BILANGAN 7 DIGIT BERURUTAN

MENGURUTKAN BILANGAN 7 DIGIT

Melalui sebuah komentar yang masuk, namun komentar itu dipandang sebagai spam oleh wordpress karena berangkat dari suatu link lain menuju halaman saya, dan terditeksi terdapat dua alamat yang akhirnya masuk sebagai komentar spam sehingga tidak akan pernah tampil dalam halaman blog ini. Dan saat saya membuka  komentar-komentar yang dianggap spam  itu,  seorang siswa SMP menanyakan jawaban soal tes matematika PASIAD yang menarik penulis untuk membahasnya. Walaupun terlambat semoga ada manfaatnya untuk penggemar matematika lainnya.

Berikut redaksi soalnya:

Suatu bilangan terdiri dari 7 digit disusun dari angka 1,2,3,4,5,6,7 dan setiap angka digunakan hanya satu kali(tidak boleh digunakan berulang). Bilangan tersebut disusun dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Bilangan terkecil  1234567  dan bilangan terbesar  7654321. Berapakah bilangan urutan ke- 4391 ?

Pembahasan :

Sebaiknya anda coba kerjakan dulu ! lalu lihat pembahasan ..

Berdasarkan informasi soal, bilangan itu disusun secara naik (ascending) dan tidak ada angka yang digunakan secara berulang.

Karena angka yang digunakan tidak boleh berulang, maka banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak  7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  = 5040  (aturan perkalian).

Untuk dapat memahami ini, buatlah 7 petak kemudian isi dengan banyaknya angka yang mungkin dapat digunakan pada setiap petak, petak pertama anggap digit pertama , petak kedua digit kedua dan seterusnya.

Pada petak pertama ada 7 angka yang mungkin dapat digunakan selanjutnya petak kedua tinggal 6 angka yang dapat digunakan dan seterusnya, sehingga banyaknya susunan bilangan yang mungkin merupakan hasil perkalian dari;

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040 .

Dengan demikian bilangan ke-1 adalah 1234567 dan bilangan ke-5040 yaitu 7654321.

Dalam menjawab soal ini, tentu kita tidak disuruh mengurutkan bilangan secara naik sampai dengan urutan ke- 4391 atau sebaliknya, tetapi kita dituntut untuk dapat berpikir secara induktif.

Berpikir induktif  yaitu, proses berpikir dari hal yang kongkrit sederhana, lalu menuju ke hal yang sedikit lebih kompleks (rumit), kemudian mencoba membuat generalisasi (simpulan secara umum) yang lazim disebut dengan merumuskan (kurang lebih seperti itu).

Apapun istilahnya, sebagai manusia dikarunia hal itu tinggal kita kita mau menggunakannya atau tidak. Tetapi untuk soal seperti ini berpikir induktif mutlak harus dilakukan.

Mulailah dari bilangan yang terdiri dari tiga digit yang terdiri dari angka; 1, 2, dan 3. Maka banyaknya bilangan (tanpa berulang) yang mungkin sebanyak 3 x 2 x 1 = 6 bilangan yaitu, 123, 132, 213, 231, 312, 321. Akan tampak polanya bila kita kelompokkan seperti berikut: (123, 132), (213, 231), (312, 321).

Tampak, untuk bilangan tiga digit setiap kelompok terdiri sebanyak 2 bilangan, hal ini dapat kita pahami sebagai berikut;  jika digit pertama tetap, digit ke-2 dan ke-3 yang berubah, maka banyaknya bilangan setiap kelompok sebanyak 2 x 1 = 2! = 2.

Lanjutkan dengan bilangan yang terdiri dari empat digit yang terdiri dari angka; 1, 2, 3, dan 4.  Maka banyaknya bilangan (tanpa berulang) yang mungkin sebanyak 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 bilangan dan banyaknya bilangan setiap kelompok sebanyak 3! = 6 bilangan yaitu, (1234, 1243, 1324, 1342, 1423,1432), (2134, 2143, 2314, 2341, 2413,2431), (3124, 3142,…., 3421) , (4123, 4132, …., 4321).

Untuk bilangan yang terdiri dari empat digit, bilangan terkecil  atau urutan ke-1 adalah 1234 dan bilangan terbesar urutan ke-24 yaitu, 4321.

Kembali ke persoalan  untuk angka yang digunakan 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7.

jika n banyaknya angka yang digunakan, maka n = 7.

Dari dua contoh sederhana di atas dapat kita simpulkan.

Jika digit pertama setiap kelompok menyatakan kelompok ke-k , dengan k = 1, 2,3 4,5,6,7, maka setiap kelompok terdiri dari (n – 1)! = 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 720 bilangan. Ok??!

Sehingga urutan bilangan pada setiap kelompok ke-k, dapat kita rumuskan sebagai

urutan bilangan ke:  (k-1)(n – 1)! + 1  sampai dengan k ( n – 1)!. (pahami ini).

Untuk  k = 1, maka urutan bilangan pada kelompok 1, merupakan urutan bilangan ke- 1  s.d. urutan bilangan ke-  1( 6!) = 720.

Untuk  k = 2, maka urutan bilangan pada kelompok 2, merupakan urutan bilangan ke- 721  s.d. urutan bilangan ke-  2( 6!) = 2 x 720 = 1440.

Jika kita tuliskan ; (1234567, 1234576, 1234657, …., 1765432), (2134567, …, 2765431)

 Urutan ke- 1           2               3          ke-720       ke-721          1440.

Untuk k = 7 , maka urutan bilangan pada kelompok ke-7, merupakan urutan bilangan ke :

(7 – 1)(7 – 1)! + 1 = 6 x 6! + 1 = 4321  s.d. urutan ke-  7x 6! = 5040.

Urutan bilangan ke- 4321 adalah merupakan suku pertama pada kelompok ke-7 dan merupakan bilangan terkecil dalam kelompoknya yaitu, 7123456 dan urutan ke- 5040 adalah bilangan terbesar dalam kelompoknya yaitu 7654321 .

Selanjutnya kita harus menentukan urutan bilangan ke- 4391.

Karena  4321 < 4391 < 5040 , maka bilangan urutan ke- 4391 adalah bilangan dengan digit pertama 7 , dengan demikian kita harus mengurutkan sebanyak (4391 – 4320) = 71 bilangan secara naik mulai dari bilangan 712 3456.

Jika kita tulis satu persatu tentu pekerjaan ini, hanya menyita waktu dan pikiran.

Perhatikan banyaknya bilangan dengan 3 digit pertama 712 xxxx , sebanyak 4! = 24.

Sedangkan 72 = 3 x 24, dengan demikian urutan bilangan ke-(4320 + 3×24)=4392  adalah bilangan terbesar dengan 3 digit pertama 714 xxxx,  yaitu 714 6532 .

Jadi, bilangan urutan ke- 4391  adalah  satu bilangan sebelumnya yaitu, 714 6523.

Jika anda dapat memahami uraian tersebut, maka urutan bilangan berapapun dalam rentang(1 – 5040) untuk soal ini, dapat kita tentukan.

Dari soal yang sama, berapakah  bilangan urutan ke- 2503 ?

Jawab :

Sebaiknya anda coba kerjakan dulu ! lalu lihat pembahasan ..

Untuk k=4 ,  urutan bilangan kelompok ke-4 adalah urutan ke:

3 x 6! + 1 = 2161 s.d.   4(6!) = 2880 , karena   2161 < 2503 < 2880 , maka  bilangan urutan ke-2503  merupakan bilangan dengan digit pertama 4.

Langkah selanjutnya kita hitung urutan ke-berapa dari urutan ke- 2161.

2503 – 2160 = 343, jadi  urutan ke-2503 merupakan urutan ke-343 mulai dari bilangan ke-2161.

Bilangan urutan ke-2161  adalah bilangan terkecil dalam kelompok ke-4 yaitu, 4 123567.

Kita ketahui bahwa, 343 = 2 x 120 + 4 x 24 + 1 x 6 + 1

Bilangan urutan ke- 2161  adalah  4 123567, maka bilangan urutan ke- (2160 + 2 x 120)=2400 adalah bilangan terbesar  dengan dua digit pertama 42xxxxx , yaitu 42 76531.

Sehingga bilangan urutan ke-(2400 + 1) = 2401 adalah bilangan terkecil dengan dua digit pertama  43 xxxxx yaitu, 43 12567 . Selanjutnya  bilangan urutan ke- (2400+ 4×24) = 2496 , adalah bilangan terbesar dengan tiga digit pertama  436 xxxx , yaitu  436 7521 , dengan demikian  bilangan urutan  ke- 2497 adalah bilangan  terkecil dengan tiga digit pertama 437 xxxx, yaitu  437 1256.

Selanjutnya bilangan urutan ke (2496 + 6) = 2502  adalah bilangan terbesar dengan empat digit pertama 4371xxx , yaitu  4371 652.

Jadi, bilangan urutan ke-2503 adalah bilangan terkecil untuk empat digit pertama 4372 xxx  yaitu  4372 156 .

Simpulan:

• sebelum menjawab soal, pahami soal dan temukan terlebih dahulu konsep apa yang berkaitan dengan soal, untuk soal ini konsep barisan bilangan.
• memecahkan soal yang menanyakan bilangan besar, mulailah dari hal yang sederhana; meningkat ke hal yang lebih kompleks.
• gunakan sedikit triks agar memudahkan dalam menemukan pola bilangan.
• temukan kata kunci yang berkaitan dengan soal yang ditanyakan dalam hal ini urutan bilangan, lalu coba  menyimpulkan dengan merumuskan, kemudian gunakan untuk menjawab persoalan sebenarnya.

Semoga dapat dipahami…