Jadi , untuk  n = 7  diperoleh  koefisien sesuai soal                               D

 

12.     Banyaknya  bilangan bulat berbeda yang memenuhi y ,

Karena  nilai  y  merupakan bilangan bulat, maka dengan mudah dapat kita temukan;

Nilai  y  maksimum  dicapai jika  nilai dari :

Nilai  y  minimum  dicapai jika  nilai dari :

Sehinnga nilai  y  adalah  -18 ≤ y ≤ 18

Untuk  nilai y  bilangan bulat, maka banyaknya  adalah  37                                   B

 

13.     Banyaknya bilangan  genap antara 1 dan 9 adalah  4, maka banyak siswa laki-laki = 18 – 4 x1 =14     

          C  (sangat mudah)

14.     Perhatikan  gambar !

Jika  panjang  AK = a , dan   panjang [KP]=[PR]=[RB]= x  , maka

Luas  persegi APNO – luas persegi AKLM    =  17

(a + x)²            –           a²         =  17

2ax + x²                                   =  17

x ( 2a + x)                                =  17

Karena  17  merupakan bilangan prima, maka haruslah   x = 1 dan  2a + x = 17, sehingga diperoleh;

2a + 1     = 17 ,

2a           = 16  atau   a = 8.

Jadi, luas  persegi ABCD =  (a + 3x)²  = (8 + 3)²  = 11² = 121              B.                    

15.     Perhatikan gambar!

Tampak pada gambar, tebal rantai 1 cm, dan penambahan panjan  1 gelang rantai adalah

6 – 2 =  4 cm.

Ukuran panjang rantai membentuk barisan  aritmetika sebagai berikut:

6 , 10 , 14 , …  ,170.

U_n = a + ( n – 1 ) b , dengan  a = 6  ,   b = 4  dan  n banyaknya  gelang rantai, sehingga diperoleh;

6 +(n – 1) 4      = 170

6 + 4 n  – 4       = 170

4n        = 170 – 2

n          = 168/4

n          = 42

Jadi, banyaknya  gelang rantai  adalah  42.               D

16.     Banyak angka untuk 10 bilangan asli pertama yang ditulis dari kiri ke kanan sebanyak  11 angka.

Banyak angka untuk bilangan dari 11 s.d. 20  sebanyak  20 angka, dan banyak angka untuk bilangan dari 21 s.d. 30  sebanyak 20 angka.

Dengan demikian urutan angka ke-50   dari bilangan yang ditulis dari kiri ke kanan adalah  3  A

17.     Misalkan  bilangan terbesar yang mungkin  adalah  n,    dengan n  bilangan bulat positif.

Bilangan n terbesar dicapai,   jika  bilangan terkecil dari himpunan bilangan tersebut adalah 1 dan selisih dua bilangan berurutan dari 15 anggota himpunan bilangan itu juga 1, sehingga dapat ditulis:

Jadi,  bilangan bulat positif  terbesar yang mungkin adalah  136.                         B

18.

=  10⁴ + 3. 10²  + 1

=  10.301                                                                        A

 

19.     Berapa banyak pasangan (x, y, z) yang memenuhi persamaan x + y + z = 100, dengan x, y, dan z

merupakan bilangan bulat positif.

Persoalan ini  identik dengan  membagikan 100 benda ke dalam 3 kotak  yang diberi nama x , y, dan z  dengan isi setiap kotak paling sedikit 1 benda (karena x, y, z bilangan bulat positif).

• Mulailah dari  persoalan yang sederhana, misalkan  x + y + z = 4.

Pertama masukan 1 benda ke dalam semua kotak , selanjutnya sisanya masukan ke sembarang kotak . Sisa benda adalah 1 yang kemungkinan dapat dimasukan ke dalam kotak x, y, atau z,  , sehingga banyaknya kemungkinan sebanyak 3.

Pasangan nilai (x, y, z) yang memenuhi adalah (1, 1, 2) , (2, 1, 1) , (1, 2, 1) ,.

Dengan demikian banyaknya pasangan (x, y, z) sebanyak 3.

• Lanjutkan untuk  x + y + z = 6

Pasangan nilai (x, y, z) yang memenuhi adalah (1, 1, 4) , (1, 4, 1) , (4, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 2),

(1, 2, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1), , (2, 1, 3), (2, 3, 1)  sebanyak  10 pasang.

Jika kita rumuskan, untuk  soal;  x + y + z = 4 , diperoleh sebanyak 3 pasang

Perhatikan, 4 adalah jumlah bilangannya, 3 banyaknya variable (kotak).

Untuk  soal;  x + y + z = 6 , diperoleh sebanyak 10 pasang.

Secara umum  dapat kita rumuskan:

Akibat langsung  dari syarat bahwa, isi setiap kotak paling sedikit 1 benda adalah sedikitnya terdapat 2 kotak berisi jumlah benda yang sama. Ok?

Banyaknya permutasi n unsur berbeda dengan  satu unsur yang sama muncul sebanyak  s kali.

Mengitung banyaknya semua kemungkinan cara membagikan sejumlah n benda  ke dalam  k  kotak dengan isi setiap kotak paling sedikit 1 benda,   yaitu:

Langah pertama, masukan 1 benda ke dalam setiap kotak, sisanya sebanyak (n – k ) benda. Selanjutnya sisanya sebanyak (n – k) benda tersebut  dibagikan ke sembarang kotak.

Banyaknya kemungkinan,  sama dengan menghitung banyaknya permutasi dari (n – k).

Dengan trik menyisipkan angka 1 sebagai pemisah dari sejumlah  k  kotak, sehingga terdapat sebanyak (k – 1) angka satu yang sama, maka banyaknya kemungkinan merupakan  permutasi  (n – k) benda dari  (n – k  + k – 1 )= (n – 1) benda berbeda,  dengam jumlah unsur yang sama sebanyak (k – 1) (yaitu angka 1 sebagai pemisah).  

   Sehingga permutasi tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Hasil perhitungan ternyata sama dengan   kombinasi  (k – 1) unsur dari  (n – 1) unsur berbeda.

Jadi , untuk  n = 100  dan  k = 3 , diperoleh:  

=4900 – 49 = 4.851        C

Gunakan rumus tersebut untuk menentukan banyaknya penyelesaian yang merupakan bilangan bulat positif dari sebuah persamaan yang berjumlah n dan  terdiri dari  k  variable (k >1 ).

x₁ + x₂ + ….+ x_k = n

Jika  x₁ + x₂ + ….+ x_k   anggota bilangan bulat tidak negatif, maka banyaknya penyelesaian adalah sebanyak:

 

20.     Berapakah banyaknya nilai  x  yang memenuhi  persamaan nilai mutlak berikut;

Kedua ruas persaman (2) dikuadratkan diperoleh;

p² – 2 p + 1 = 4

p² – 2 p – 3 = 0

(p – 3)(p + 1) = 0 ,  maka  nilai  p = 3 (yang memenuhi, karena p tidak negatif)

Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi  adalah sebanyak   2              C

 

21.     Perhatikan  gambar !

Hitunglah banyaknya segitiga dan persegi lalu hitung selisihnya !

Banyaknya segitiga 10, sedangkan  banyaknya persegi di dalam segitiga besar adalah 7.

Jadi, jumlah  segitiga berlebih dari jumlah kotak persegi yang ada dalam segitiga besar adalah 3.          C  mudah

22.     Letak  median (nilai tengah)

Berdasarkan  informasi soal  urutan ke-50  merupakan nilai di tengah-tengah dari sekumpulan data terurut yang berjumlah ganjil.

Jika  n  adalah  jumlah  siswa  peserta kompetisi PASIAD maka

1/2 (n + 1)  =  50

n +1    = 100 , maka  n = 99.

Jadi,  jumlah  siswa  peserta kompetisi adalah  99                 C

23.     Berapakah banyaknya bilangan bulat positif yang memenuhi pertidaksamaan;

Jika ketiga ruas  dikuadratkan, diperoleh ,    2000²  <  n (n + 1) <  2005²  , maka

bilangan bulat positif  n   yang memenuhi  adalah 2000, 2001, 2002, 2003, dan 2004.

Jadi  sebanyak  5                       A  (mudah)

 

 24.    Sistem Persamaan Linear  3 variabel

Diketahui;

Dari persamaan (1), diperoleh   a = 7 – (b +c) ,    b = 7 – (a+c)  , dan  c = 7 – (a+b), substitusi ke soal yang ditanyakan , sehingga dapat ditulis :

25.     Jika  suku ke-n  dari bilangan tersebut  adalah U_n , maka     U_n = 2 U_n-1 + a

U₆ = 70   dan   U₉ = 609.

26.     Soal  SPLDV

Misalkan jumlah  mahluks  Plouks = x , dan jumlah mahluk Zuves = y , maka diperoleh persamaan;

27.     Berapa banyaknya bilangan 8 digit (a₁ a₂ a₃ … a₈)  yang terdiri dari angka 0 atau 1 dimana , a₁=1

dan memiliki  sifat:   a₁ + a₃  + a₅ + a₇   = a₂ + a₄  + a₆ + a₈ . (dengan kata lain jumlah angka pada urutan ganjil sama dengan jumlah angka pada urutan genap).

Langkah pertama  buatlah  8 petak kemudian isi dengan  angka 1 atau 0 , hitung banyaknya susunan yang mungkin untuk 2 keadaan yang bebas yaitu untuk angka urutan ganjil dan untuk  angka pada urutan genap, mulai  dengan jumlah angka  8 digit tersebut yang mungkin yaitu 2, 4, 6 , dan 8.

1. Untuk jumlah angka-angkanya = 2, maka jumlah angka-angka pada urutan ganjil dan genap sama yaitu 1.

Untuk urutan ganjil  hanya ada 1 susunan (karena a1=1).

Sedangkan untuk  urutan genap.

Sebanyak 4 susunan.

Banyaknya susunan ini merupakan permutasi  n  unsur (dengan k unsur yang sama  muncul sebanyak r₁,…,r_k dimana k ≤ n ) .

Untuk urutan angka ganjil  cukup dihitung dari urutan ke-3, 5, dan 7 karena urutan ke-1 tetap.

Dari tiga digit hanya  terdiri dari 3 angka 0 ,    sehingga banyaknya susunan sebanyak;

Untuk urutan genap:

Dari 4 unsur  tersebut terdapat sebanyak 1 angka 1 dan sebanyak 3 angka 0 yang sama, maka banyaknya permutasi adalah

Karena  dua hal ini merupakan  kasus yang saling bebas, maka banyaknya susunan bilangan dengan jumlah angka-angkanya =2 adalah  sebanyak  1 x 4 = 4

 2).    Untuk jumlah angka-angkanya = 4

Jumlah angka untuk urutan ganjil  = 2 , Cukup dihitung dari urutan  ke-3 , 5, dan 7   karena urutan ke-1  tetap dan banyaknya susunan sebanyak :

Untuk urutan genap, terdapat sebanyak 2 angka 1 dan sebanyak 2 angka 0, sehingga banyaknya susunan yang mungkin sebanyak;

Dengan demikian banyaknya  susunan bilangan yang mungkin sebanyak  3 x 6 =  18

 

3).    Untuk jumlah angka-angkanya = 6

Jumlah angka untuk urutan ganjil  = 3  dan banyaknya susunan:

Untuk urutan genap:

Terdapat  sebanyak 3 angka 1 dan sebanyak 1 angka 0, sehingga banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak:

Dengan demikian banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak  3 x 4 = 12

 

4).   Untuk jumlah angka-angkanya = 8 , hanya ada 1 susunan yaitu, 11111111

Jadi, banyaknya susunan bilangan yang terdiri dari 8 digit dengan sifat tersebut adalah sebanyak

4 + 18 + 12 + 1 = 35                  B

 

28.    Diketahui  a  dan  b  adalah pecahan  biasa.

x dan  y  merupakan  deret geometri konvergen tak hingga (infinity)  dengan  jumlah  S :

Sehingga  x dan y  dapat dinyakan sebagai berikut:

 

29.     Nilai  n  bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan  888 x 111 = 2 (2n)²  adalah …

888 x 111 = 2 (2n)²

888 x 111 = 2 (4n²)

8 x 111 x 111 = 8 n²

8 x 111 x 111 = 8 .  n . n  , maka  n = 111                                D

 

30.     Diketahui  :   ppp  adalah bilangan tiga digit, dan  qr , kr  adalah bilangan dua digit.

Berapakah  p + q + r + k = …?

Karena   ppp = qr . kr  , maka dapat ditulis:

p(111)             = (10q + r)(10k + r)

3p(37) = (10q + r)(10k + r)

Karena  37  bilangan prima, maka  haruslah 10k + r = 37, sehingga diperoleh  k = 3, dan r= 7.

3p = 10q + 7 ,   karena   3p adalah bilangan kelipatan 3 yang angka satuannya 7, maka

haruslah  3p = 27 , sehingga  p = 9 , dan q = 2.

Jadi,  p + q + r + k = 9 + 2 + 7 + 3 = 21                       C

 

31.     Diketahui:  abac adalah bilangan kuadrat dari bilangan dua digit  rs, maka dapat ditulis

a.10³ + b.10² + a.10 + c  = (10r + s)²

10a . 10² + b.10² + a.10 + c =  r².10² + 2 r. s .10 + s²

(10a + b).10² + a.10 + c  = r².10² + 2. r .s . 10 + s²

Dari persamaan ini diperoleh  ,   r² = 10a + b ,  tampak bahwa r² menghasilkan  bilangan puluhan, maka haruslah  r ≥ 4 , selanjutnya   coba dan periksa dalam menentukan nilai  s.

Jika  r= 4 , dan  s = 1  ,maka   41² = 1681  ≠ abac

Jika  r= 4 , dan  s = 2  ,maka   42² = 1764 ≠ abac

Jika  r= 4 , dan  s = 3  ,maka   43² = 1849 ≠ abac

Jika  r= 4 , dan  s = 4  ,maka   44² = 1936 ≠  abac

Jika  r= 4 , dan  s = 5  ,maka   45² = 2025 = abac

Tampak bahwa, 45² = 2025  berbentuk  abac , sehingga  a = 2 , b = 0, dan c = 5.

Selanjutnya  periksa apakah 3136 merupakan bilangan kuadrat dari bilangan dua digit.

Fakta bahwa 56² = 3136.

Jadi,  a + b + c = 2 + 0 + 5 = 7   D

 

32.     Diketahui:   x₁, x₂, x₃ , …., x_n   adalah  suku-suku barisan bilangan berupa bilangan bulat positif

yang tidak lebih dari  2001.

Berapakah  nilai n  maksimun yang bisa diperoleh?

Jawab:

n  adalah banyaknya suku-suku barisan bilangan tersebut.

Karena suku-suku barisan bilangan tersebut bilangan bulat positif dan tidak lebih dari 2001,  agar n  bisa didapat maksimum, maka  dapat kita tentukan :

x₁ = 1 ,  x₂ = 2001,  x₃ = 2000 , dan    , x_n = 1

sehingga diperoleh barisan:

1 , 2001,  2000, 1, 1999, 1998, 1, 1997, 1996, ….., 3, 2, 1,  1

Jika kita perhatikan susunanya, tampak  barisan ini merupakan  barisan bilangan berurutan yang disisipkan angka 1, di setiap dua suku.

Selanjutnya  hitung banyaknya  angka 1 yang disisipkan.

Banyaknya angka 1 yang disisipkan di setiap dua suku = ½ x 2000 -1 = 999

Banyaknya suku barisan bilangan tersebut  sebanyak  2000 + 999 + 3 = 3002  suku.

Jadi, nilai  n   maksimum yang bisa di dapat adalah  3002                        B

 

33.     Yang bukan merupakan  pasangan bilangan Pythagoras adalah  (6, 17, 18)

Karena  18² ¹ 6² + 17²     D   

(hapalan Tripel Pythagoras sangat membantu dalam menjawab soal ini)

34.     Diketahui:  f(x)  suatu fungsi pada bilangan bulat sehingga  f(2011) = 2020 dan

f(x+1) = 2.f(x) – 2004.

Berapakah  f(2010) = …?

Jawab:

f(2011) = 2.f(2010) – 2004

2020    = 2 . f(2010) – 2004

f(2010) = 1/2 (2020 + 2004)

f(2010) = 1010 + 1002 = 2012                        B   (mudah)

 

35.     Misalkan  nilai  awal  yang diberikan  adalah  a ,  dan  X₀ = 2a – 1

Karena  perhitungannya berulang , Jika X_i menyatakan pengulangan ke-i , maka   perhitungannya dapat kita rumuskan sbb:

Selanjutnya tentukan  X₁ , X₂ , dan X₉₈ .  Karena rekursif maka terbentuk suatu pola.

Perhatikan  polanya !

X₁ = 2 X₀ – 1  = 2(2a – 1) – 1 = 4a – 3 = 4a – 4 + 1 = 4 (a – 1) + 1       = 2² (a – 1) + 1

X₂ = 2 X₁ – 1  = 2(4a – 3) – 1  = 8a – 7 = 8a – 8 + 1 =  8 (a – 1) + 1     = 2³ (a – 1) + 1

.                                                                                                    .

.                                                                                                    .

.                                                                                                    .

X₉₈                                                                                                             = 2⁹⁹ (a – 1) + 1

Diketahui , X₉₈              = 2¹⁰⁰  + 1

2⁹⁹ (a – 1) + 1  = 2¹⁰⁰  + 1

2⁹⁹ (a – 1)        = 2¹⁰⁰

2⁹⁹ (a – 1)        = 2⁹⁹ .  2¹

(a – 1) =   2

                         a     =   2 + 1 = 3

Jadi,  nilai  awal yang diberikan  adalah   3               C

 

36.     Perhatikan  gambar !

Diketahui:  besar sudut  AQB = 2 x besar sudut COD.

Talibusur  AC dan BD berpotongan di Q, maka  sudut  AQB  adalah sudut dalam lingkaran, sehingga

Besar  sudut AQB             = 1/2  (besar sudut AOB + besar sudut COD)

2 x besar sudut COD        = 1/2  ( 180⁰ +  besar sudut COD)

4 x besar sudut COD        =  180⁰ + besar sudut COD

3 x besar sudut COD        =  180⁰

besar sudut COD           =  180⁰ / 3 = 60⁰

Perhatikan  segitiga ODP  siku-siku di  D . (karena PD  adalah garis singgung dan O pusat lingkaran)

Karena  segitiga  ODP  dan segitiga  OCP  kongruen, besar sudut COD = 60⁰ , maka

besar sudut DOP = 30⁰, sehingga panjang DP = 1/2  OP .

Berdasarkan teorema Pythagoras;

OP²          = OD² + PD²

OP²          = OD² + (1/2 OP)²

OP²          = 1² + 1/4 OP²

3/4 OP²    = 1

OP²         = 4/3

 

37.     Perhatikan gambar !,  buat  garis bantu BC’, CA’ , dan AB’ .

Perhatikan  segitiga  BCC’ , luas segitiga C’AB = luas segitiga ABC  (karena  panjang AC’ = AC)

Perhatikan  segitiga  AC’A’ , luas segitiga C’AB = luas segitiga A’BC’ ( panjang AB = A’B)

Perhatikan  segitiga  A’BB’ , luas segitiga A’BC = luas segitiga A’CB’  (  panjang BC = B’C)

Perhatikan  segitiga  CC’B’ , luas segitiga CAB’ = luas segitiga AC’B’ (  panjang AC = AC’)

Simpulan:

Luas segitiga C’AB = A’BC’ = A’BC = A’CB’ = CAB’ = AC’B’ = ABC

Jadi, luas  segitiga  A’B’C’ = 7 x luas segitiga ABC = 7 x 25 cm² = 175 cm²        C

 

38.     Pada gambar  garis putus-putus  merupakan  lintasan  titik pusat lingkaran yang bergerak

sepanjang sisi-sisi bagian dalam persegi.

 

Panjang lintasan titik pusat lingkaran dalam satu rute = 4 x (10 – 2×2) = 4 x 6  = 24 cm B

(mudah).

 

39.     Berapa banyaknya bilangan 3 digit abc  (a¹0),  sehingga  a² + b² + c²  bisa membagi  26 ?

Jawab :

a² + b² + c²  bisa membagi  26, artinya  a² + b² + c²  merupakan factor-faktor dari 26.

factor-faktor dari 26  adalah 1, 2, 13, dan 26.  Selanjutnya tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi a² + b² + c² , kemudian hitung banyaknya susunan yang mungkin membentuk bilangan abc.

• Untuk a² + b² + c² = 1 , maka  a = 1, b = 0 , dan c = 0 sehingga susunan bilangan yaitu 100.

Banyaknya bilangan abc adalah 1

• Untuk a² + b² + c² = 2 , maka  a, b, c  anggota {1, 1, 0} sehingga

susunan bilangan yang mungkin yaitu 110 , 101

Banyaknya bilangan abc adalah 2 x 1 = 2

• Untuk a² + b² + c² = 13 , maka  maka  a, b, c  anggota {2, 3, 0} sehingga

susunan bilangan yang mungkin yaitu  230 , 203, 320 dan 302

Banyaknya bilangan abc  adalah  2 x 2 x 1 = 4

• Untuk a² + b² + c² = 26 , nilai-nilai  a, b, dan c anggota {1, 5, 0} atau {1, 3, 4}

Untuk  nilai-nilai  a, b, dan c  anggota  {1, 5, 0}, maka banyaknya susunan bilangan abc sebanyak  2 x 2 x 1 = 4 , dan

Untuk  nilai-nilai  a, b, dan c  anggota  {1, 3, 4}, maka banyaknya susunan bilangan abc sebanyak   3 x 2 x 1 = 6

Jadi, banyaknya susunan bilangan abc  adalah  1 + 2 + 4 + 4 + 6 = 17              C

40.    Berapakah nilai   n  bilangan bulat positif sehingga diperoleh selisih terkecil  dari:

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + …+ 2ⁿ .     dan    2010  ?

Jawab :

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + …+ 2ⁿ , merupakan deret geometri divergen  dengan suku pertama = 2⁰ = 1 , dan

rasio  r = 2  .

Jika   Sn  jumlah dari deret tersebut, maka

Untuk  n = 9 , maka  nilai  2ⁿ – 1 = 2⁹ – 1 = 512 – 1 = 511

Untuk  n = 10 , maka  nilai  2ⁿ – 1 = 2¹⁰ – 1 = 1024 – 1 = 1023

Untuk  n = 11 , maka  nilai  2ⁿ – 1 = 2¹¹ – 1 = 2048 – 1 = 2047

Selisih  dari  2047 dan 2010 = 2047 – 2010 = 37.

Jadi,  selisih terkecil diperoleh  untuk  n = 11             D

Alhamdulillah 40 soal telah terbahas, mohon kirtik jika ada salah ketik atau jawaban yang keliru.