DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

Soal dan Pembahasan OSN Tk. Kota 2013

SOAL DAN PEMBAHASAN LENGKAP OSN MATEMATIKA SMP

TINGKAT KAB/KOTA  SABTU 9 MARET 2013

Baru sempat kali ini penulis menyajikan pembahasan soal OSN ini, karena berbagai hal. Namun walaupun terlambat mudah-mudahan bermanfaat untuk siswa tahun-tahun berikutnya. Pembahasan ini menurut cara penulis dan tentunya pembahasan yang legal dari pembuat soal OSN itu sendiri dan tidak menutup kemungkinan anda mempunyai penyelesaian yang lebih baik.

Berikut soal dan pembahasannya selamat menyimak.

BAGIAN  A: PILIHAN GANDA

1.    Bentuk  x4 – 1  mempunyai faktor sebanyak….

A.  3                  B.  4                        C.  5              D.  6                        E.  7

Jawab:

Soal ini menuntut kemampuan memfaktorkan bentuk aljabar pangkat tinggi. Tetapi perhatikan bentuknya kita dapat memanfaatkan bentuk selisih dua kuadrat; a2 – b2 = (a – b) (a + b).

x4 – 1 = (x2)2 – (12)2      = ( x2 – 1) ( x2 + 1)

= ( x + 1) ( x – 1)( x2 + 1).

Dengan pemfaktoran seperti di atas, tampak ada 3 faktornya, karena bentuk terakhir tak dapat difaktorkan lagi.

Pemfaktoran bentuk lain , x4 – 1  = 1  (x4 – 1) .

Dengan demikian  faktor-faktor dari x4 – 1  adalah  1, x4 – 1, x2 – 1, x2 + 1, x + 1, dan x – 1 .

Jadi, faktor  dari  x4 – 1   ada sebanyak 6                 D.

 

2.     Jika  a, b, c , dan d  adalah bilangan bulat positif dibagi 13 berturut-turut sisanya 12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b – 3c + 2d  dibagi 13  akan bersisa….

A.  0                  B.  1                        C.  7              D.  9                        E.  11

Jawab:

Dalam menjawab soal sisa pembagian, kita cukup menghitung sisanya saja!

3a + 4b – 3c + 2d = 3a – 3c + 4b  + 2d = 3 ( a – c ) + 2 (2b + d)

= 3 (12 – 11) + 2 (18 + 7)

= 3 x 1 + 2 (5 + 7)    (karena 18 :13 sisanya 5 )

= 3 + 24

= 27

27 dibagi 13 = 2  sisa 1

Jadi,  3a + 4b – 3c + 2d  dibagi 13  akan bersisa  1     B

3.     Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B adalah 88. Jika jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata nilai kedua kelas adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah … orang.

A.   35                 B.  38                      C.  40            D.  42                      E.  45

Jawab:

Karena banyak siswa kelas A yang ditanyakan, tulis banyaknya siswa kelas A = x orang dan banyak siswa kelas  B = 75 – x .

Berdasarkan informasi soal bahwa; nilai rata-rata nilai kedua kelas adalah 80, maka

Rerata

73 x + 75 . 88 – 88x = 80 . 75

- 15 x = 80 . 75 – 88 . 75

- 15 x  = -8 . 75

- 15 x = – 15 . 5. 8

x   = 5 . 8 = 40

Jadi, banyak siswa kelas A  adalah 40 orang.               C

 

4.     Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1. Sehari kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp 100.000,00 kepada Agit. Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit menjadi 1 : 3. Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp ……

A.   240.000,00                         C. 120.000,00

B. 180.000,00                         D. 100.000,00           E. 60.000,00

Jawab:

Berdasarkan informasi soal, tulis jumlah uang Netty semula = 2x rupiah dan jumlah uang Agit = x rupiah. Setelah uang Netty diberikan kepada Agit, maka jumlah uang Netty menjadi = 2x – 100.000, dan Jumlah uang Agit menjadi = x + 100.000.

Rasio-uang

6x – 300.000      = x + 100.000

5x = 400.000

x   = 400.000/5

x   = 80.0000 , maka  2x – 100.000 = 160.000 – 100.000 = 60.000

Jadi, Jumlah uang Netty sekarang adalah Rp. 60.000,00                    E

 

5.     Jika  adalah fungsi linier,  f (1) = 2000, dan f (x + 1) + 12 = f (x), maka nilai f (100) = …

A.  762               B.  812          C.  832          D. 912                     E.  1012

Jawab:

Soal ini tentang nilai suatu fungsi linier yang berkaitan dengan pola barisan bilangan.

Rumus fungsi tersebut bersifat rekursif artinya nilai fungsi berikutnya diperoleh dari nilai fungsi sebelumnya dikurangi 12,

f (x + 1) = f (x) – 12, sehingga tampak polanya sebagai berikut:

Untuk  nilai x = 1 diperoleh f (2)          = f (1) – 12

Untuk  nilai x = 2 diperoleh f (3)          = f (2) – 12 = f (1) – 12 – 12         = f (1) – 2 x 12

Untuk  nilai x = 3 diperoleh f (4)          = f (3) – 12 = f (1) – 2 x 12 – 12     = f (1) – 3 x 12

x = 4                                  =                                                    = f (1) – 4 x 12                        .                  .                                                                                             = f (1) – .  x 12

.                              =    .                                                = f (1) – .  x 12

Untuk  nilai x = 99 diperoleh f (100) = f (99) – 12 =               = f (1) – 99 x 12

Jadi, f (100) = f (99) – 12         = f (1) – 99 x 12

= 2000 – (100 – 1) x 12

= 2000 – 1200 + 12

= 812                                B

6.       Himpunan H

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H  adalah ….

Jawab:

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H  adalah 2 n(H).

Permasalahannya sekarang berapa banyaknya anggota himpunan H = n(H ).

Harus kita temukan dalam rentang berapa nilai k yang merupakan bilangan bulat tersebut !

Perhatikan bentuk pertidaksamaan x2 – 1 < x2 + k < 2(x + 1), jika ketiga ruas dikurangi x2 ,maka diperoleh;

– 1 < k  < 2(x + 1) – x2  atau

                – 1 < k  < – x2 + 2x + 2

Perhatikan batas atas  rentang nilai k , merupakan fungsi kuadrat yang bernilai maksimum (ekstrim maksimum, lihat pada buku kumpulan rumus  matematika).

Jika kita tulis;

y = – x2 + 2x + 2 ,maka ymaks diperoleh untuk nilai x = – koefisien x / (2. Koefisien x2).

Untuk x = -2 / 2(-1) = 1 , diperoleh nilai  ymaks = – (1)2 + 2 . 1 + 2 = 3

Dengan demikian pertidaksamaan tersebut menjadi ;  – 1 < k  < 3 .

Sehingga himpunan H  dapat ditulis sbb:

set of H 2

H = { 0, 1 , 2 },  maka  n (H ) = 3 .

Jadi, Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H  adalah 23 = 8                B

 

7.     Tiga orang  A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut telah memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyaknya kelereng A mula-mula  adalah ….

A.   8                 B.  14                      C.  26                      D.  28            E.  32

Jawab:

Soal ini termasuk bentuk aljabar, yaitu soal cerita yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linier Tiga variabel (SPLTV).

Soal ini menuntut peserta memahami soal, dan membuat kalimat matematika dalam bentuk persamaan, kemudian menyelesaikannya. Tulis !

Banyaknya kelerang  A mula-mula = x

Banyaknya kelerang  B mula-mula = y

Banyaknya kelerang  C mula-mula = z , dari informasi soal diperoleh bahwa;

x + y + z = 48    ……..(1)

1).  A meminjami kereng kepada  B dan C, maka jumlah kelereng mereka masing-masing pada hari pertama adalah

B = 2y  , C = 2z , dan A = x – y – z .

2).  B meminjami kereng kepada  A dan C, maka jumlah kelereng mereka masing-masing pada hari berikutnya adalah

A = 2( x – y – z )  , C = 4z , dan B = 2y – (x – y – z) – 2z = -x + 3y – z .

3). C meminjami kereng kepada  A dan B, maka jumlah kelereng mereka masing-masing pada hari terakhir adalah

A = 4( x – y – z )  , B = 2( -x + 3y – z)  , dan C = 4z – [(-x + 3y – z) +2(x – y – z)].

A = 4( x – y – z ) = 16 , atau

x – y – z = 16/4 = 4 ………………. (2)

Persamaan (1) + persamaan (2) diperoleh  2x = 48 + 4 = 52 ,  atau  x = 26.

Jadi, kelereng A mula-mula  adalah 26             C

 

8.     Jika jumlah dua bilangan positif adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah…

A.  1                  B.  1/2                     C.  1/3                     D.  1/4                     E.  1/6

Jawab:

Misalkan kedua bilangan bulat positif itu adalah  a  dan  ba + b = 24.

Selanjutnya kita hitung nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut, yaitu:

Jumlah Kebalikan

Nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut diperoleh jika nilai ab  terbesar (maksimum).

Ada satu dalil tentang nilai maksimum fungsi kuadrat:

Hasil kali dua variabel yang jumlahnya tetap bernilai maksimum, jika kedua variabel tersebut bernilai sama”.

Tampak bahwa, kedua variabel tersebut berjumlah tetap, a + b = 24 (konstan), maka

a x b  bernilai maksimum (terbesar) , untuk nilai a = b = 12 , sehingga nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut;

Nilai Jumlah Kebalikan

Jadi, nilai terkecil dari jumlah kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah 1/6 .             E

 

9.     Bilangan Rasional

Jawab:

Bilangan itu merupakan bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk;

image008

Karakteristik bilangan rasional, jika dinyatakan dalam bentuk pecahan desimal, angka-angka penyusunnya berulang sedemikian rupa.

Ubahlah dalam bentuk pecahan desimal dengan melakukan pembagian konvensional.

Pambagian Konvensional

Tampak bilangan 20 merupakan bilangan pertama yang dibagi, jadi angka-angka hasil pembagiannya akan berulang seperti angka-angka semula.

Jadi, 2013 : 7000 = 0,2875714 2875714 …

Perhatikan bentuk pecahan desimal, berulang setiap 7 digit dengan angka dibelakang koma yaitu 2875714.

7 x 287 = 2009, dan 2013 – 2009 = 4  dengan demikian 2013 : 7 bersisa 4.

Jadi, bilangan ke- 2013 dibelakang koma dari pecahan desimal 2013 : 7000 adalah urutan ke-4 di belakang tanda koma dari 0, 2875714  yaitu  5.            D

10.     Diberikan angka yang disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak tanda operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar menghasilkan jumlah 99?

Jawab:

Jumlah bilangan dari 1 s.d. 9 adalah 45, dengan demikian untuk memperoleh jumlah 99, harus memuat satu bilangan puluhan lebih dari 45 yang memungkinkan.

Yaitu  9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99

Jadi, sebanyak 7 tanda “+” yang disisipkan.      D

11.     Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bilangan bulat positif berurutan yang dihilangkan bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …, maka suku ke-67 barisan tersebut adalah….

Jawab:

Soal rutin barisan bilangan biasanya menanyakan banyaknya bilangan yang disisipkan sehingga membentuk barisan aritmetika , tetapi soal di ubah dari biasanya (tidak rutin).

Perhatikan, bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan, terletak di antara dua bilangan dari barisan tersebut. Selanjutnya kita kita hitung banyaknya bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan.

Pembagian dengan pembulatan ke bawah

Ada sebanyak 33 bilangan kelipatan tiga yang dihilangkan. Misalkan bilangan ke-67 dari barisan bilangan tersebut adalah n. Karena barisan bilangan itu bilangan bulat positif berurutan  maka  n – 33 = 67 atau diperoleh  n = 67 + 33 = 100

Jadi, bilangan ke-67 dari barisan adalah 100.               E

 

12.    Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah…

A.    5                B.  0                        C.  -5                       D.  -13                     E.  -15

Jawab:

Kita ketahui bahwa pada bilangan bulat berurutan, selisih antara dua bilangan berurutan adalah 1, maka dapat kita tulis 51 bilangan tersebut;  n , n + 1, n + 2, n + 3, …., n + 48, n + 49, n + 50.

Rata-ratanya 10, maka kita tulis;

Rerata 51 bilangan

51n +[ 1 + 2 + 3 +...+ 49 + 50] = 51 x 10.

Jumlah deret bilangan dari 1 s.d. 50 = ½ x 50 x (1 + 50) = 51 x 25, sehingga ditulis;

51 n  + 51 x 25 = 51 x 10

51 n    = 51 x 10 – 51 x 25

51 n    = 51 ( 10 – 25 )

51 n    = 51 x (-15)

n    = -15

    Jadi, bilangan terkecil dari semua bilangan tersebut adalah – 15 .             E

13.     Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru dan 3 bola hijau. Diambil sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua adalah…

A.  1/20             B.   3/58               C.  1/5                 D.   3/29                 E.   6/29

Jawab:

Soal ini termasuk peluang bersyarat. (lihat Teori Peluang pada daftar isi !)

Misalkan A: kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama, ,maka

P(A) = 15/30.

Dan misalkan B: kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua, yaitu setelah pengambilan pertama.

Setelah bola pertama diambil satu maka di dalam kantong tersisa 29 bola, sehingga

peluang terambilnya bola hijau pada pengambilan kedua, P(B/A)= 3/29.

Jadi, peluang bola yang terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua , atau P (A dan B)   = P(A) x P(B/A)

= 15/30 x 3/29

=  1/2 x 3/29

=   3/58                   B

14.     Lima orang akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni dua di depan termasuk pengemudi (sopir), dua di tengah, dua di belakang. Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah ….

A.   120                       B.  200                    C.  220                    D.  240                   E.  280

Jawab:

Maksud mengatur tempat duduk penumpang dalam soal ini, bahwa mobil akan berjalan, kalau hanya sekedar duduk, siapapun bisa duduk di tempat duduk sopir.

Sedikitnya tiga langkah menghitung banyaknya cara mengatur tempat duduk.

Langkah pertama menghitung banyaknya cara yang dapat menempati tempat duduk sopir yaitu 2 cara.

Langkah kedua menghitung banyaknya cara duduk 4 orang pada tempat duduk penumpang (selain tempat duduk sopir) tersedia 5 tempat duduk, hal ini merupakan permutasi 4 unsur berbeda dari 5 unsur berbeda. Banyaknya cara adalah sebanyak;

Permutasi

Langkah terakhir menghitung dua hasil perhitungan di atas.

Dua hal tersebut merupakan hal yang saling bebas, maka banyaknya cara duduk keseluruhan adalah  2 x 120 = 240 cara.                    D

15.     Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan, maka jarak titik E ke bidang datar AFH  adalah … satuan.

opsi jawaban

Jawab:

Langkah awal dalam menjawab soal geometri, buatlah sketsa gambarnya lengkapi dengan data-datanya, kemudian temukan strategi penyelesaian yang menuju ke arah hal yang dicari!
              Kubus dan bidang AFH

Selanjutnya buatlah bidang yang memuat titik E  dan tegak lurus bidang AFH , yaitu bidang diagonal ACGE , karena besar sudut ETF = 900. (diagonal HF saling tegak lurus EG ).

Kubus yg dikonstruksi

Diagonal sisi HF dan EG berpotongan di T, buatlah segmen garis AT, kemudian buatlah garis EU  tegak lurus AT, itulah jarak dari titik E  ke bidang datar AFH.

Selanjutnya hitung panjang segmen garis AT .

Perhatikan segitiga sama sisi AFH (karena panjang AF = HF = AH = akar 2)

Segitiga ABF siku-siku di B, menurut Teorema Pythagoras diperoleh; panjang AF

segitiga AFH sama sisi

Perhatikan segitiga ATF  siku-siku di T, maka menurut  Teorema Pythagoras diperoleh;

panjang AT

Terakhir kita hitung jarak EU ,  perhatikan segitiga AET siku-siku di E .

segitiga siku-siku AET

Dengan pendekatan luas daerah segitiga siku-siku AET , diperoleh;

1/2  x AT x EU    = 1/2 x AE x ET

EU = (AE x ET ): AT

EU = (1 x 1/2 EG ) : AT

Jarak EU

16.    Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

(i).  Terdiri dari 5 data bilangan bulat positif dengan rataan = 7

(ii).  Median = Modus = 9

Jika jangkauan didefinikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil, maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah….

A.   11               B.  12                      C.  13                      D.  14            E.  15

Jawab:

Dari informasi soal diperoleh; jumlah lima bilangan = 5 x 7 = 35, dan bilangan 9 ada sebanyak 2. Jangkauan terbesar dicapai jika data terkecil yaitu 1, data kedua yaitu 2 dan data terbesar = 35 – (1 + 2 + 9 + 9)= 35 – 21 = 14.

Jadi, jangkauan terbesar yang mungkin adalah 14 – 1 = 13.              C

17.    Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui busuk.

Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu diantaranya busuk adalah…

A.   9/22             B.  5/11                   C.  4/11                   D.  9/44         E.  5/22

Jawab:

Diketahui jumlah apel seluruhnya 12 terdiri dari 10 apel baik dan  2 apel busuk.

Cara I:

Hitung banyaknya anggota ruang sampel, yaitu banyaknya semua susunan yang terdiri dari 3 apel berbeda yang diambil dari 12 apel. Ini persoalan kombinasi 3 unsur berbeda dari 12 unsur, ada sebanyak:

Kombinasi

Selanjutnya hitung banyaknya susunan terambilnya 2 apel baik dan 1 apel busuk, yaitu sebanyak;

Kombinasi

Jadi, peluang terambilnya 2 apel baik dan 1 apel busuk adalah

Peluang Terambilnya 2 aple baik dan 1 busuk

Cara II:

Dengan pengambilan satu persatu tanpa pengembalian, maka kemungkinan terambilnya apel baik pada pengambilan pertama, apel baik pada pengambilan kedua, dan apel busuk pada pengambilan ketiga, ditulis (baik, baik, busuk), kemungkinan lain (baik, busuk, baik) dan (busuk, baik, baik).

Peluang 3 kejadian tersebut bernilai sama, maka peluang terambilnya tepat satu apel busuk adalah;

Tampak cara ke-2 lebih sederhana.

18.    Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi kubus 2 m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui titik A, B, dan T  dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG. Volume terbesar silinder terpancung ini adalah …..

Jawab:

Buatlah sketsa gambarnya !

Sketsa Kubus dan Silinder

Menghitung volume silinder yang terpancung oleh sebuah bidang datar yang miring (tidak sejajar dengan bidang alas) tidak dapat kita lakukan secara langsung.

Langkah yang kita lakukan yaitu, dengan cara membandingkan volume silinder terpancung dengan volume silinder utuh.

Perhatikan bangun ruang ADI.BCJ  adalah prisma tegak.

Volum prisma tegak ADI.BCJ  = 1/2 x AD x ID x AB = 1/2 x 2 x 1 x 2 = 2 m3

19.    Jika gambar di bawah ini adalah segi delapan beraturan, maka perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah….

Segi-8 beraturan

A.   1 : 3            B.  1 : 4         C.  2 : 5                   D.  3 : 8                   E.  3 : 7

Jawab:

Segi delapan beraturan adalah segi delapan yang panjang sisi-sisinya sama, dibentuk dari sebuah lingkaran dengan membagi besar sudut pusat menjadi 8 bagian yang sama yaitu sebesar 360 : 8 = 450 .

Buatlah garis-garis seperti pada gambar berikut:

Segi-8 beraturan yg dikonstruksi

Diketahui:

panjang AB = BC = CD = DE = EF = FB = GH = AH.

panjang AO = OB = OC = OD = OE = r (jari-jari lingkaran O) dan panjang AC = DF.

Perhatikan segiempat ABCD kongruen dengan segiempat AHGF.

Perhatikan segiempat ABCO adalah layang-layang (karena panjang AB=BC dan AO=OC=r).

Perhatikan segiempat ADEF adalah layang-layang (karena panjang DE=EF dan AF=AD).

Sehingga

2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF    = luas segi-8 beraturan.

2 x luas segiempat ABCD + luas layang-layang ADEF    = 4 x luas layang-layang ABCO.

2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x AE x DF        = 4 x 1/2  x OB x AC

2 x luas segiempat ABCD + 1/2 x 2r  x AC       = 2r x AC       (karena panjang DF=AC).

2 x luas segiempat ABCD + r x AC                  = 2r x AC

2 x luas segiempat ABCD = r x AC , maka

Luas segi-4 ABCD

Sedangkan luas segi-8 beraturan = 2r x AC , maka

Rasio Luas

Jadi, perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi-8 beraturan adalah  1 : 4                B.

20.     Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah ….

A.    24               B.  22            C.  20            D.  18            E. 16

Jawab:
Langkah pertama tentukan angka-angka penyusunya, yaitu 1, 2, 3, dan 4.

Langkah selanjutnya menghitung banyaknya susunan bilangan yang mungkin. Hal ini merupakan permutasi 4 unsur berbeda dari 4 unsur, yaitu sebanyak 4! =4 x 3 x 2 x 1 = 24   A

BAGIAN  B: ISIAN SINGKAT

1.     Tino sedang memanjat tangga dia berada tepat di tengah tangga. Jika ia naik 3 anak tangga, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah….

Jawab:

Tulis banyaknya anak tangga = n, maka  1/2 n + 3 – 5 + 10 = n , atau 1/2  n = 8,

maka n = 16 . Jadi, banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah 16.

2.     Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk membeli 6 bukah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per kota pensil.

Banyak buku yang dibeli Ani adalah….

Jawab:

Misalkan banyak pensil yang dibeli sebayak x , banyak buku sebanyak y  dan kotak pensil sebanyak  z . Maka  x + y + z = 6 , dan  2.000 x + 2.500 y + 4.000 z = 16.500 .

Soal ini termasuk SPLTV.

Dengan melihat jumlah uang yang dimiliki Ani sebanyak Rp 16.500,00 dan harga buku, maka banyaknya buku yang dibeli sebanyak ganjil.

Jika y = 1,  maka x + z = 5 , dan 2.000 x + 4.000 z = 16.500 – 2.500 = 14.000

Dipenuhi  untuk  x = 3 dan  z = 2  , atau  x = 5  dan  z = 1 .

Jadi, banyak buku yang dibeli Ani sebanyak 1 exemplar.

3.  

Jawab:

Sedikit analisa, 2013 merupakan bilangan kelipatan 3. Ciri bilangan habis dibagi 3, yaitu jumlah angka-angka penyusunnya habis dibagi 3,  yaitu 2+0+1+3 = 6 , 6 habis dibagi 3.

Karena 2013 merupakan bilangan ganjil, agar hasil pembagian bilangan itu merupakan bilangan bulat positif, maka haruslah (n 2 – 3) merupakan bilangan bulat positif ganjil.

Karena (n 2 – 3) merupakan bilangan bulat positif ganjil, maka haruslah n 2 merupakan bilangan kuadrat genap.

Selajutnya coba dan periksa.

Untuk n 2  = 4    atau n = 2, diperoleh 2013 : (4 – 3) = 2013 : 1 = 2013

Untuk n 2  = 16  atau n = 4, diperoleh 2013 : (16 – 3) = 2013 : 13 = bukan bilangan bulat

Untuk n 2  = 36  atau n = 6, diperoleh 2013 : (36 – 3) = 2013 : 33 = 61

Untuk n 2  = 64  atau n = 8, diperoleh 2013 : (64 – 3) = 2013 : 61 = 33 .

Karena 61 bilangan prima, maka pemeriksaan tuntas.

Jadi banyaknya bilangan n  ada sebanyak  3 .

4.      Diketahui tabel bilangan berikut :

Tabel

Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah sama, maka nilai x + y  adalah ….

Jawab:

Berdasarkan informasi soal, maka nyatakan satu persamaan sehingga diperoleh nilai satu variabel ;

- 7 + 2y  +  x – 2 =  x – 2 – 10 + y

              y         = – 10 + 7

              y         = – 3

 

        – 7 + x – 8       = – 8 – 4 + y

x         = – 4 – 3 + 7

x         = 0    

          Maka  nilai x + y  = - 3

5.   Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x  dan himpunan B mempunyai anggota sebanyak  yx ≤ y  , maka himpunan  A  U  B  mempunyai anggota (maksimum) sebanyak…

Jawab:

Diketahui:  n(A) = x , n(B ) = y  , dan  x  ≤ y .

n(A U  B) = n(A) + n(B) – n (A  ∩ B)

n(A  U  B)  akan maksimum, jika  n(A) = n(B), atau x = y , dan (A  ∩ B) = Ø    atau n(A ∩ B)=0,

Sehingga n(A U  B) =  y + y = 2y .

Jadi, himpunan  A  U  B  mempunyai anggota (maksimum) sebanyak 2y .

6.    Semua bilangan asli  n  yang memenuhi sifat  bahwa  6n 2 + 5n – 4   adalah bilangan prima adalah….

Jawab:

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang mempunyai dua faktor, oleh karena itu faktorkan bentuk aljabar tsb!

6n 2 + 5n – 4 = (3n + 4)(2n – 1)

Karena 6n 2 + 5n – 4 merupakan bilangan prima dan n bilangan asli, maka haruslah 2n – 1 = 1 atau 2n = 1 + 1 = 2, atau n = 1 .

Jadi, n = 1 sehingga 6n 2 + 5n – 4 merupakan bilangan prima.

7.     Jika  S1= 1 , S2= S1– 3,  S3= S2+ 5,  S4= S3– 7 , S5= S4+ 9 …. adalah suku-suku suatu barisan bilangan, maka  S2013= …..

Jawab:

S1= 1 , S2= 1 – 3 = -2  , S3= -2 + 5 = 3,  S4= 3 – 7= – 4, dan S5= -4 + 9 = 5, …

Barisan bilangan tersebut; 1, – 2, 3, -4, 5, …..

Tampak suku ke-n dari barisan tersebut bernilai positif untuk n asli ganjil (suku ganjil), dan

bernilai negatif untuk n asli genap, sehingga dapat kita tentukan rumus suku ke-n adalah

Sn = (-1)n+1. n

Jadi,   S2013 = (-1)2013+1. 2013 = 2013

8.    Pada  Δ ABC  titik D pada BC sehingga  BD:DC = 1 : 3. Titik L  terletak pada AD sehingga  AL : LD = 1 : 4. Perbandingan luas Δ ACL dan Δ BDL adalah …

Jawab:

Agar mudah dipahami, saya buat garis tinggi Δ  ADC yaitu CE, dan garis tinggi  Δ BCL yaitu LF .

Perhatikan irisan Δ  ADC dan Δ BCL adalah segitiga CDL.

Nyatakan luas Δ ACL dan luas Δ BDL masing-masing dalam luas Δ  CDL, seperti berikut:

Perhatikan Δ  ADC !

Perhatikan Δ  BCL !

Luas Segitiga BDL

Maka,

Rasio luas segitiga ACL dab BDL

Jadi, perbandingan luas Δ  ACL dan Δ  BDL adalah  3 : 4

9.      Suatu string  terdiri dari 10  angka 0, 1  atau 2.  Bobot string didefinisikan jumlah angka-angka dalam string tersebut. Sebagai contoh string  0002002001  mempunyai bobot 5. Banyak string  dengan bobot 4 adalah ….

Jawab:

Yang dimasud dengan string dalam matematika atau bahasa pemrograman komputer adalah suatu penulisan dengan menggunakan gabungan huruf, angka, atau simbol-simbol karakter lain dan bersifat sebagai teks biasa. Contoh nomor peserta 001 sebagai teks, bukan bilangan.

Kembali ke persoalan, string dengan bobot 4 mempunyai susunan angka yang mungkin terdiri dari:

a.     Angka 0 sebanyak 6 dan angka 1 sebanyak 4. Banyaknya susunan string yang mungkin merupakan persoalan permutasi n unsur yang terdiri dari p unsur yang sama, q unsur yang sama, dimana p + q  n , yaitu sebanyak:

Permutasi n objek dengan p,q obek sama

Banyaknya susunan string yang mungkin sebanyak=

 

b.      Angka 0 sebanyak 7, angka 1 sebanyak 2, dan angka 2 sebanyak 1.

Banyaknya susunan string yang mungkin sebanyak=       

c.       Angka 0 sebanyak 8, angka 2 sebanyak 2.

Banyaknya susunan string yang mungkin sebanyak=      

Jadi, banyak string  dengan bobot 4 sebanyak= 210 + 360 + 45 = 615

10.    Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain laki-laki adalah….

Jawab:

Tentukan semua kemungkinan anak tetangga itu, kemungkinannya anak ke-1 laki-laki dan anak kedua perempuan tulis (LP), selanjutnya (PL), (PP), (LL).

Ruang sampel = { (LP),(PL), (PP), (LL) }, maka  n(RS)= 4

Jadi, peluang anak yang perempuan dan anak lainnya laki-laki = P[(PL), (LP)] = 2/4 = 1/2 .

Download Pembahasan

Alhamdulillah 30 soal telah terbahas, semoga dapat dipahami dan bermanfaat

Mohon kritik apabila ada kekeliruan…

//

About these ads

2 Mei 2013 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, GEOMETRI, TEORI BILANGAN, TEORI PELUANG | , ,

Belum ada komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

Bergabunglah dengan 47 pengikut lainnya.

%d bloggers like this: