DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SILABUS OSN SMP 2012 MATEMATIKA

Berikut  Silabus OSN 2012  mapel Matematika.

Pada bagian lampiran  buku edaran tersebut, terlampir contoh-contoh soal OSN tahun sebelumnya mulai dari soal seleksi tingkat Kota/Kab, Provinsi dan Nasional.

Untuk soal seleksi tingkat Kota diambil dari soal OSN tahun 2010 yang mana sudah penulis bahas.

Berikut  4 contoh soal tingkat Provinsi dan 2 contoh soal tingkat Nasional sebagai soal latihan anda :

A.       Soal Tingkat Provinsi

Isian Singkat

1.     Jika  x  adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y = …?

2.     Jika  adalah fungsi sehingga  f (xy) = f (x – y )  , dan  f(6) = 1, maka f (-2) – f (4) = ….

Soal Uraian

3.     Tiga garis lurus  l1l2  ,  l3 mempunyai gradien berturut-turut  3, 4, 5. Ketiga garis tersebut memotong sumbu- Y di titik yang sama. Jika jumlah absis titik potong masing-masing garis dengan sumbu-X  adalah  47/60, tentukan persamaan garis l1 !

4.     Pada sebuah segiempat ABCD, sudut  ABC dan sudut DAC adalah sudut siku-siku. Jika keliling segiempat ABCD adalah 64 cm, keliling ABC adalah 24 cm, dan keliling ACD adalah 60 cm, berapakah luas segiempat ABCD.

B.       Soal Tingkat Nasional

1.          

Tentukan semua bilangan bulat positif  m  dan  nyang memenuhi   S(m) + S(n) + S(m+n) = 2011 .

2.     Veronica dan Denias melakukan permainan “Catur OSN” dengan sebuah papan catur berukuran 3 x 3 , Veronica bermain duluan dengan memainkan X dan Denias memainkan O. Mereka harus mengisi tanda X atau O pada papan catur. Pemenang pada permainan ini adalah orang pertama yang berhasil menyusun tanda yang sama secara horisontal, vertikal atau diagonal.

Tentukan banyaknya posisi akhir yang mungkin jika veronica menang pada langkahnya yang ke-4. Sebagai contoh salah satu posisi akhir adalah sebagai berikut:

Sebaiknya anda coba jawab dulu…! Jika anda kesulitan, berikut jawaban atau pembahasan soal-soal tersebut .

1.     x + y = 2013 + 8 = 2021

2.     f suatu fungsi sehingga  f(xy) = f(x – y)  dan f(6) = 1 .

f(6) = f(3 . 2) = f(3 – 2) = f(1) = 1  dengan demikian

f(-2) = f(2 .(-1)) = f(2 – (-1)) = f(3) = 3  , dan f(4) = f(4 . 1) = f(4 – 1) = f(3) = 3

maka  f(-2) – f(4) = 3 – 3 = 0

3.     Misalkan garis memotong sumbu-Y di titik (0, c), sehingga

persamaan garis  l1; y = 3x + c  ,    l2 ; y = 4x + c ,  dan  l3 ;  y = 5x + c .

Titik-titik potong garis l1l2  ,  l3  dengan sumbu-X   masing-masing di titik (x1, 0), (x2, 0) , dan (x3, 0), maka diperoleh  0 = 3x1 + c  atau  x1 = -c/3    , x2 = -c/4  ,dan x3 = -c/5 .

Diketahui jumlah absisnya  47/60 , maka

x1 + x2 + x3 = 47/60  atau  -c/3 + (-c/4) + (-c/5) = 47/60

-47 c /60 = 47/60 ,   maka  c = -1.

Jadi, persamaan garis  l1 adalah  y = 3x – 1

persamaan garis  l2 adalah  y = 4x – 1

persamaan garis  l3 adalah  y = 5x – 1

4.     Buat sketsa gambar segiempat ABCD,

Diketahui;  AB + BC + CD + AD = 64  ………….(1)

AB + BC + AC = 24, atau  AB + BC = 24 – AC  ……….(2)

CD + AD + AC = 60 , atau  CD + AD = 60 – AC  ……..(3)

Substitusi ….(2) dan (3) ke ….(1)   , diperoleh;

panjang AC = 10, maka panjang AB + BC =14 dan AD + CD = 50.

Karena segitiga ABC siku-siku di B, maka dapat kita klaim panjang  AB = 8 cm, dan BC= 6 cm (ingat pasangan tripel Pythagoras !).

Perhatikan segitiga DAC siku-siku di A , berdasarkan teorema Pythagoras;

AC2 = CD2 – AD2

AC2 = (CD + AD)(CD – AD)

102 =   50 x  (CD – AD), maka  CD – AD = 2 ,

sedangkan                              CD + AD = 50

___________ -

- 2AD     = -48 , maka  AD = 24.

Luas segitiga ABC = ½ x AB x BC = ½ x 8 x 6 = 24 cm2

Luas segitiga DAC = ½ x AD x AC = ½ x 24 x 10 = 120 cm2

_____________________________________________ +

Luas segiempat ABCD =  144 cm2

Soal Tingkat Nasional

1.     Notasi  ∑  (sigma) menyatakan penjumlahan (summation) suatu deret.

Notasi          

Sama artinya dengan jumlah dari n suku pertama suatu deret bilangan dengan rumus suku ke-n , yaitu  U(n) = (-1)n+1. n

Untuk  n = 1 artinya jumlah  1 suku deret tersebut  yaitu;

S(1) = (-1)1+1 . 1 = (-1)2 . 1 = 1

Untuk  n = 2 artinya jumlah  2 suku deret tersebut  yaitu jumlah dari suku pertama sampai dengan suku ke-2;

S(2) = (-1)1+1 . 1  + (-1)2+1 . 2  = 1 + (-2) = -1

S(3) = (-1)1+1 . 1  + (-1)2+1 . 2  + (-1)3+1 . 3 = 1 + (-2) + 3 = 2

S(4) = (-1)1+1 . 1  + (-1)2+1 . 2  + (-1)3+1 . 3  + (-1)4+1 . 4  = 1 + (-2) + 3 + (-4) = -2

S(5) = 1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 = 3

S(6) = 1 + (-2) + 3 + (-4) + 5 + (-6) = -3

Perhatikan nilai S(n) dari  S(1) sampai dengan  S(6), kita dapat menyimpulkan ;

untuk  n bilangan bulat positif ganjil, maka S(n) bernilai  positif, sedangkan

untuk  n bilangan bulat positif genap , maka S(n) bernilai  negatif.

Selanjutnya nilai S(n) sama dengan  hasil n dibagi 2 dengan pembulatan keatas.

(Fungsi ROUNDUP  dalam MS. Excel) dalam matematika dapat dinotasikan sebagai berikut;

Selajutnya analisa nilai-nilai  m dan n  yang mungkin.

I.         Dengan Induksi

a.   Jika  m  dan n  keduanya bilangan bulat positif ganjil.

Untuk  nilai  m = 1, dan n = 1 , maka S(1) + S(1) + S(2) = 1 + 1 – 1 = 1

Untuk  nilai  m = 1, dan n = 3 , maka S(1) + S(3) + S(4) = 1 + 2 – 2 = 1

Untuk  nilai  m = 5, dan n = 7 , maka S(5) + S(7) + S(12) = 3 + 4 – 6 = 1

Dari tiga sampel tersebut, maka dapat disimpulkan untuk m dan n sembarang bilangan bulat positif ganjil, maka

nilai S(m) + S(n) +   S(m+n) = 1 (konstan)

b.   Jika  m bilangan genap dan n bilangan ganjil

Untuk  nilai  m = 2, dan n = 1 , maka S(2) + S(1) + S(3) = -1 + 1 +2 = 2

Untuk  nilai  m = 4, dan n = 3 , maka S(4) + S(3) + S(7) = -2 + 2 + 4 = 4

Untuk  nilai  m = 8, dan n = 9 , maka S(8) + S(9) + S(17) = -4 + 5 + 9 = 10

Tampak  untuk nilai m genap dan n ganjil, maka diperoleh nilai S(m) + S(n) + S(m+n) bernilai genap.

Karena 2011 merupakan bilangan ganjil, maka  tak  ada nilai m dan n bilangan bulat positif yang memenuhi

S(m) + S(n) + S(m+n) = 2011.

II.       Secara Deduktif (umum)

a.     Jika  m dan n  keduanya bilangan bulat posisif ganjil , maka

S(m) + S(n) + S(m+n)  , dapat dinyatakan sebagai;

Karena  m dan n bilangan bulat ganjil, maka  m dan  n dibagi 2 masing-masing bersisa 1, dan (m + n) habis dibagi 2 (bilangan genap)  sehingga  dapat ditulis;

Jadi, untuk  m dan n sembarang bilangan bulat positif ganjil , maka  S(m) + S(n) + S(m+n) = 1   (berjumlah tetap yaitu 1)

b.     Jika  m bilangan bulat positif genap dan n bilangan bulat positif ganjil, maka

S(m) + S(n) + S(m+n) = 2011 ,dapat dinyatakan ;

 

Karena m genap, dan  n ganjil, maka (m+n) ganjil sehingga dapat ditulis:

-m/2 + n/2 + ½ +(m + n)/2 + ½  = 2011

n  + 1 = 2011  atau  n = 2010 , tetapi  hal ini kontradiksi dengan  pengandaian  bahwa  n bilangan ganjil.

Jadi,  tak ada nilai  m dan n bilangan bulat positif  yang memenuhi   S(m) + S(n) + S(m+n) = 2011 .

2.     Ketika menyimak soal ini , saya teringat masa remaja saat SMP dulu disaat pelajaran kosong, teman sebangku suka mengajak bermain menandai petak-petak dengan banyaknya tanda sesuai kesepakatan , siapa lebih dulu dapat menyusun tanda yang sama, dengan arah horisontal, atau vertikal, atau diagonal dia pemenangnya.

Mungkin pembuat soal terinspirasi masa kecilnya atau terinspirasi game “FiveStones” game bawaan pada Ponsel Sony Ericsson, mungkin juga salah satu kajian mandiri siswa-siswa pascasarjana matematika, karena biasanya mereka membuat kajian mandiri  yang berkaitan dgn matematika seperti konstruksi secara geometri tentang teorema Pythagoras, persegi ajaib, menggambar sudut yang tak mungkin dibuat hanya dengan jangka dan penggaris, dan banyak lagi kajian lainnya walaupun penulis  lebih tertarik dengan kajian-kajian yang aplikatif sehinga lebih banyak manfaatnya dalam membantu menyelesaikan tugas pekerjaan sehari-hari.

Kembali ke persoalan.

Karena petaknya dibatasi 3 x 3, sebenarnya  jika dua pemain memahami cara meng-counter  permainan akan selalu seri, tetapi pada soal ini menanyakan banyaknya posisi akhir yang mungkin jika Veronica menang pada langkah yang ke-4.

Salah satu posisi akhirnya sebagai berikut:

Dari posisi akhir ini kita dapat memprediksi langkah-langkah yang mungkin mereka lakukan, masing-masing lokasi kita tandai sebagai berikut:

Pada langkah awal Veronika menandai petak a22, Denias petak  a33.

Pada langkah kedua Veronica mendai petak a11 ,  Denias petak  a21.

Pada langkah ketiga Veronica mendai petak a13 ,  Denias petak  a12.

Pada langkah keempat Veronica menandai petak  a31 dan tersusun tanda X  dengan arah diagonal dan Veronica menang, seperti pada sketsa gambar berikut :

Kembali ke soal yang ditanyakan, dari posisi akhir tersebut:

selanjutnya anda peroleh 2 posisi akhir yang mungkin dengan cara rotasi  900 dan 1800.

Pada langkah ke-3 , jika  Denias menandai petak a31, maka diperoleh posisi akhir;

Dari posisi ini selanjutnya anda akan peroleh 2 posisi akhir yang mungkin dengan cara rotasi  900 dan 1800.

Temukan posisi akhir yang lainnya jika Veronika menang pada langkah ke-4.

Berapa banyaknya posisi akhir yang mungkin, yang anda temukan?.

Selamat mencoba!!

About these ads

31 Maret 2012 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, GEOMETRI, TEORI BILANGAN, UMUM | , ,

Belum ada komentar.

Berikan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 51 pengikut lainnya.

%d blogger menyukai ini: