Melalui sebuah komentar yang masuk, namun komentar itu dipandang sebagai spam oleh wordpress karena berangkat dari suatu link lain menuju halaman saya, dan terditeksi terdapat dua alamat yang akhirnya masuk sebagai komentar spam sehingga tidak akan pernah tampil dalam halaman blog ini. Dan saat saya membuka  komentar-komentar yang dianggap spam  itu,  seorang siswa SMP menanyakan jawaban soal tes matematika PASIAD yang menarik penulis untuk membahasnya. Walaupun terlambat semoga ada manfaatnya untuk penggemar matematika lainnya.

Berikut redaksi soalnya:

Suatu bilangan terdiri dari 7 digit disusun dari angka 1,2,3,4,5,6,7 dan setiap angka digunakan hanya satu kali(tidak boleh digunakan berulang). Bilangan tersebut disusun dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Bilangan terkecil  1234567  dan bilangan terbesar  7654321. Berapakah bilangan urutan ke- 4391 ?

Pembahasan :

Sebaiknya anda coba kerjakan dulu ! lalu lihat pembahasan ..

Berdasarkan informasi soal, bilangan itu disusun secara naik (ascending) dan tidak ada angka yang digunakan secara berulang.

Karena angka yang digunakan tidak boleh berulang, maka banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak  7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1  = 5040  (aturan perkalian).

Untuk dapat memahami ini, buatlah 7 petak kemudian isi dengan banyaknya angka yang mungkin dapat digunakan pada setiap petak, petak pertama anggap digit pertama , petak kedua digit kedua dan seterusnya.

Pada petak pertama ada 7 angka yang mungkin dapat digunakan selanjutnya petak kedua tinggal 6 angka yang dapat digunakan dan seterusnya, sehingga banyaknya susunan bilangan yang mungkin merupakan hasil perkalian dari;

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 7! = 5040 .

Dengan demikian bilangan ke-1 adalah 1234567 dan bilangan ke-5040 yaitu 7654321.

Dalam menjawab soal ini, tentu kita tidak disuruh mengurutkan bilangan secara naik sampai dengan urutan ke- 4391 atau sebaliknya, tetapi kita dituntut untuk dapat berpikir secara induktif.

Berpikir induktif  yaitu, proses berpikir dari hal yang kongkrit sederhana, lalu menuju ke hal yang sedikit lebih kompleks (rumit), kemudian mencoba membuat generalisasi (simpulan secara umum) yang lazim disebut dengan merumuskan (kurang lebih seperti itu).

Apapun istilahnya, sebagai manusia dikarunia hal itu tinggal kita kita mau menggunakannya atau tidak. Tetapi untuk soal seperti ini berpikir induktif mutlak harus dilakukan.

Mulailah dari bilangan yang terdiri dari tiga digit yang terdiri dari angka; 1, 2, dan 3. Maka banyaknya bilangan (tanpa berulang) yang mungkin sebanyak 3 x 2 x 1 = 6 bilangan yaitu, 123, 132, 213, 231, 312, 321. Akan tampak polanya bila kita kelompokkan seperti berikut: (123, 132), (213, 231), (312, 321).

Tampak, untuk bilangan tiga digit setiap kelompok terdiri sebanyak 2 bilangan, hal ini dapat kita pahami sebagai berikut;  jika digit pertama tetap, digit ke-2 dan ke-3 yang berubah, maka banyaknya bilangan setiap kelompok sebanyak 2 x 1 = 2! = 2.

Lanjutkan dengan bilangan yang terdiri dari empat digit yang terdiri dari angka; 1, 2, 3, dan 4.  Maka banyaknya bilangan (tanpa berulang) yang mungkin sebanyak 4 x 3 x 2 x 1 = 4! = 24 bilangan dan banyaknya bilangan setiap kelompok sebanyak 3! = 6 bilangan yaitu, (1234, 1243, 1324, 1342, 1423,1432), (2134, 2143, 2314, 2341, 2413,2431), (3124, 3142,…., 3421) , (4123, 4132, …., 4321).

Untuk bilangan yang terdiri dari empat digit, bilangan terkecil  atau urutan ke-1 adalah 1234 dan bilangan terbesar urutan ke-24 yaitu, 4321.

Kembali ke persoalan  untuk angka yang digunakan 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7.

jika n banyaknya angka yang digunakan, maka n = 7.

Dari dua contoh sederhana di atas dapat kita simpulkan.

Jika digit pertama setiap kelompok menyatakan kelompok ke-k , dengan k = 1, 2,3 4,5,6,7, maka setiap kelompok terdiri dari (n – 1)! = 6 ! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2x 1 = 720 bilangan. Ok??!

Sehingga urutan bilangan pada setiap kelompok ke-k, dapat kita rumuskan sebagai

urutan bilangan ke:  (k-1)(n – 1)! + 1  sampai dengan k ( n – 1)!. (pahami ini).

Untuk  k = 1, maka urutan bilangan pada kelompok 1, merupakan urutan bilangan ke- 1  s.d. urutan bilangan ke-  1( 6!) = 720.

Untuk  k = 2, maka urutan bilangan pada kelompok 2, merupakan urutan bilangan ke- 721  s.d. urutan bilangan ke-  2( 6!) = 2 x 720 = 1440.

Jika kita tuliskan ; (1234567, 1234576, 1234657, …., 1765432), (2134567, …, 2765431)

 Urutan ke- 1           2               3          ke-720       ke-721          1440.

Untuk k = 7 , maka urutan bilangan pada kelompok ke-7, merupakan urutan bilangan ke :

(7 – 1)(7 – 1)! + 1 = 6 x 6! + 1 = 4321  s.d. urutan ke-  7x 6! = 5040.

Urutan bilangan ke- 4321 adalah merupakan suku pertama pada kelompok ke-7 dan merupakan bilangan terkecil dalam kelompoknya yaitu, 7123456 dan urutan ke- 5040 adalah bilangan terbesar dalam kelompoknya yaitu 7654321 .

Selanjutnya kita harus menentukan urutan bilangan ke- 4391.

Karena  4321 < 4391 < 5040 , maka bilangan urutan ke- 4391 adalah bilangan dengan digit pertama 7 , dengan demikian kita harus mengurutkan sebanyak (4391 – 4320) = 71 bilangan secara naik mulai dari bilangan 712 3456.

Jika kita tulis satu persatu tentu pekerjaan ini, hanya menyita waktu dan pikiran.

Perhatikan banyaknya bilangan dengan 3 digit pertama 712 xxxx , sebanyak 4! = 24.

Sedangkan 72 = 3 x 24, dengan demikian urutan bilangan ke-(4320 + 3×24)=4392  adalah bilangan terbesar dengan 3 digit pertama 714 xxxx,  yaitu 714 6532 .

Jadi, bilangan urutan ke- 4391  adalah  satu bilangan sebelumnya yaitu, 714 6523.

Jika anda dapat memahami uraian tersebut, maka urutan bilangan berapapun dalam rentang(1 – 5040) untuk soal ini, dapat kita tentukan.

Dari soal yang sama, berapakah  bilangan urutan ke- 2503 ?

Jawab :

Sebaiknya anda coba kerjakan dulu ! lalu lihat pembahasan ..

Untuk k=4 ,  urutan bilangan kelompok ke-4 adalah urutan ke:

3 x 6! + 1 = 2161 s.d.   4(6!) = 2880 , karena   2161 < 2503 < 2880 , maka  bilangan urutan ke-2503  merupakan bilangan dengan digit pertama 4.

Langkah selanjutnya kita hitung urutan ke-berapa dari urutan ke- 2161.

2503 – 2160 = 343, jadi  urutan ke-2503 merupakan urutan ke-343 mulai dari bilangan ke-2161.

Bilangan urutan ke-2161  adalah bilangan terkecil dalam kelompok ke-4 yaitu, 4 123567.

Kita ketahui bahwa, 343 = 2 x 120 + 4 x 24 + 1 x 6 + 1

Bilangan urutan ke- 2161  adalah  4 123567, maka bilangan urutan ke- (2160 + 2 x 120)=2400 adalah bilangan terbesar  dengan dua digit pertama 42xxxxx , yaitu 42 76531.

Sehingga bilangan urutan ke-(2400 + 1) = 2401 adalah bilangan terkecil dengan dua digit pertama  43 xxxxx yaitu, 43 12567 . Selanjutnya  bilangan urutan ke- (2400+ 4×24) = 2496 , adalah bilangan terbesar dengan tiga digit pertama  436 xxxx , yaitu  436 7521 , dengan demikian  bilangan urutan  ke- 2497 adalah bilangan  terkecil dengan tiga digit pertama 437 xxxx, yaitu  437 1256.

Selanjutnya bilangan urutan ke (2496 + 6) = 2502  adalah bilangan terbesar dengan empat digit pertama 4371xxx , yaitu  4371 652.

Jadi, bilangan urutan ke-2503 adalah bilangan terkecil untuk empat digit pertama 4372 xxx  yaitu  4372 156 .

Simpulan:

• sebelum menjawab soal, pahami soal dan temukan terlebih dahulu konsep apa yang berkaitan dengan soal, untuk soal ini konsep barisan bilangan.
• memecahkan soal yang menanyakan bilangan besar, mulailah dari hal yang sederhana; meningkat ke hal yang lebih kompleks.
• gunakan sedikit triks agar memudahkan dalam menemukan pola bilangan.
• temukan kata kunci yang berkaitan dengan soal yang ditanyakan dalam hal ini urutan bilangan, lalu coba  menyimpulkan dengan merumuskan, kemudian gunakan untuk menjawab persoalan sebenarnya.

Semoga dapat dipahami…

So, persiapkan diri anda siswa SMP calon peserta kompetisi sejak dini, jika anda bisa memahami pembahasan soal-soal PASIAD tingkat Nasional, insyaallah  You are the Champion. Selamat bertarung adu logika, kecepatan n ketepatan.

Jika anda seorang muslim, selain berlatih soal ada tips dari Rasullullah SAW yang menjamin  pikiran anda jernih alias cerdas/ smart.

Hendaklah anda rajin shoum (puasa) sunnah, seperti shoum senin – kamis, jauhi makanan yang haram berikut sumbernya, hendaklah rajin shalat malam (shalatul lail atau tahajjud), hendaklah rajin tadarus Qur’an ( mengkaji Al-Qur’an) dan mengamalkan sekemampuan kita (masta’tha’tum), hendaklah rajin bersiwaq (menggosok gigi) setiap mau shalat.

Jika amalan tersebut  semuanya bisa diamalkan, tentu dampaknya akan sangat luar biasa, diatas  rata-rata kemampuan  manusia kebanyakan, walaupun hanya sebagian  saja rasakan jernihnya pikiran anda, coba anda buktikan sendiri… Ingatlah  Rasulullah SAW  seorang yang multi tallent , salah satu karakteristik beliau adalah orang yang pathonah (cerdas).

Seorang siswa puteri SMA dari Madura Jawa Timur menjadi juara Olimpiade Matematika Tingkat Dunia di India beberapa waktu yang lalu, ternyata dia seorang wanita berjilbab yang sehari-harinya rajin tadarus qur’an dan amalan sholeh lainnya. Jadi dilam pandangan saya dia wanita yang tidak hanya memiliki kecerdasan intelektual saja, tetapi kecerdasasan spiritual juga ikut melekat, karena jernihnya bathin hati kita menghasilkan jernihnya pikiran kita . Saat mengikuti  pelatihan di klinik Matematika Bogor pun begitu mudah dia serap materi pembelajaran yang diberikan begitu kata pembimbingnya, hingga dia dapat meraih 4 medali emas , suatu prestasi yang luar biasa untuk siswa setingkat SMA  hingga mengharumkan nama bangsa Indonesia. Subhanallah…

Semoga terinspirasi dan termotivasi ….

Tingkat SMP Babak Final

Pembahasan ini menurut cara penulis sebatas pengetahuan yang ada di benak, tentu yang legal pembahasan dari pembuat soal PASIAD.  Pembahasan ini hanya sarana penulis berlatih dan berbagi untuk mereka penggemar matematika, dan siswa yang merasa kesulitan dalam menjawab soal-soal yang tidak rutin. Tentu banyak jalan yang bisa ditempuh dari Surabaya menuju Jakarta, demikian pula lebih dari satu  cara dalam menjawab soal ini. Sebaik-baiknya jawaban adalah pembahasan yang benar dengan cara sendiri. Sebagai pembahas, saya hanya memberikan sedikit dasar teori serta logika berpikir yang mana setiap orang dikaruniai hal itu, tinggal kita membukanya. Jadi jangan pernah terpola dengan satu cara pembahasan.

Selamat menyimak dan semoga bermanfaat !

PEMBAHASAN

1.

2.    Diketahui bilangan m  dengan jumlah digit-digitnya 30, maka  m   adalah bilangan kelipatan 3.

Bilangan  m  terkecil adalah terdiri dari 4 digit.

Jika m = 3999 , maka m + 3 = 4002  sehingga jumlah digitnya  4 + 2 = 6

Jika m = 9399 , maka m + 3 = 94002  sehingga jumlah digitnya  9 + 4 + 2 = 15

Jika m = 9939 , maka m + 3 = 9942  sehingga jumlah digitnya  9 + 9 +4+ 2= 24

Jika m = 9993 , maka m + 3 = 9996  sehingga jumlah digitnya  9 + 9 +9+ 6= 33

Jadi bilangan  m + 3 , jumlah digitnya  tidak bisa sama dengan  21 .                       B

3.    Rubahlah  bilangan  x , y, z,  dan  t  sehingga  berpangkat sama !

4.    Persoalan ini dapat kita  analogikan  sebagai pertukaran posisi tempat duduk  5 orang, dimana semua orang harus berpindah posisi duduk jika disediakan 5 kursi.

Untuk memudahkan perhitungan kita lakukan dalam dua tahap

Tahap  I.

Hitung banyaknya susunan untuk  posisi kursi ke-1 dan ke-2, adalah merupakan  permutai 2 unsur dari 5 unsur yang berbeda, yaitu sebanyak ;

Tetapi  dari  20 susunan ini terdapat  susunan yang tetap, yaitu AB, AC, AD, AE, CB, DB, dan EB.

Jadi, banyaknya susunan untuk  posisi kursi ke-1 dan 2  yang berbeda dan tidak ada yang tetap sebanyak  20 – 7 = 13 susunan, yaitu;  BA, BC, BD, BE, CA, CD, CE, DA, DC, DE, EA, EC, ED,

Tahap II

Selanjutnya  dari setiap 13 susunan tersebut, hitung banyaknya susunan untuk posisi kursi ke-3, 4 dan 5 yang berbeda dan tidak ada yang tetap.

1)      Untuk posisi  kursi ke-1 dan 2 ,  yaitu BA.

Buatlah  5 petak lalu isi petak  ke-3, ke-4 dan 5 dengan banyaknya kemungkinan orang yang dapat menduduki posisi tersebut.

Kursi ke- 3 kemungkinan dapat diduduki oleh 2 orang  yaitu  D dan E, selanjutnya kursi ke-4 dan ke-5 kemungkinan  dapat diduduk oleh 1 orang, jadi  banyaknya susunan yang berbeda untuk posisi kursi ke-1 dan ke-2,    BA  sebanyak  2 x 1 x 1 = 2 susunan.

Yaitu  B A  D E C , dan  B A E C D

2)      Untuk  posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu  BC

Maka banyaknya susunan sebanyak   3 x 1 x 1= 3 susunan, yaitu;

BC AED ,  BC EAD,   BC DEA.

Banyaknya susunan ini sama untuk posisi kursi ke-1, dan ke-2  yaitu:

BD, BE, CA,  DA, EA

Jadi, banyaknya susunan 6 x 3 = 18 susunan

3)      Untuk  posisi kursi ke-1 dan 2 , yaitu  CD,

Maka banyaknya susunan sebanyak   2 x 2 x 1= 4 susunan, yaitu;

CD AEB ,  CD BEA,   CD EAB, CD EBA

Banyaknya susunan ini sama untuk posisi kursi ke-1, dan ke-2  yaitu: DC, ED, DE, EC, CE.

Jadi, banyak susunan sebanyak  6 x 4 = 24 susunan.

Dengan demikian banyaknya susunan posisi duduk dengan kondisi tidak ada yang tetap adalah sebanyak  2 + 18 + 24 = 44.

Jadi banyaknya cara yang mungkin  saling memberikan hadiah sebanyak  44  cara.          D

5.     Jumlah  nilai digit angka m = 999 x 9 = (1000 – 1) x 9 = 9000 – 9 = 8.991    B

Cukup mudah.

6.     Rasio  jarak yang ditempuh jarum (jam) dan jarum (menit) yang bergerak selama 3 jam adalah

Cukup mudah

7.     Gunakan  sifat  akar, dan  aljabar.

Dari persamaan  (1) dan (2), disimpulkan ,bahwa;

a = c ,  dan

2a + b = – (b + 2c)  atau  2a + 2b = – 2c  atau  a + b = -c .

Atau disimpulkan bahwa, b = -2a

Maka nilai  (a + b + c)²             = (-c + c)² = 0  , tapi pilihan jawaban ini tidak ada, ubah kebentuk lain

= (a + b + a)²

= (2a + b)²

= 4a² + 4ab + b²

=  4a² + 4a(-2a) + b²

= 4a² – 8a² + b²

=   b² – 4a²

=   b² – 4ac                  A

8.     Gunakan pemfaktoran  bentuk  selisih dua kuadrat !

Cukup  mudah.

9.     Sederhanakan  penjumlahan bilangan pecahan bersusun tersebut !

10.     Diketahui  persegi berukuran  8 x 8

Ukuran persegi  yang terbentuk adalah

Persoalan ini sama dengan berapa banyak cara menempatkan ubin  2 buah persegi (berukuran 2×2) pada petak pesegi  berukuran 4×4. Hal ini sama dengan permutasi 2 unsur  dari 4 unsur yang sama, yaitu sebanyak 4² = 2⁴ .

Karena   pewarnaan merah dan biru, merupakan hal yang saling bebas, maka banyaknya cara mewarnai sehingga potongan 2 persegi berwarna biru dan 2 persegi berwarna merah adalah sebanyak =   2⁴ x 2⁴  = 2⁸                       C

11.     Koefisien  hasil perpangkatan bilangan (1 + x)ⁿ  adalah

Diketahui bahwa , 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

Koefisien  terbesar hasil perpangkatan bilangan (1 + x)ⁿ  adalah  1/24   n (n-1)(n-2)(n-3) , maka

Dari  bentuk (A)  tampak  bahwa  r = 4, sehingga  bentuk (A)  dapat ditulis:

Selanjutnya  bentuk (B) periksa nilai  n  yang menghasilkan nilai  yang sama dengan 1/24 n(n-1) (n-2)(n-3) :

Dipenuhi untuk  n = 7  ;

 7!/(7-3)! = 7!/3! = 7 x  6 x 5 x 4 = 1/24   (7 x 6 x 5 x 4)

Jadi , untuk  n = 7  diperoleh  koefisien sesuai soal                               D

12.     Banyaknya  bilangan bulat berbeda yang memenuhi y ,

Karena  nilai  y  merupakan bilangan bulat, maka dengan mudah dapat kita temukan;

Nilai  y  maksimum  dicapai jika  nilai dari :

Nilai  y  minimum  dicapai jika  nilai dari :

Sehinnga nilai  y  adalah  -18 ≤ y ≤ 18

Untuk  nilai y  bilangan bulat, maka banyaknya  adalah  37                                   B

13.     Banyaknya bilangan  genap antara 1 dan 9 adalah  4, maka banyak siswa laki-laki = 18 – 4 x1 =14     

          C  (sangat mudah)

14.     Perhatikan  gambar !

Jika  panjang  AK = a , dan   panjang [KP]=[PR]=[RB]= x  , maka

Luas  persegi APNO – luas persegi AKLM    =  17

(a + x)²            –           a²         =  17

2ax + x²                                   =  17

x ( 2a + x)                                =  17

Karena  17  merupakan bilangan prima, maka haruslah   x = 1 dan  2a + x = 17, sehingga diperoleh;

2a + 1     = 17 ,

2a           = 16  atau   a = 8.

Jadi, luas  persegi ABCD =  (a + 3x)²  = (8 + 3)²  = 11² = 121              B.                    

15.     Perhatikan gambar!

Tampak pada gambar, tebal rantai 1 cm, dan penambahan panjan  1 gelang rantai adalah

6 – 2 =  4 cm.

Ukuran panjang rantai membentuk barisan  aritmetika sebagai berikut:

6 , 10 , 14 , …  ,170.

U_n = a + ( n – 1 ) b , dengan  a = 6  ,   b = 4  dan  n banyaknya  gelang rantai, sehingga diperoleh;

6 +(n – 1) 4      = 170

6 + 4 n  – 4       = 170

4n        = 170 – 2

n          = 168/4

n          = 42

Jadi, banyaknya  gelang rantai  adalah  42.               D

16.     Banyak angka untuk 10 bilangan asli pertama yang ditulis dari kiri ke kanan sebanyak  11 angka.

Banyak angka untuk bilangan dari 11 s.d. 20  sebanyak  20 angka, dan banyak angka untuk bilangan dari 21 s.d. 30  sebanyak 20 angka.

Dengan demikian urutan angka ke-50   dari bilangan yang ditulis dari kiri ke kanan adalah  3  A

17.     Misalkan  bilangan terbesar yang mungkin  adalah  n,    dengan n  bilangan bulat positif.

Bilangan n terbesar dicapai,   jika  bilangan terkecil dari himpunan bilangan tersebut adalah 1 dan selisih dua bilangan berurutan dari 15 anggota himpunan bilangan itu juga 1, sehingga dapat ditulis:

Jadi,  bilangan bulat positif  terbesar yang mungkin adalah  136.                         B

18.

=  10⁴ + 3. 10²  + 1

=  10.301                                                                        A

19.     Berapa banyak pasangan (x, y, z) yang memenuhi persamaan x + y + z = 100, dengan x, y, dan z

merupakan bilangan bulat positif.

Persoalan ini  identik dengan  membagikan 100 benda ke dalam 3 kotak  yang diberi nama x , y, dan z  dengan isi setiap kotak paling sedikit 1 benda (karena x, y, z bilangan bulat positif).

• Mulailah dari  persoalan yang sederhana, misalkan  x + y + z = 4.

Pertama masukan 1 benda ke dalam semua kotak , selanjutnya sisanya masukan ke sembarang kotak . Sisa benda adalah 1 yang kemungkinan dapat dimasukan ke dalam kotak x, y, atau z,  , sehingga banyaknya kemungkinan sebanyak 3.

Pasangan nilai (x, y, z) yang memenuhi adalah (1, 1, 2) , (2, 1, 1) , (1, 2, 1) ,.

Dengan demikian banyaknya pasangan (x, y, z) sebanyak 3.

• Lanjutkan untuk  x + y + z = 6

Pasangan nilai (x, y, z) yang memenuhi adalah (1, 1, 4) , (1, 4, 1) , (4, 1, 1), (2, 2, 2), (1, 3, 2),

(1, 2, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1), , (2, 1, 3), (2, 3, 1)  sebanyak  10 pasang.

Jika kita rumuskan, untuk  soal;  x + y + z = 4 , diperoleh sebanyak 3 pasang

Perhatikan, 4 adalah jumlah bilangannya, 3 banyaknya variable (kotak).

Untuk  soal;  x + y + z = 6 , diperoleh sebanyak 10 pasang.

Secara umum  dapat kita rumuskan:

Akibat langsung  dari syarat bahwa, isi setiap kotak paling sedikit 1 benda adalah sedikitnya terdapat 2 kotak berisi jumlah benda yang sama. Ok?

Banyaknya permutasi n unsur berbeda dengan  satu unsur yang sama muncul sebanyak  s kali.

Mengitung banyaknya semua kemungkinan cara membagikan sejumlah n benda  ke dalam  k  kotak dengan isi setiap kotak paling sedikit 1 benda,   yaitu:

Langah pertama, masukan 1 benda ke dalam setiap kotak, sisanya sebanyak (n – k ) benda. Selanjutnya sisanya sebanyak (n – k) benda tersebut  dibagikan ke sembarang kotak.

Banyaknya kemungkinan,  sama dengan menghitung banyaknya permutasi dari (n – k).

Dengan trik menyisipkan angka 1 sebagai pemisah dari sejumlah  k  kotak, sehingga terdapat sebanyak (k – 1) angka satu yang sama, maka banyaknya kemungkinan merupakan  permutasi  (n – k) benda dari  (n – k  + k – 1 )= (n – 1) benda berbeda,  dengam jumlah unsur yang sama sebanyak (k – 1) (yaitu angka 1 sebagai pemisah).  

   Sehingga permutasi tersebut dapat ditulis sebagai berikut:

Hasil perhitungan ternyata sama dengan   kombinasi  (k – 1) unsur dari  (n – 1) unsur berbeda.

Jadi , untuk  n = 100  dan  k = 3 , diperoleh:  

=4900 – 49 = 4.851        C

Gunakan rumus tersebut untuk menentukan banyaknya penyelesaian yang merupakan bilangan bulat positif dari sebuah persamaan yang berjumlah n dan  terdiri dari  k  variable (k >1 ).

x₁ + x₂ + ….+ x_k = n

Jika  x₁ + x₂ + ….+ x_k   anggota bilangan bulat tidak negatif, maka banyaknya penyelesaian adalah sebanyak:

20.     Berapakah banyaknya nilai  x  yang memenuhi  persamaan nilai mutlak berikut;

Kedua ruas persaman (2) dikuadratkan diperoleh;

p² – 2 p + 1 = 4

p² – 2 p – 3 = 0

(p – 3)(p + 1) = 0 ,  maka  nilai  p = 3 (yang memenuhi, karena p tidak negatif)

Jadi, banyaknya nilai x yang memenuhi  adalah sebanyak   2              C

21.     Perhatikan  gambar !

Hitunglah banyaknya segitiga dan persegi lalu hitung selisihnya !

Banyaknya segitiga 10, sedangkan  banyaknya persegi di dalam segitiga besar adalah 7.

Jadi, jumlah  segitiga berlebih dari jumlah kotak persegi yang ada dalam segitiga besar adalah 3.          C  mudah

22.     Letak  median (nilai tengah)

Berdasarkan  informasi soal  urutan ke-50  merupakan nilai di tengah-tengah dari sekumpulan data terurut yang berjumlah ganjil.

Jika  n  adalah  jumlah  siswa  peserta kompetisi PASIAD maka

1/2 (n + 1)  =  50

n +1    = 100 , maka  n = 99.

Jadi,  jumlah  siswa  peserta kompetisi adalah  99                 C

23.     Berapakah banyaknya bilangan bulat positif yang memenuhi pertidaksamaan;

Jika ketiga ruas  dikuadratkan, diperoleh ,    2000²  <  n (n + 1) <  2005²  , maka

bilangan bulat positif  n   yang memenuhi  adalah 2000, 2001, 2002, 2003, dan 2004.

Jadi  sebanyak  5                       A  (mudah)

 24.    Sistem Persamaan Linear  3 variabel

Diketahui;

Dari persamaan (1), diperoleh   a = 7 – (b +c) ,    b = 7 – (a+c)  , dan  c = 7 – (a+b), substitusi ke soal yang ditanyakan , sehingga dapat ditulis :

25.     Jika  suku ke-n  dari bilangan tersebut  adalah U_n , maka     U_n = 2 U_n-1 + a

U₆ = 70   dan   U₉ = 609.

26.     Soal  SPLDV

Misalkan jumlah  mahluks  Plouks = x , dan jumlah mahluk Zuves = y , maka diperoleh persamaan;

27.     Berapa banyaknya bilangan 8 digit (a₁ a₂ a₃ … a₈)  yang terdiri dari angka 0 atau 1 dimana , a₁=1

dan memiliki  sifat:   a₁ + a₃  + a₅ + a₇   = a₂ + a₄  + a₆ + a₈ . (dengan kata lain jumlah angka pada urutan ganjil sama dengan jumlah angka pada urutan genap).

Langkah pertama  buatlah  8 petak kemudian isi dengan  angka 1 atau 0 , hitung banyaknya susunan yang mungkin untuk 2 keadaan yang bebas yaitu untuk angka urutan ganjil dan untuk  angka pada urutan genap, mulai  dengan jumlah angka  8 digit tersebut yang mungkin yaitu 2, 4, 6 , dan 8.

1. Untuk jumlah angka-angkanya = 2, maka jumlah angka-angka pada urutan ganjil dan genap sama yaitu 1.

Untuk urutan ganjil  hanya ada 1 susunan (karena a1=1).

Sedangkan untuk  urutan genap.

Sebanyak 4 susunan.

Banyaknya susunan ini merupakan permutasi  n  unsur (dengan k unsur yang sama  muncul sebanyak r₁,…,r_k dimana k ≤ n ) .

Untuk urutan angka ganjil  cukup dihitung dari urutan ke-3, 5, dan 7 karena urutan ke-1 tetap.

Dari tiga digit hanya  terdiri dari 3 angka 0 ,    sehingga banyaknya susunan sebanyak;

Untuk urutan genap:

Dari 4 unsur  tersebut terdapat sebanyak 1 angka 1 dan sebanyak 3 angka 0 yang sama, maka banyaknya permutasi adalah

Karena  dua hal ini merupakan  kasus yang saling bebas, maka banyaknya susunan bilangan dengan jumlah angka-angkanya =2 adalah  sebanyak  1 x 4 = 4

 2).    Untuk jumlah angka-angkanya = 4

Jumlah angka untuk urutan ganjil  = 2 , Cukup dihitung dari urutan  ke-3 , 5, dan 7   karena urutan ke-1  tetap dan banyaknya susunan sebanyak :

Untuk urutan genap, terdapat sebanyak 2 angka 1 dan sebanyak 2 angka 0, sehingga banyaknya susunan yang mungkin sebanyak;

Dengan demikian banyaknya  susunan bilangan yang mungkin sebanyak  3 x 6 =  18

3).    Untuk jumlah angka-angkanya = 6

Jumlah angka untuk urutan ganjil  = 3  dan banyaknya susunan:

Untuk urutan genap:

Terdapat  sebanyak 3 angka 1 dan sebanyak 1 angka 0, sehingga banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak:

Dengan demikian banyaknya susunan bilangan yang mungkin sebanyak  3 x 4 = 12

4).   Untuk jumlah angka-angkanya = 8 , hanya ada 1 susunan yaitu, 11111111

Jadi, banyaknya susunan bilangan yang terdiri dari 8 digit dengan sifat tersebut adalah sebanyak

4 + 18 + 12 + 1 = 35                  B

28.    Diketahui  a  dan  b  adalah pecahan  biasa.

x dan  y  merupakan  deret geometri konvergen tak hingga (infinity)  dengan  jumlah  S :

Sehingga  x dan y  dapat dinyakan sebagai berikut:

29.     Nilai  n  bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan  888 x 111 = 2 (2n)²  adalah …

888 x 111 = 2 (2n)²

888 x 111 = 2 (4n²)

8 x 111 x 111 = 8 n²

8 x 111 x 111 = 8 .  n . n  , maka  n = 111                                D

30.     Diketahui  :   ppp  adalah bilangan tiga digit, dan  qr , kr  adalah bilangan dua digit.

Berapakah  p + q + r + k = …?

Karena   ppp = qr . kr  , maka dapat ditulis:

p(111)             = (10q + r)(10k + r)

3p(37) = (10q + r)(10k + r)

Karena  37  bilangan prima, maka  haruslah 10k + r = 37, sehingga diperoleh  k = 3, dan r= 7.

3p = 10q + 7 ,   karena   3p adalah bilangan kelipatan 3 yang angka satuannya 7, maka

haruslah  3p = 27 , sehingga  p = 9 , dan q = 2.

Jadi,  p + q + r + k = 9 + 2 + 7 + 3 = 21                       C

31.     Diketahui:  abac adalah bilangan kuadrat dari bilangan dua digit  rs, maka dapat ditulis

a.10³ + b.10² + a.10 + c  = (10r + s)²

10a . 10² + b.10² + a.10 + c =  r².10² + 2 r. s .10 + s²

(10a + b).10² + a.10 + c  = r².10² + 2. r .s . 10 + s²

Dari persamaan ini diperoleh  ,   r² = 10a + b ,  tampak bahwa r² menghasilkan  bilangan puluhan, maka haruslah  r ≥ 4 , selanjutnya   coba dan periksa dalam menentukan nilai  s.

Jika  r= 4 , dan  s = 1  ,maka   41² = 1681  ≠ abac

Jika  r= 4 , dan  s = 2  ,maka   42² = 1764 ≠ abac

Jika  r= 4 , dan  s = 3  ,maka   43² = 1849 ≠ abac

Jika  r= 4 , dan  s = 4  ,maka   44² = 1936 ≠  abac

Jika  r= 4 , dan  s = 5  ,maka   45² = 2025 = abac

Tampak bahwa, 45² = 2025  berbentuk  abac , sehingga  a = 2 , b = 0, dan c = 5.

Selanjutnya  periksa apakah 3136 merupakan bilangan kuadrat dari bilangan dua digit.

Fakta bahwa 56² = 3136.

Jadi,  a + b + c = 2 + 0 + 5 = 7   D

32.     Diketahui:   x₁, x₂, x₃ , …., x_n   adalah  suku-suku barisan bilangan berupa bilangan bulat positif

yang tidak lebih dari  2001.

Berapakah  nilai n  maksimun yang bisa diperoleh?

Jawab:

n  adalah banyaknya suku-suku barisan bilangan tersebut.

Karena suku-suku barisan bilangan tersebut bilangan bulat positif dan tidak lebih dari 2001,  agar n  bisa didapat maksimum, maka  dapat kita tentukan :

x₁ = 1 ,  x₂ = 2001,  x₃ = 2000 , dan    , x_n = 1

sehingga diperoleh barisan:

1 , 2001,  2000, 1, 1999, 1998, 1, 1997, 1996, ….., 3, 2, 1,  1

Jika kita perhatikan susunanya, tampak  barisan ini merupakan  barisan bilangan berurutan yang disisipkan angka 1, di setiap dua suku.

Selanjutnya  hitung banyaknya  angka 1 yang disisipkan.

Banyaknya angka 1 yang disisipkan di setiap dua suku = ½ x 2000 -1 = 999

Banyaknya suku barisan bilangan tersebut  sebanyak  2000 + 999 + 3 = 3002  suku.

Jadi, nilai  n   maksimum yang bisa di dapat adalah  3002                        B

33.     Yang bukan merupakan  pasangan bilangan Pythagoras adalah  (6, 17, 18)

Karena  18² ¹ 6² + 17²     D   

(hapalan Tripel Pythagoras sangat membantu dalam menjawab soal ini)

34.     Diketahui:  f(x)  suatu fungsi pada bilangan bulat sehingga  f(2011) = 2020 dan

f(x+1) = 2.f(x) – 2004.

Berapakah  f(2010) = …?

Jawab:

f(2011) = 2.f(2010) – 2004

2020    = 2 . f(2010) – 2004

f(2010) = 1/2 (2020 + 2004)

f(2010) = 1010 + 1002 = 2012                        B   (mudah)

35.     Misalkan  nilai  awal  yang diberikan  adalah  a ,  dan  X₀ = 2a – 1

Karena  perhitungannya berulang , Jika X_i menyatakan pengulangan ke-i , maka   perhitungannya dapat kita rumuskan sbb:

Selanjutnya tentukan  X₁ , X₂ , dan X₉₈ .  Karena rekursif maka terbentuk suatu pola.

Perhatikan  polanya !

X₁ = 2 X₀ – 1  = 2(2a – 1) – 1 = 4a – 3 = 4a – 4 + 1 = 4 (a – 1) + 1       = 2² (a – 1) + 1

X₂ = 2 X₁ – 1  = 2(4a – 3) – 1  = 8a – 7 = 8a – 8 + 1 =  8 (a – 1) + 1     = 2³ (a – 1) + 1

.                                                                                                    .

.                                                                                                    .

.                                                                                                    .

X₉₈                                                                                                             = 2⁹⁹ (a – 1) + 1

Diketahui , X₉₈              = 2¹⁰⁰  + 1

2⁹⁹ (a – 1) + 1  = 2¹⁰⁰  + 1

2⁹⁹ (a – 1)        = 2¹⁰⁰

2⁹⁹ (a – 1)        = 2⁹⁹ .  2¹

(a – 1) =   2

                         a     =   2 + 1 = 3

Jadi,  nilai  awal yang diberikan  adalah   3               C

36.     Perhatikan  gambar !

Diketahui:  besar sudut  AQB = 2 x besar sudut COD.

Talibusur  AC dan BD berpotongan di Q, maka  sudut  AQB  adalah sudut dalam lingkaran, sehingga

Besar  sudut AQB             = 1/2  (besar sudut AOB + besar sudut COD)

2 x besar sudut COD        = 1/2  ( 180⁰ +  besar sudut COD)

4 x besar sudut COD        =  180⁰ + besar sudut COD

3 x besar sudut COD        =  180⁰

besar sudut COD           =  180⁰ / 3 = 60⁰

Perhatikan  segitiga ODP  siku-siku di  D . (karena PD  adalah garis singgung dan O pusat lingkaran)

Karena  segitiga  ODP  dan segitiga  OCP  kongruen, besar sudut COD = 60⁰ , maka

besar sudut DOP = 30⁰, sehingga panjang DP = 1/2  OP .

Berdasarkan teorema Pythagoras;

OP²          = OD² + PD²

OP²          = OD² + (1/2 OP)²

OP²          = 1² + 1/4 OP²

3/4 OP²    = 1

OP²         = 4/3

37.     Perhatikan gambar !,  buat  garis bantu BC’, CA’ , dan AB’ .

Perhatikan  segitiga  BCC’ , luas segitiga C’AB = luas segitiga ABC  (karena  panjang AC’ = AC)

Perhatikan  segitiga  AC’A’ , luas segitiga C’AB = luas segitiga A’BC’ ( panjang AB = A’B)

Perhatikan  segitiga  A’BB’ , luas segitiga A’BC = luas segitiga A’CB’  (  panjang BC = B’C)

Perhatikan  segitiga  CC’B’ , luas segitiga CAB’ = luas segitiga AC’B’ (  panjang AC = AC’)

Simpulan:

Luas segitiga C’AB = A’BC’ = A’BC = A’CB’ = CAB’ = AC’B’ = ABC

Jadi, luas  segitiga  A’B’C’ = 7 x luas segitiga ABC = 7 x 25 cm² = 175 cm²        C

38.     Pada gambar  garis putus-putus  merupakan  lintasan  titik pusat lingkaran yang bergerak

sepanjang sisi-sisi bagian dalam persegi.

Panjang lintasan titik pusat lingkaran dalam satu rute = 4 x (10 – 2×2) = 4 x 6  = 24 cm B

(mudah).

39.     Berapa banyaknya bilangan 3 digit abc  (a¹0),  sehingga  a² + b² + c²  bisa membagi  26 ?

Jawab :

a² + b² + c²  bisa membagi  26, artinya  a² + b² + c²  merupakan factor-faktor dari 26.

factor-faktor dari 26  adalah 1, 2, 13, dan 26.  Selanjutnya tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi a² + b² + c² , kemudian hitung banyaknya susunan yang mungkin membentuk bilangan abc.

• Untuk a² + b² + c² = 1 , maka  a = 1, b = 0 , dan c = 0 sehingga susunan bilangan yaitu 100.

Banyaknya bilangan abc adalah 1

• Untuk a² + b² + c² = 2 , maka  a, b, c  anggota {1, 1, 0} sehingga

susunan bilangan yang mungkin yaitu 110 , 101

Banyaknya bilangan abc adalah 2 x 1 = 2

• Untuk a² + b² + c² = 13 , maka  maka  a, b, c  anggota {2, 3, 0} sehingga

susunan bilangan yang mungkin yaitu  230 , 203, 320 dan 302

Banyaknya bilangan abc  adalah  2 x 2 x 1 = 4

• Untuk a² + b² + c² = 26 , nilai-nilai  a, b, dan c anggota {1, 5, 0} atau {1, 3, 4}

Untuk  nilai-nilai  a, b, dan c  anggota  {1, 5, 0}, maka banyaknya susunan bilangan abc sebanyak  2 x 2 x 1 = 4 , dan

Untuk  nilai-nilai  a, b, dan c  anggota  {1, 3, 4}, maka banyaknya susunan bilangan abc sebanyak   3 x 2 x 1 = 6

Jadi, banyaknya susunan bilangan abc  adalah  1 + 2 + 4 + 4 + 6 = 17              C

40.    Berapakah nilai   n  bilangan bulat positif sehingga diperoleh selisih terkecil  dari:

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + …+ 2ⁿ .     dan    2010  ?

Jawab :

2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + …+ 2ⁿ , merupakan deret geometri divergen  dengan suku pertama = 2⁰ = 1 , dan

rasio  r = 2  .

Jika   Sn  jumlah dari deret tersebut, maka

Untuk  n = 9 , maka  nilai  2ⁿ – 1 = 2⁹ – 1 = 512 – 1 = 511

Untuk  n = 10 , maka  nilai  2ⁿ – 1 = 2¹⁰ – 1 = 1024 – 1 = 1023

Untuk  n = 11 , maka  nilai  2ⁿ – 1 = 2¹¹ – 1 = 2048 – 1 = 2047

Selisih  dari  2047 dan 2010 = 2047 – 2010 = 37.

Jadi,  selisih terkecil diperoleh  untuk  n = 11             D

Alhamdulillah 40 soal telah terbahas, mohon kirtik jika ada salah ketik atau jawaban yang keliru.

Tingkat SMP Babak Final

Februari  2010

Soal ini  penulis  salin dari mas  Saipul Arif  mudah-mudahan tidak ada redaksi soal yang mengubah esensi  soal. Tingkat kesukaran soal ini beragam ada yang sukar, mudah, dan sedang untuk siswa SMP.

Sedikit tips dalam menjawab soal : bacalah dan pahami soal dengan baik, tentukan strategi menjawab soal. Sebelum anda menemukan  strategi dalam menjawab jangan pernah menjawab tanpa  dasar pemikiran yang logis, karena hanya akan menghaburkan waktu. Priotaskan soal yang bisa anda jawab dengan singkat waktu . Selamat mencoba  berlatih.

1.  Nilai dari 1 +2–3–4 +5 +6–7–8+…+2005 + 2006–2007–2008 + 2009, adalah ….

a.  0

b.  2009

c.  1

d.  –4

2.  Jika jumlah dari digit-digit sebuah bilangan asli m adalah 30, maka jumlah dari digit-digit m + 3

tidak bisa sama dengan ….

a.  15

b.  21

c.  24

d.  33

3.  Diberikan x = 2^–45 ,y=3^–36 ,z = 5^–27, dan t = 6^–18. Sususan yang tepat dari x, y, z, dan t adalah …

a.  z < y < t < x

b.  x < y < t < z

c.  z < t < y < x

d.  z < y < x < t

4.  Di dalam sebuah pesta, 5 orang teman akan saling memberikan masing-masing satu hadiah

       sehingga setiap orang akan memberi dan menerima hanya satu. (Tentunya tidak akan ada orang

       yang akan menerima hadiah dari dirinya). Berapakah jumlah cara yang mungkin dilakukan?

a.  5

b.  10

c.  44

d.  50

5.  Diberikan angka m = 999… 9 yang terdiri atas 999 angka 9. Hasil penjumlahan dari nilai digit-digit

angka m adalah ….

a.  8982

b.  8991

c.  9000

d.  9009

6.  Sebuah jam dengan panjang jarum jam 4 cm, dan jarum menit 8. Berapakah ratio jarak yang telah

oleh jarum -jarum tersebut, jika keduanya bergerak selama 3 jam?

a.    1 : 2

b.    1 : 4

c.     1 : 12

d.    1 : 24

7.  Jika akar – akar dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  adalah bilangan-bilangan real yang berupa

,maka nilai dari (a + b + c)² adalah ….

a.    b²–4ac

b.    b²–2ac

c.     2b²–ac

d.    4b²–ac

8.    

a. 10–a

b.  a/10

c.  10/a

d. 10 + a

9. Berapakah nilai dari :

a.  –2

b.  2

c.  –1

d.  1

10.  Sebuah papan berukuran 8 x 8 akan dibagi menjadi persegi – persegi kecil berukuran 2 x 2.

Setiap persegi-persegi tersebut akan dicat dengan warna merah atau biru. Berapakah banyaknya cara melakukan sehingga potongan-potongan menjadi 2 persegi warna merah dan 2 persegi warna biru.

a.  2⁹

b.  2⁹–2

c.  2⁸

d.  2⁸–2

11.  Jika nilai koefisien terbesar dari hasil pemangkatan bilangan (1 + x)ⁿ adalah

1/24 n(n–1)(n-–2)(n–3).

Maka berapakah nilai  n  tersebut ?

a.  10

b.  9

c.  8

d.  7

12. Banyaknya bilangan bulat berbeda yang memenuhi  y   jika  |x – 7| – |x + 11| = y   adalah …

a.  77

b.  37

c.  18

d.  17

13.  Delapan belas siswa ikut serta dalam sebuah kompetisi tenis meja. Siswa –siswa tersebut

dikelompokkan ke dalam pasangan -pasangan yang diberi no 1 sampai dengan 9. Setiap

pasangan dengan nomor genap terdiri dari seorang siswa laki –laki dan seorang perempuan,

sedang setiap kelompok dengan nomor ganjil terdiri dari 2 anak laki – laki, Berapakah jumlah

anak laki – laki yang berpartisipasi dalam kompetisi tersebut ?

a. 10

b. 12

c. 14

d. 16

14.  Empat buah persegi dengan sisi-sisi berupa bilangan bulat, diletakkan saling tindih menindih

satu sama lain seperti ditunjukan pada gambar. Jika diketahui [KP]=[PR]=[RB] dan luas daerah

yang diarsir sama dengan 17 maka berapakah luas dari persegi ABCD?

a. 225

b. 121

 c. 169

d. 100

15.  Gelang – gelang dengan ukuran seperti ditunjukan pada gambar, akan dihubungkan membentuk

sebuah rantai dengan panjang 1,7 m. Berapakah jumlah gelang yang diperlukan untuk

membentuk rantai tersebut ?

a. 17

b. 21

c. 30

d. 42

16.  Bilangan-bilangan asli kurang dari 55 ditulis secara berurutan seperti ditunjukan berikut :

a=123456789101112….54,   Urutan ke-50 dari angka-angka tersebut dari kiri adalah

a. 3

b. 0

c. 9

d. 5

17. Andi memiliki kumpulan 16 bilangan bulat positif yang berbeda Jika nilai rata – rata bilangan

adalah 16.  Berapakah angka terbesar yang mungkin bisa menjadi anggota himpunan tersebut,

a. 56

b. 136

c. 80

d. 32

18.  

a. 10301

b. 10201

c. 10101

d. 10001

19.  Untuk x, y, dan z adalah bilangan bulat positif, berapakah banyaknya pasangan 3 angka (x,y,z)

yang memenuhi x + y + z = 100?

a. 5081

b. 6005

c. 4851

d. 4987

20.   Berapakah banyaknya nilai x yang memenuhi  | |x - 4|  -1| = 2

a. 4

b. 3

c. 2

d. 1

21.   Jika dibandingkan antara jumlah segitiga dan persegi yang terbentuk dari gambar, berapa jumlah

segitiga berlebih dari jumlah kotak persegi yang ada didalam segitiga besar?

a.  1

b.  2

c.  3

d.  4

22.  Di dalam kompetisi matematika PASIAD, Elisa mendapatkan hasil terbaik ke-50, yang berarti

juga hasil terburuk ke-50. Berapakah jumlah siswa yang ikut dalam kompetisi tersebut, jika

ternyata setiap siswa memiliki skor yang berbeda – beda ?

a. 101

b. 100

c. 99

d. 98

23. Berapakah banyaknya bilangan bulat positif yang memenuhi pertidaksamaan

a. 5

b. 4

c. 3

d. 2

24.  Diberikan a, b, c adalah anggota bilangan riil (nyata),

25.  Sebuah barisan bilangan didapat dengan cara mengalikan bilangan sebelumnya dengan 2 dan

menambahkan angka a ke hasilnya. Jika suku ke-6 dan suku ke-9 barisan tersebut adalah 70 dan

609, maka berapakah nilai a ?

a.  1

b.  3

c.  7

d.  49

26.  Plouks dan Zuves, adalah 2 nama istilah untuk mahluk asing yang ada di planet Pluto, Plouks

memiliki 2 kepala dan 3 kaki, sedangkan zuves memiliki 1 kepala dan 4 kaki. Dari ketinggian ke

arah keramaian, seorang peneliti dapat melihat dengan jelas ada 10 kepala. Peneliti lain dari

tempat yang lebih rendah , melihat ada 25 kaki di keramaian. Berapakah sebenarnya jumlah

plouks yang ada di keramaian tersebut?

a.  3

b.  4

c.  5

d.  6

27.  Berapa jumlah angka 8 digit (a1a2a3…..a8) yang terdiri dari 0 atau 1 (a1 = 1), dan memilki sifat

a1 + a3 + a5 + a7 =a2 +a4 +a6 +a8 ?

a.  27

b.  35

c.  49

d.  16

28.  Jika x = 1+a+a2 + … + ∞ dan y = 1+ b+ b2 + …+ ∞  yang mana   a dan b adalah pecahan biasa.

Maka  nilai dari 1 + ab + a² b² +… + ∞   adalah ….

d.  1

29.  Jika n merupakan biiangan bulat positif, maka nilai n yang memenuhi persamaan ,

888 x 111 = 2 x (2n)²   adalah ….

a.  8

b.  11

c.  22

d. 111

30.  Jika ppp, qr dan kr, adalah sebuah bilangan tiga dan dua digit, dan

, maka  nilai  dari    p+q+r+k   adalah ….

a.  11

b.  20

c.  21

d.  22

31.  abac adalah sebuah bilangan 4 digit yang merupakan kuadrat dari sebuah angka 2 digit. Jika kita

naikan semua nilai digit dari abac dengan 1 maka bilangan hasil juga merupakan kuadrat dari

angka 2 digit yang lain. Berapakah nilai dari  a + b + c ?

a. 2

b. 5

c. 6

d. 7

32.  Sebuah barisan bilangan bulat positif, x1, x2, x3, x4, … ,xn memiliki suku-suku berupa bilangan bulat

yang tidak lebih dari 2001. Jika pada barisan bilangan tersebut berlaku

x_i = | x_i-1 – x_i-2 | untuk setiap i ≥ 3 maka berapakah nilai  n  maksimum yang bisa didapat?

a.  4003

b.  3002

c.  2001

d.  none

33.  Dari pasangan 3 angka berikut, pasangan mana yang bukan merupakan pasangan bilangan

phytagoras ?

a. (1, √ 3 , 2)

b. (10, 24, 26)

c. (6, 8, 10)

d. (6, 17, 18)

34.  f{x) adalah sebuah fungsi sehingga f(2011 )=2020 dan f(x+1 ) = 2f(x) –2004. Untuk x adalah bilangan

bulat maka nilai dari f(2010) adalah …

a.  2010

b.  2012

c.  2016

d.  2018

35.  Kita diberi satu angka tertentu. Kemudian kita gandakan dan kurangi 1 dari hasilnya, Jika kita

mengulanginya sampai 98 kali, hasil akhirnya adalah 2¹⁰⁰  + 1.Berapakah nilai awal angka yang

diberikan ke kita sebenarnya ?

a.  1

b.  2

c.  3

d.  4

36.  C dan D adalah titik di lingkaran yang memiliki diameter AB seperti pada gambar.

Besar  sudut AQB = 2 x sudut COD dan garis singgung C dan D bertemu di titik P. Jika lingkaran tersebut memiliki jari -jari 1 cm, berapakah jarak titik  P  ke titik pusat ?

c.   2

d.  3

37.  Sebuah segitiga ABC memiliki luas 25 cm² .  Jika Segitiga yang lebih besar dibentuk seperti pada

gambar dimana panjang A’B = AB, CB’ = BC and C’A = AC, maka tentukan luas dari segitiga A’B'C`?

a.  50 cm²

b.  150 cm²

c.  175 cm²

d.  200 cm²

38.  Sebuah lingkaran dengan jari 2 cm, menggelinding mengikuti jalur keliling persegi, seperti pada

gambar. Jika panjang sisi persegi adalah 10 cm, berapakah jarak yang dicapai oleh pusat lingkaran untuk satu kali rute (kembali ke posisi semula) ?

a.  16 cm

b.  24 cm

c.  32 cm

d.  40 cm

39.  Berapakah banyaknya angka 3 digit abc (dengan a¹ 0) sehingga nilai a² +b² +c²  bisa membagi 26 ?

a.  27

b.  26

c.  17

d.  16

40.  Untuk n anggota bilangan bulat positif, selisih terkecil yang bisa didapat dari bilangan

2⁰ +2¹ +2²  + …+ 2ⁿ    dan  2010 ?

a.  8

b.  9

c.  10

d.  11

Filed under: UMUM ]]> http://deni11math.wordpress.com/2011/11/17/soal-kompetisi-matematika-pasiad-se-indonesia-vi/feed/ 1 deni11math Akar-akar PK No.8 No.9 No. 14 Chain No.18 No.21 No.23 No.24 24. a image021 image023 image025 image027 image029 image031 image033 image035 image037 image039 Segitiga image042 http://deni11math.wordpress.com/2011/11/01/pemfaktoran-bentuk-kuadrat-ax2-bx-c/ http://deni11math.wordpress.com/2011/11/01/pemfaktoran-bentuk-kuadrat-ax2-bx-c/#comments Tue, 01 Nov 2011 14:45:59 +0000 deni11math http://deni11math.wordpress.com/?p=2632 ]]> BEBERAPA CARA PEMFAKTORAN BENTUK  ax² + bx + c

Beberapa hal yang mendasar yang harus dipahami   siswa dalam mempelajari pemfaktoran bentuk kuadrat;

ax² + bx + c ,  dengan  a, b, dan c  anggota bilangan nyata,  dan  a  ≠ 0  , diantaranya;

•  arti  pemfaktoran;
•  penguasaan  kompetensi  prasyarat   yaitu, sifat distributive, FPB  dua bilangan bulat,  FPB  bentuk aljabar, serta factor-faktor dari suatu bilangan  bulat , pembagian bentuk aljabar, sifat distributive  dan;.
• algoritma  pemfaktoran

Sebelum  memfaktorkan bentuk aljabar di atas, simak dan pahami  uraian berikut:

a.   Arti  Memfaktorkan

Memfaktorkan bentuk aljabar  artinya  mengubah suatu bentuk penjumlahan suku-suku aljabar menjadi bentuk perkalian  factor-faktornya.

Memfaktorkan suatu bilangan bulat  artinya  menyatakan  suatu bilangan  dalam bentuk  perkalian factor-faktornya.

Faktor-faktor  suatu bilangan bulat ,adalah bilangan bulat yang membagi  habis(pembagi habis)  suatu bilangan bulat .

Membagi habis artinya  sisa pembagiannya  0 ( tidak bersisa).

Contoh 1.   Nyatakanlah   6 sebagai  perkalian dua factornya  !

Factor –actor  dari  6  adalah ,  1 , 2 , 3, dan 6  atau  -1, -2, -3, dan – 6 , maka  6  dapat dinyatakan sbb:

6 = 1 x 6  , atau           6 = 2 x 3   atau      , 6 = (-1) x (-6)     atau          6 = (-2) x (-3)

 Contoh 2.  Nyatakanlah  – 8  sebagai  perkalian dua factornya  !

 Pasangan  factor-faktor  dari – 8  adalah  (-1, 8), (1, -8) , ( -2, 4)  ,  (2, -4) , sehingga  -8  dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian  berikut:

– 8 =  (– 1) x 8  ,  atau    – 8 = 1 x (–8  ) ,  atau       – 8 = (-2) x 4  , atau         – 8 = 2 x (-4)

Simpulan:

Dari  dua contoh di atas  tampak  bahwa, sepasang faktor bilangan  bulat positif  bertanda sama, sedangkan  sepasang  faktor dari bilangan  bulat negative  berbeda tanda.

 b.  FPB  (Faktor Persekutuan Terbesar) atau Pembagi Bersama Terbesar (PBT)

1)         FPB  Dua Bilangan Bulat

Contoh:

 FPB  dari  3  dan  6  adalah  3 , karena  3 adalah  bilangan bulat  terbesar  yang  membagi habis  3  dan 6.  (3  Pembagi Bersama Terbesar dari  6 dan 3).

 Contoh:

FPB atau PBT  dari   12 dan  18  adalah   6 ,   karena  6 adalah  bilangan bulat  terbesar  yang  membagi habis,  12  dan 18.

Secara nalar  anda dapat  menentukannya dengan mudah, tetapi bagi siswa yang lambat berpikir  anda dapat menggunakan cara-cara  berikut:

Lakukan pembagian untuk bilangan 12 dan 18,  pertama  bagi dengan 2, hasil pembagiannya  6 dan 9. Selanjutnya  6 dan 9  di bagi 3  hasil pembagiannya  2 dan 3.

 Karena  hanya  1 yang habis membagi 2 dan 3 , maka  proses pembagian tuntas.

Jadi,  PBT(12, 18)  adalah   2 x 3 = 6 , sedangkan  KPK (12, 18) = 2 x 3 x 2 x 3 = 36

Atau  menggunakan  cara  berikut:

PBT (12, 18)      = PBT (18, 12)

                             =PBT(18 – 12 , 12) = PBT ( 6 , 12)

                             =PBT ( 12 – 6, 6)

                             =PBT ( 6, 6)

                             = 6

2)          FPB/PBT  Bentuk  Aljabar

FPB   dari  2x²y  dan  6xy²   adalah   2xy  ,  karena  2xy  membagi habis  2x²y  dan  6xy².

Dengan skema pembagian.

Jadi, PBT  2x²y  dan  6xy²   adalah  2 . x . y = 2xy , sedangkan  KPKnya = 2.x.y.x.3y = 6x²y²

3)         Sifat Disributif

a  . ( b + c ) = ab + ac ,  atau

ab + ac                  =  a ( b + c )

Proses pada bentuk  pertama  adalah  perkalian suku satu dengan suku dua, sedangkan bentuk yang terakhir  adalah              bentuk pemfaktoran suku dua  (ab + ac).

Tampak, bahwa  a dan (a + b)  adalah  factor-faktor dari  (ab + ac).

 Dan   a  adalah  PBT dari  ab  dan  ac.

Dengan skema pembagian:

c.     Memfaktorkan bentuk   ax²+ bx + c ,  dengan  a,b, c ε R , dan  a ≠ 0

Cara I

Perhatikan bentuk kuadrat  suku tiga;  ax²+ bx + c  , yang  dinyatakan  sebagai  perkalian suku dua dengan suku dua berikut;

Jika  bentuk ruas kanan  kita jabarkan seperti berikut:

Perhatikan suku-suku pada ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (B) tersebut, maka  haruslah

pq/a = c   atau   pq = ac  , dan  p + q = b .

Dengan demikian pekerjaan  kita  adalah menemukan  nilai p dan q  dengan dua syarat yang mengikat, yaitu

 p dan q   harus merupakan factor dari  ac dan jumlahnya harus  sama dengan  b ( koefisien x).

Secara skema dapat digambarkan sbb:

I.      Kasus  jika  nilai  a = 1

Bentuk  ax²+ bx + c , menjadi   x²+ bx + c  sehingga  bentuk pemfaktoran  persamaan  (A)  menjadi;

Dimana :   p.q = c  ,  dan   p + q = b

Contoh 1

Faktorkanlah   x²  – 11x  + 30

Diketahui  a = 1 , b = -11 , dan  c = 30 .  sehingga dapat ditulis;

x²  – 11x  + 30  =  (x + p) (x + q)

x²  – 11x  + 30 = (x – 5) (x – 6)

II.    Kasus  jika  nilai  a ≠ 1

Contoh 2

Faktorkanlah   3x²  – 11x  – 20

Diketahui  a = 3 , b = -11 , dan  c = – 20 .  sehingga dapat ditulis;

Selanjutnya  menemukan nilai p dan  q  yang memenuhi dua syarat  tersebut di atas, dengan cara coba dan periksa.  Buatlah skema  seperti diatas !

Selanjutnya  coba dan periksa nilai penggati  p dan q sebagai  factor  dari  -60. Karena  factor dari bilangan bulat  negative , maka  nilai  p dan  q  berbeda tanda. ( +  dan  – ) . Karena jumlahnya  -11, maka untuk memudahkan , langkah awal  kita tentukan  dari bilangan positif.

Jika  nilai p = +1  maka  q = -60 , dan  1 + (-60) = -59 ≠ -11,  jadi  tidak memenuhi.

Lanjutkan dengan  menentukan nilai  p  yang lebih dari  +1.

Jika  nilai p = +2  maka  q = -30 , dan  2 + (-30) = -29 ≠ -11,  jadi  tidak memenuhi.

Hal  ini dapat  dikalkulasi  dalam benak kita.

Jika  p = +4 , maka  q = (-60) : 4 = -15 ,  dan   4 + (-15) = -11, jadi  nilai  p = +4  dan q = -15  bilangan yang memenuhi.  Selanjutnya substitusi  ke dalam bentuk (A)  di atas !

Tampak  dengan cara seperti  ini, kita  masih harus  menyederhanakan.

Cara  II 

Bentuk  ax² + bx + c  dapat  kita tulis  sbb:      

Jika  ruas kanan  kita uraikan maka  diperoleh bentuk sbb:

Perhatikan suku-suku pada ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (B) tersebut, maka  haruslah

a₁ . a₂ = a  ,              c₁ . c₂ = c   ,  dan        (a₁.c₂ + a₂.c₁ ) =  b

Dengan kata lain,  kita harus menemukan sepasang factor dari  a (koefisien x²)  dan sepasang factor dari  konstanta c yang tepat, sehingga jumlah dari hasil kali sepasang factor a dan c sama dengan b (koefisien x).

Untuk memudahkan dapat kita buat skema berikut :

Contoh 3

Faktorkanlah  3x² +11 x  – 20  !

Selanjutnya  dengan coba-coba dan periksa, temukan jumlah dari hasil perkalian  sepasang factor  dari  3 dan (-20)  sehingga jumlahnya = 11.

Sepasang factor  dari 3  adalah (±3, ±1)  dan

Selanjutnya  kita  dapat  menghitung pasangan  factor  yang tepat yaitu, (3, 1)  dan  (-4, 5)  , karena

3 x 5 + 1 x (-4)= 15 – 4 = 11 ,   memenuhi syarat :  a₁.c₂ + a₂.c₁ =  b

 Tampak dengan cara seperti ini, bentuk pemfaktoran langsung diperoleh.

Cara ini  cocok untuk siswa yang terampil dalam penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.

Contoh 4

Faktorkanlah  -6x² – x  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Dengan cara coba dan periksa, kita dapat memeriksa jumlah hasil perkalian pasangan factor-faktor yang memenuhi syarat.

Pasangan factor yang memenuhi  yaitu, (+2 , -3)  dan  (5 , 7) , karena 2 x 7 + (-3) x 5 = 14 – 15 = -1

Memenuhi syarat:  a₁.c₂ + a₂.c₁ =  b

Cara  III

Dengan menggunakan sifat Distributif

Bentuk  ax² + bx + c  dapat  kita tulis  sbb:          

ax² + bx + c  = ax² + px +qx + c

Langkah pemfaktoran ini pada dasarkan mengubah  bentuk suku 3  menjadi suku 4 dengan mengubah suku  bx menjadi bentuk penjumlahan px + qx  dengan  pq = ac, kemudian langkah selanjutnya pemfaktoran dengan menggunakan sifat distributive.

Dengan skema  seperti diatas .

Contoh 5

Faktorkanlah  3x² +11 x  –  20  !

Diketahui:  a = 3  ,  b = 11 ,  c = -20

Karena  jumlahnya  11,  untuk memudahkan  kita mulai coba dan periksa dalam menentukan faktornya dari bilangan negative. Pasangan factor dari (-60) yang memenuhi adalah -4  dan +15.

Selanjutnya  bentuk kuadrat tersebut dapat ditulis sbb:

 3x² +11 x  –  20     = 3x² +15 x    – 4x – 20

                             = 3x (x + 5)    – 4 (x +5)             (sifat Distributif)

                             =(x + 5) (3x – 4)                         (sifat Distributif)

Atau  dapat anda tulis sbb:

3x² +11 x  –  20      = 3x²  – 4x + 15x – 20

                             = x (3x – 4) + 5 (3x – 4)              (sifat Distributif)

                             = (3x – 4) ( x + 5)                       (sifat Distributif)

Hasilnya  sama.

Contoh 6

Faktorkanlah  -6y² – y  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Karena jumlah faktornya -1, dengan coba dan periksa untuk memudahkan menentukan pasangan faktornya,  mulailah  dari bilangan positif  dengan mempertimbangkan syarat jumlahnya  -1 dan kemudian lakukan operasi pembagian.

Pasangan factor-faktor  dari -210  yang memenuhi adalah (14 , -15).

Selanjutnya  bentuk kuadrat tersebut dapat ditulis sbb:

-6y² – y  + 35    = -6y² – 15y    +14y + 35

                        = -3y ( 2y + 5 )   + 7 ( 2y + 5 )          (sifat Distributif)

                        = ( 2y + 5 ) ( -3y + 7 )                      (sifat Distributif)

Cara  IV

Cara  ini hanya penyederhanaan dari  cara III.  .

Contoh 6

Faktorkanlah  -6x² – x  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Selanjutnya  tulis seperti pada skema berikut;

Langkah ini dan langkah-langkah berikut yang sering saya  gunakan, karena langkah-langkah pemfaktoran dapat kita tulis langsung berikut  perhitungan bisa diselesaikan dalam benak kita.

Dari beberapa  cara, silahkan  gunakan cara yang anda rasa lebih  mudah dan dapat dipahami.

Simpulan:

Dari  semua  cara  yang telah diuraikan di atas,  penentuan  factor-faktor dari  ac yang jumlahnya sama dengan b  merupakan  syarat perlu serta  dalam penentuan  factor-faktornya menggunakan cara coba-coba  dan periksa. (try and check).

Sekarang   dapatkah  kita menentukan  factor-faktor nya  secara langsung (tanpa coba dan periksa)? Tentu  BISA 

Simak uraian  berikut ….

Cara  V

Bentuk  kuadrat    ax²+ bx + c ,  dengan  a,b, c ε R , dan  a ≠ 0  , dapat  kita tulis;

dengan   p.q = ac  ,  dan   p + q = b   dengan  p,q  ε bilangan  Bulat

 Jika  anda  analisa  nilai  p  dan  q merupakan  bilangan bulat, sedangkan himpunan bilangan bulat merupakan himpunan bagian (sub set) dari himpunan bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah  bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  r / s  dengan s ≠ 0 dan  r dan  s  adalah  bilangan bulat .

 Dan jika  anda  analisa dari bentuk ax²+ bx + c =(a1x + p)(a2x +q) ,  nilai   b² – 4ac   (disebut diskriminan) merupakan bilangan kuadrat, sehingga dapat ditulis :

         b² – 4ac = k²  ,  dengan  k bilangan bulat positif.   Atau 

Selanjutnya;

         b² – 4ac = k²

↔     b² – k²    = 4ac

↔    (b + k) (b – k) = 4pq

 Karena  p dan q  factor  dari  ac yang merupakan bilangan bulat tertentu,  maka  dapat kita tentukan

Gunakan rumus ini untuk menentukan factor-faktornya !

Contoh 7

Faktorkanlah  -6x² – x  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Contoh 8

Faktorkanlah  -6x² – x   + 35     !

Menggunakan cara IV

Dengan menggunakan rumus  diatas diperoleh pasangan factor yang tepat adalah (+14 , -15)

Langkah pertama  kita faktorkan  -6x² –15 x = -3x(2x + 5)  , kemudian kita tulis:

Jadi,    -6x² – x   + 35 = (-3x + 7) (2x + 5)

Tampak,  dengan menggunakan rumus untuk p dan q  tersebut di atas, pasangan faktor  ac yang berjumlah b dapat ditentukan tanpa coba-coba dan periksa. Rumus ini sangat membantu terutama untuk bilangan yang cukup besar dan  cara pemfaktoran ke IV lebih singkat tanpa harus menyederhanakan lagi.

Semoga dapat dipahami

TENTANG  SEGITIGA DAN PERSEGIPANJANG

          Tulisan ini hanya sebagai ungkapan  rasa rindu penulis kepada almarhum ayahanda. Almarhum ayahanda  figur seorang ayah yang sangat low profil dimata saya, suka menyuruh berbagai hal, mengajak bekerja bersama-sama, mengajarkan tehnik berhitung ketika  saya di SD, bahkan samapai saya kuliah pun sering menanyakan pembelajaran-pembelajaran di sekolah.

          Sering kali ayahanda semasa hidupnya melontarkan soal-soal uraian seperti soal mekanika (ilmu gaya) dalam fisika,  aljabar atau geometri. Maklum ayahanda semasa mudanya mengenyam pendidikan di jaman penjajahan Belanda dan jaman kemerdekaan yang mana kurikulum pada masa itu menitikberatkan pada penguasaan ilmu alam, ilmu geometri atau ilmu ukur ruang (stereometri) dan ilmu ukur bidang (planimetri) yang disebut ilmu pasti, hingga beliau masuk SMA bagian B dan melanjutkan kuliah jurusan Tehnik Sipil  Fakultas Teknik Universitas Indonesia di Bandung pada tahun 1950-an yang kini bernama Institut Teknologi Bandung sampai beliau  bekerja pun selama 35 tahun hingga pensiun di sana. Dalam pandangan saya, pembelajaran di masa itu cukup bermakna,   karena sampai beliau usia lanjut pun begitu melekat dalam ingatannya pengetahuan yang beliau peroleh semasa mudanya.

         Salah satu soal yang beliau lontarkan pada  saya  saat masih sekolah dulu adalah soal geometri bidang (dulu ilmu ukur segitiga) tingkat SMP  dan disaat itu pun saya tak bisa menjawabnya karena pengetahuan dasar tentang konstruksi garis tidak saya dapatkan di sekolah, setelah saya kuliah tingkat I, baru saya bisa memahami soal-soal geometri tersebut .Jadi soal ini tergolong cukup tinggi untuk siswa SMP atau bahkan siswa SMA atau SMK saat ini dan  kini penulis mencoba membahasnya secara lebih lengkap dari apa yang pernah dibahas ayahanda. Soal ini cocok untuk mahasiswa jurusan pendidikan matematika , guru muda dan penggemar matematika untuk sekedar menambah wawasan.

           Redaksi soalnya sebagai berikut:

Dengan menggunakan  alat tulis, penggaris dan sebuah jangka.

Pada salah satu sisi sebuah segitiga sembarang terdapat sebuah titik, dari titik tersebut gambarlah sebuah garis sehingga membagi segitiga  menjadi dua bagian yang sama luasnya.

Sebaiknya anda coba jawab dulu,  sebelum lihat pembahasan !

Inventarisir data soal kemudian sedikit analisa.

Diketahui: segitiga ABC dan sebuah titik P pada salah satu sisinya misalkan sisi AC.

Ada 3 kemungkinan tempat kedudukan titik P pada sisi AC yaitu :

1. Titik P  terletak ditengah-tengah AC , dimana  jarak AP = jarak PC
2. Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA > jarak PC
3. Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA < jarak PC

1. Untuk kasus titik  P  terletak ditengah-tengah AC , dimana  jarak AP = jarak PC.

Buat garis BP dan garis BP adalah salah satu garis berat segitiga ABC dari titik sudut B.

Sangat mudah menggambarnya.

Harus ditunjukkan bahwa :

luas segitiga  APB = luas segitiga PCB

Buat garis tinggi BE  tegak lurus AC.

luas  segitiga  APB      = ½ x AP x BE

                              = ½ x PC x BE  (karena panjang AP = PC )

                              = luas daerah segitiga PCB  (yang harus ditunjukkan)

Dengan sifat garis berat segitiga dan garis-garis parallel (sejajar), kita akan membuktikan untuk kasus berikutnya.

2.   Untuk kasus  Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA > PC.

Seperti pada gambar berikut :

Langkah menggambar :

• Buat  segmen garis  PB
• Buat garis perpanjangan AB
• Buat garis melalui C sejajar garis  PB sehingga memotong perpanjangan garis AB di titik D    (A – B – D) , simak langkah-langkah menggambarnya :

-       Dengan sebuah jangka, gambar  busur lingkaran yang berpusat di titik B dengan panjang jari-jari  sama dengan panjang PC, selanjutnya ditulis (B ; PC);

-       Gambar busur lingkaran (C ; PB) sehingga memotong busur lingkaran (B ; PC) di titik T.

-       Gambar garis  CT  sehingga memotong perpanjangan garis AB di titik D   (A – B – D).

(garis CD // garis PB)

• Selanjutnya tentukan titik tengah AD sehingga jarak AE= jarak ED, anda dapat menggunakan cara menggambar sumbu garis AD.
• Buat segmen garis PE, segmen garis PE adalah garis yang membagi segitiga ABC  menjadi dua bagian yang sama luasnya.

Yang harus ditunjukkan adalah,

luas segitiga PAE = luas segiempat PEBC

-        Buat garis bantu PD sehingga memotong segmen garis BC di titik Q.

-        Perhatikan segiempat PBDC adalah trapesium, (karena PB // CD) !!

Karena panjang alasnya sama yaitu PB dan tingginya sama karena PB // CD), maka

Luas segitiga  PBC                             = luas segitiga  BPD

Luas segitiga PBQ + luas segitiga PQC = luas segitiga PBQ + luas segitiga BQD

               Jadi, Luas segitiga PQC       = luas segitiga BQD

Perhatikan segitiga PAD  !

Luas segitiga PAE  = luas segitiga PED (karena  panjang AE = ED)   

                                    = luas segiempat PEBQ + luas segitiga BQD

                                    = luas segiempat PEBQ + luas segitiga PQC

                                    = luas segiempat PEBC  (yang harus ditunjukkan)

3.   Untuk kasus  Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA < PC.

Seperti pada gambar berikut :

Langkah-langkah menggambar :

• Buat  segmen garis  PB
• Buat garis perpanjangan CB
• Buat garis melalui A sejajar garis  PB sehingga memotong perpanjangan garis CB di titik D    (C – B – D),  langkah-langkah menggambarnya  analog dengan  kasus (B).
• Tentukan titik tengah  segmen garis CD yaitu  E , sehingga  panjang CE = panjang ED.
• Buat segmen garis  PE, segmen garis PE adalah garis yang membagi dua segitiga ABC membagi dua bagian yang sama luasnya.

Tampak seperti pada  gambar berikut:

Harus ditunjukkan bahwa, luas segitiga CPE = luas segiempat PABE.

-        Buat garis bantu PD sehingga memotong segmen garis AB di titik F.

-        Perhatikan  trapesium PBDA, (karena PB // AD) !!

Karena panjang alasnya sama yaitu PB dan tingginya sama karena PB // AD), maka

Luas segitiga  PBA                             = luas segitiga  BPD

Luas segitiga PBF + luas segitiga PFA   = luas segitiga PBF + luas segitiga BFD

               Jadi, Luas segitiga PFA        = luas segitiga BFD

Perhatikan segitiga  CPD  !

Luas segitiga CPE  = luas segitiga PED (karena  panjang CE = ED)   

                                    = luas segiempat PEBF + luas segitiga BFD

                                    = luas segiempat PEBF + luas segitiga PFA

                                    = luas segiempat PABE  (yang harus ditunjukkan)

 Soal Kedua:

Soal sederhana untuk siswa SMP kelas IX.

Diketahui ABCD persegipanjang, dan AC garis diagonal seperti tampak pada gambar.

Jika luas persegipanjang FGBH = 37 satuan luas, berapakah luas persegipanjang DEFI ?

 Sebaiknya anda coba jawab dulu,  sebelum melihat pembahasan !

Perhatikan gambar berikut:

Karena segiempat FGBH persegipanjang, maka GI // BC dan EH // AB, maka

Besar sudut FAG =  Besar sudut CFH (sudut sehadap)

Besar sudut FGA =  Besar sudut CHF = 90⁰ (sudut sehadap), sehingga

Segitiga  AGF sebangun dengan segitiga FHC , akibatnya

AG x CH = FG x FH

EF x IF = luas persegipanjang FGBH (karena AG=EF dan CH = IF)

luas persegipanjang DEFI = luas persegipanjang FGBH = 37 satuan luas

Demikian pembahasan 2 soal tersebut.

Semoga  menambah sedikit wawasan anda tentang geometri.

DALAM MEMBUAT JADWAL PELAJARAN

           Berbagai  teknis yang dilakukan dalam membuat jadwal pelajaran, ada yang dibuat secara manual dengan menggunakan sejumlah warna yang berkorespondensi satu-satu dengan nama pengajar/mata pelajaran , hingga penggunaan program aplikasi pembuat jadwal pelajaran seperti aSc Timestable yang cukup lengkap hingga pengaturan siswa maupun ruangan telah disediakan. Namun demikian program ini pun pada prinsipnya sama menggunakan pewarnaan yang berbeda untuk setiap nama pengajar atau mata pelajaran dengan maksud sebagai indikator pembeda kondisi jadwal yang dibuat dengan bantuan computer.

          Program aplikasi aSc Timestable  tidak gratis (not free) alias harus beli, kalau yang bisa kita downloadpun merupakan versi trial, lumayan sekedar mengenal penggunaan program aplikasi tersebut. Penulis telah mencoba mengunduh program  aSc Times Table tersebut dan menggunakannya namun masih terdapat error , akhirnya kembali lagi menggunakan MS. Excel walaupun entry datanya dan penataannya manual satu persatu  , namun cukup membantu dengan cepat dalam membuat jadwal pelajaran dan lebih familiar bagi kita yang sering menggunakannya.

         Sepuluh tahun yang lalu lampu rambu perempatan jalan telah menginspirasi penulis. Saat kendaraan yang saya tunggangi di malam hari berhenti di perempatan dan   Traffic Lights yang berwarna merah, kuning, dan hijau jadi perhatian saya. Saat itu terlintas dalam benak saya sepertinya dalam menyusun jadwal mengajar dapat menggunakan warna-warna tersebut. Setibanya di rumah tanpa menunggu lama saya nyalakan PC jadul dan saya buka MS.Excel 97 lalu mencari pemformatan cells  dengan membuka menu format  saya temukan submenu conditional format yang hanya dapat berisi 3 kondisi saja, artinya MS. Excel 97 menuntut kita untuk terampil menggkombinasikan fungsi-fungsi yang ada. Walau harus sedikit merumuskan beberapa cell untuk kondisi jadwal akhirnya membuat jadwal mengajar dengan formatting cells dapat saya buat.

         Dalam MS. Excel 97 hanya berisi 3 kondisi , berbeda dengan MS.Office Excel 2007  yang berisi feature conditional formatting hingga 64 kondisi dan beberapa feature lainnya berbentuk icons yang tidak ada dalam MS. Excel 97 dan Traffic Lights yang telah menginspirasi penulis dijadikan sebagai salah satu icon sets formatting cells, sehingga dalam pemformatan cells lebih variatif,mudah dan simple.

         Dalam membuat jadwal mengajar dengan formatting cells , warna merah saya gunakan sebagai indicator untuk kondisi jadwal Rangkap artinya satu mata pelajaran yang diampu oleh seorang guru terdapat di beberapa ruang kelas yang berbeda pada saat yang bersamaan. Warna hijau sebagai indicator jumlah jampel per minggu yang dialokasikan masih kurang dalam satu kelas, dan warna kuning sebagai indikator jumlah jampel  berlebih dalam satu kelas dari yang dialokasikan sesuai muatan kurikulum. Hal ini sangat membantu dalam entry kode pengajar atau mengedit jadwal, saat mengganti kode pengajar si A dengan si B terkadang kita lupa siapa yang diganti atau dihapus , mata pelajaran apa yang kurang atau berlebih, jadi kita tak akan dibebani dengan hal tersebut.

          Untuk pemula yang belum mengenal feature-feature MS. Excel 2007 lainnya, berikut penulis sajikan langkah-langkah membuat jadwal mengajar atau jadwal pelajaran dengan formatting cells:

• Buka  MS. Excel,  satu workshett  kosong terbuka secara otomatis
• Pada Sheet 1, buatlah dan tentukan rancangan bentuk jadwal yang diinginkan, bentuk vertical atau horizontal sekaligus distribusikan jumlah jampel setiap hari dari Senin s.d. Sabtu sehingga jumlah jampel per Minggu sesuai dalam muatan kurikulum sekolah.

Berikut  contoh blanko jadwal yang berbentuk vertical.

•  Pada Sheet yang sama di area lain yang tidak sebaris dengan jadwal, buatlah tabel  data yang memuat  kode  pengajar/mata pelajaran dan alokasi jumlah jampel setiap kelas dalam satu Minggu.

( Jadwal  dengan tabel data harus dibuat dalam satu Sheet yang sama , karena  Conditional Formatting tidak dapat bekerja pada Sheet yang berbeda jika menggunakan fungsi vlookup reference).

• Langkah selanjutnya, pemformatan setiap Cell pada jadwal yang telah dibuat.

Untuk kondisi 1 (Pewarnaan untuk kondisi jadwal rangkap)

-       Pilih range cell D8:T8  – Klik Tab Home – Klik Conditional Formatting – klik  Highlight Cells -  klik duplicate values….

Maka  muncul kotak dialog  Duplicate values seperti berikut:

 Jika anda tidak menginginkan warna baku yang disediakan, anda bisa klik menu dropdown value with lalu klik custom format…, maka terbuka kotak dialog Format Cells:

 Saya memilih  Tab  Fill untuk mewarnai cells dengan warna merah lalu OK.

(pilih Tab Font jika anda mau memilih Hurufnya saja yang diwarnai ).

Selanjutnya periksa Cells D8 s.d. T8  yang sudah kita format  dengan duplikasi tadi.

Klik Conditional Formatting – klik  Manage Rules …  , maka tampak pada kotak dialog berikut :

Pemformatan untuk Duplikcate values diterapkan pada range D8:T8.  Klik Apply lalu OK.

Untuk kondisi 2 (Pewarnaan Cells untuk kondisi jumlah jampel kurang)

-       Format  Cell D8 dengan menggunakan formula (funggsi yang digunakan COUNTIF dan VLOOKUP)

-       Klik Conditional Formatting – klik  New Rule… , maka terbuka kotak dialog berikut:

-       Klik  Use a formula to determine which cells to format – pada kotak tab Format value where this formula is true ketikkan  rumus berikut:

=COUNTIF(D$8:D$59,D8)<VLOOKUP(D8,$AO$72:$BE$96,3,FALSE) , lalu

Klik button Format – klik warna sesuai selera anda lalu OK .

Penjelasan :

Fungsi COUNTIF : untuk menghitung konten cell D8 dalam range cells D8:D59

(Range D8:D59 berisi  38 Cell yang mewakili jumlah 38 jampel per minggu untuk kelas 7A)

Fungsi VLOOKUP : untuk mencari konten D8 dalam table array (AO72:BE96) yang merupakan jumlah jampel untuk kelas 7A mata pelajaran dengan kode pengajar yang berkorespondensi dengan konten pada cell D8.

3 adalah  nomor indeks kolom untuk alokasi jumlah jampel kelas 7A.

False : nilai range_lookup  agar fungsi VLOOKUP mencari secara tepat tanpa harus menyusun data tabel secara terurut.

Untuk kondisi 3 (Pewarnaan Cells untuk kondisi jumlah jampel berlebih)

Dengan langkah yang sama seperti untuk kondisi 2

-       Format  Cell D8 , klik cell D8

-       Klik Conditional Formatting – klik  New Rule… , maka terbuka kotak dialog berikut:

-       Klik  Use a formula to determine which cells to format – pada kotak tab Format value where this formula is true ketikkan rumus berikut:

=COUNTIF(D$8:D$59,D8)>VLOOKUP(D8,$AO$72:$BE$96,3,FALSE) , lalu

Klik button Format – klik warna sesuai selera anda lalu OK – OK.

 Formatting cell D8 dengan 3 kondisi selesai, untuk melihat pemformatan tadi

-       Klik Conditional Formatting – klik  Manage Rules …  , maka tampak pada kotak dialog berikut :

 Dalam kotak dialog ini anda dapat menghapus, mengedit formula, menata urutan kondisi formatting.

-       Langkah selanjutnya Formatting cell E8, F8, s.d. T8 (sesuai jumlah kolom pada jadwal yang anda buat).

Untuk pemformatan cell E8, F8, s.d. T8  tak perlu merumuskan seperti langkah diatas, kita gunakan Format Painter pada group Clipboard  sub tab Home.

Klik  cell D8 – klik Format Painter – klik cell E8.

Untuk melihat hasil pemformatan pada cell E8 ,

Klik cell E8 – klik  Conditional Formatting – klik  Manage Rules …  , maka tampak pada kotak dialog berikut :

Untuk melihat sepintas formula, gerakkan pointer mouse hingga di atas formula, untuk mengedit klik kondisi yang akan diedit – klik tab Edit Rule…

Dengan cara yang sama, format untuk cell F8, G8 , dst..

-       Langkah selanjutnya Formatting range cell D9:T9 (sesuai jumlah kolom pada jadwal yang anda buat)

Pilih  range cell D8:T8  – klik Format Painter – klik cell D9

Maka range cell D9:T9 telah terformat.

Periksa cell D9 : Klik cell D9 – klik  Conditional Formatting – klik  Manage Rules …  , maka tampak pada kotak dialog berikut :

 Tampak untuk Duplicate value perlu diedit, klik Duplicate value – tulis pada kotak Applies to :

=$D$9:$T$9.

Periksa lagi untuk cell E9 , dst.

 Ulangi langkah pemformatan untuk baris berikutnya hingga tuntas.

 Setelah semua cells sudah terformat dengan 3 kondisi tersebut, maka blanko jadwal siap  diisi dan perhatikan hasil pemformatannya .

 Berikut contoh 3 kondisi yang tampak, kondisi rangkap(merah), kurang jam (hijau), dan lebih jam (kuning).

 Apabila kondisi jadwal terlihat berwarna putih seperti warna background, maka kondisi jadwal telah benar.

 WARNING:

Setiap cell anda harus mengetikkan  satu persatu, jangan lakukan Copy- Paste untuk konten yang sama, karena setiap cell telah diformat dengan format tertentu sehingga akan mengubah formatting cell yang telah dibuat!!!.

• LANJUTAN :

-       Untuk memeriksa kelengkapan setiap mata pelajaran yang dientrykan serta jumlah jampelnya, anda dapat membuat daftar tabel pemeriksa di area lain pada  Sheet yang sama seperti tabel di bawah, atau pada Sheet yang lain (Hal ini lebih baik karena kita dapat menampilkan 2 Sheet secara bersamaan dalam satu layar).

Tampak  Kode mapel  IS  belum diisikan pada kelas 8A sejumlah 2 jampel.

-       Formula untuk Cell AQ104 :  =Countif(range kolom kelas 7A pada jadwal,criteria)

= Countif($D$8:$D$59,AO104)

            Formulakan untuk Cell AR104, dst , untuk baris selanjutnya anda bisa Copy-Paste.

Untuk  Kondisi jumlah jampel, prinsifnya membandingkan antara jumlah jam hasil perhitungan fungsi Countif dengan jumlah seharusnya yang ada pada Tabel data.

Fungsi IF yang saya gunakan untuk formulanya tampak pada Formula Bar .

=IF(BF104=BF72,”TEPAT”,IF(BF104<BF72,”KURANG”&” “& (BF72-BF104),”LEBIH”&” “&(BF104-BF72)))

-       Untuk memeriksa jumlah jam setiap pengajar per hari dalam satu minggu, anda dapat membuat tabel pemeriksa lagi, seperti berikut:

 Tampak Kode  BS pada hari jum’at tidak ada jam mengajar. Ini berguna untuk memeriksa  permintaan jam kosong mengajar.

Tampak pada formula bar Fungsi Countif(range cells hari senin pada jadwal,criteria).

 -       Untuk mencegah salah pengisian kode pengajar pada masing-masing kelas, anda dapat menggunakan Data Validation.

Klik cell D8 – Klik tab Data – Klik Data Validation – klik Data Validation … , maka tampak kota dialog berikut :

  Pada tab Allow: pilih list , lalu ketikkan pada tab Source: Kode nama pengajar yang mengajar di kelas 7A dan pisahkan dengan “,” (koma)

Tampak In-cell dropdown di ceklis berarti daftar kode pengajar pada cell D8 ditampilkan dalam menu dropdown.

Untuk peringatan salah entry data, anda dapat klik tab Error Alert seperti kotak dialog berikut:

Isi dengan teks yg diperlukan lalu OK.

  Hasil validasi data pada cell D8, jika klik cell D8 tampak pada sebagai berikut:

Icon small triangle pada cell D8 merupakan menu dropdown jika anda klik berisi daftar kode pengajar yang tadi dibuat.

 Jadi anda dapat mengkliknya tanpa harus mengetikan lagi.

          Icon small triangle tidak akan tercetak saat printing, jika settingan baku tidak dirubah.

 Jika anda mengetikkan kode nama pengajar selain yang terdaftar tadi, maka muncul peringatan kesalahan yang tadi telah dibuat. Ini kegunaannya data validasi sebagai pembatasan.

 Selanjutnya anda dapat melakukan validasi data yang sama untuk cell lainnya  jika anda mau !

Klik cell d8 – klik Data Validation – Data Validation …  , lalu OK.

Klik  atau pilih Cell lainnya lalu tekan F4 .

Selamat mencoba dan semoga bermanfaat.

Apapun profesi anda untuk kaum muslimin wal muslimat yang gemar membaca Al-qur’an, kini telah beredar Tafsir Qur’an per kata yang disusun oleh DR. Ahmad Hatta, MA. dan kawan-kawan yang di produksi oleh Maghfirah Pustaka. Cetakan pertama pada Juni tahun 2009. Penyusun Tafsir Qur’an ini seorang pakar ilmu Al-Qur’an, asli orang Indonesia alumni dari Universitas Islam Madinah dan Penyuntingnya Alumnus-alumnus dari Universitas Islam Riyadh Saudi Arabia. Jadi kompetensi mereka tidak diragukan lagi , mereka adalah para pakar pada bidangnya.

Berbeda dengan  Al-qur’an terjemah per kata, seperti halnya Syaamil Al-qur’an atau Al-Qur’an Departemen Agama, tafsir Qur’an ini didesain dengan ukuran sedang(14,5 x 21 cm) isi 1248 halaman, serta hard kaper yang elegan dengan berbagai pilihan warna, ada yang berwarna biru dengan kaligrafi kuning emas juga warna ungu dan warna lainnya. Tafsir dari setiap kata ditulis di bawahnya dilengkapi pula dengan asbabun nuzul dan terjemahan dalam bahasa Indonesia juga terdapat daftar tema pada halaman akhir. Dengan demikian Al-Qur’an ini dapat dikatakan paket Al-Qur’an terpadu “3 in 1″ , sehingga pembaca yang awam sekalipun (seperti saya sendiri) dapat mengetahui makna setiap kata, sebab-sebab turunnya ayat Qur’an dan terjemahnya.

Tafsir Al-Qur’an per Kata ini dijual dengan harga yang relatif murah dengan bandrol Rp. 125.000 / exp, bahkan untuk harga promosi hanya Rp. 65.000 /exp.

Jadi untuk yang berminat memiliki sebuah Tafsir Qur’an perkata  karya DR. Ahmad Hatta, MA. ini dapat menjadi pilihan anda, karena Al-Qur’an pedoman dan lentera hidup kita yang tidak ada keraguan di dalamnya.

Semoga bermanfaat.

1. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus dan Fauzan ditulis secara berurutan maka diperoleh suatu bilangan 4 digit yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian ditulis dengan cara yang sama maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang merupakan bilangan kudrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan merupakan bilanganbulat positif maka berapakah umur mereka saat ini ?

Jawab :

1.  Berdasarkan informasi soal umur Agus dan Fauzan merupakan puluhan, sehingga dapat ditulis:

Umur Agus = 10a + b , dan Umur  Fauzan = 10c + d , dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif. Ditulis secara berurutan merupakan bilangan kuadrat, maka dapat ditulis : (10a + b) 10² + 10c + d = (10p + q)² ……………(1),

dengan p dan q bilangan bulat positif dimana p ≥ 3 , dan q ≥ 2 ( fakta bahwa 32² = 1024 bilangan kuadrat yang terdiri dari 4 digit). Ok Selanjutnya, 23 tahun kemudian jika umur mereka ditulis secara berurutan diperoleh bilangan kuadrat sempurna, maka dapat ditulis; [(a + 2)10 + (b + 3)] 10² + (c + 2)10 + (d + 3) = (10r + s)² …………………(2) dengan r , dan s bilangan bulat positif, dimana r ≥ 3 , dan s ≥ 2 Selajutnya terka nilai d yang mungkin lalu periksa !

Dengan memperhatikan persamaan (1) dan (2) , maka nilai d yang mungkin hanya 1 dan q = 9, Sehingga persamaan (1) menjadi :

(10a + b) 10² + 10c + 1 = (10p + 9)² = p² 10² + 2 . 9 . p . 10 + 81

= p² 10² + 18 p . 10 + 81

= p² 10² + (18 p + 8). 10 + 1

Jika p = 3 maka diperoleh; (10a + b) 10² + 10c + 1 = 3² 10² + (18 . 3 + 8). 10 + 1

= 3² 10² + (62). 10 + 1

= (3² + 6)10² + 2. 10 + 1

= 15 . 10² + 2 . 10 + 1

Dengan memperhatikan ruas kiri = ruas kanan diperoleh nilai       a = 1 ,    b = 5 ,     c = 2 , dan    d = 1

Selanjutnya periksa dengan substitusi ke persamaa (2) , diperoleh

[(1+2).10 + (5 + 3)] 10² + ( 2 + 2) . 10 + (1 + 3) = ( 10r + s)²

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = r² 10² + 2rs. 10 + s² ……………..(3)

Dari persamaan (3) diperoleh nilai s² = 4 , maka s = 2 , sehingga persamaan menjadi

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = r² 10² + 4r. 10 + 4 diperoleh bahwa 4r = 4 maka r = 1 , tapi tak memenuhi syarat r ≥ 3 .

Selajutnya coba dan periksa nilai r , kita ketahui 6² = 36 , Untuk r = 6 , maka persamaan (3) menjadi:

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = 6² .10² + 4. 6 10 + 4.

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = 36 10² + 24. 10 + 4

= (36+2) 10²+ 4. 10 + 4

Tampak bahwa ruas kiri = ruas kanan, Dengan demikian 3844 merupakan bilangan kuadrat dari 62

Jadi, umur Agus dan Fauzan saat ini adalah 15 dan 21 tahun .

Tentu jika soal isian singkat , langsung periksa saja, apakah 3844 merupakan bilangan kuadrat?

2. Diketahui bilangan N mempunyai sifat berikut : 2 membagi N , 3 membagi N+1 , 4 membagi N+2, 5 membagi N+ 3, 6 membagi N+4 , 7 membagi N+5 , 8 membagi N+6 . Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat seperti itu adalah 2 . Tentukan bilangan bulat positif ke- 5 yang memenuhi sifat-sifat di atas !

Jawab :

Soal ini ekuivalen dengan soal sebagai berikut :

Carilah bilangan N , jika dibagi 2 bersisa 0 , dibagi 3 bersisa 2, dibagi 4 bersisa 2, dibagi 5 bersisa 2, dibagi 6 bersisa 2, dibagi 7 bersisa 2 , dan dibagi 8 juga bersisa 2.

Tentu bilangan N banyaknya tak hingga, bilangan terkecil N diketahui yaitu 2 . dengan demikian bilangan N dapat dinyatakan :

N = 2 + k x (KPK dari (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  )

Karena 6 adalah  KPK (2, 3) ,   dan 8  kelipatan dari   2 da 4 ,      maka N = 2 + k x KPK (2, 3 , 4, 5, 7 )

dan KPK ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 2 x 3 x 4 x 5 x 7 = 120 x 7 = 840

Dengan demikian N = 2 + k . 840 , dengan k adalah bilangan Cacah.

Untuk  k = 0 diperoleh bilangan N pertama yaitu N = 2 ,

Untuk k = 1  diperoleh bilangan N  ke-2 yaitu N = 2 + 2 x 840 = 2 + 1680 = 1682.

Untuk k = 4 diperoleh bilangan N ke-5 yaitu N = 2 + 4 x 840 = 2 + 3360 = 3362.

Jadi, bilangan ke-5 yang bersifat seperti itu adalah 3362.

Demikian pembahasan saya, semoga dapat dipahami !

 SMP TINGKAT  KAB/KOTA TAHUN 2011

MATEMATIKA

WAKTU 150 MENIT (2,5 JAM)

                Saya ucapkan terimakasih  kepada  Mas Imam Pujo, M.Pd., Pengawas Mapel Matematika SMP Kota Sukabumi, sebagai rekan sejawat  yang telah memberikan soal ini untuk saya bahas,  walaupun saya tidak ikut serta membimbing siswa dalam kegiatan seleksi tingkat kota. Pembahasan soal ini hanyalah sebagai bahan saya berlatih dan berbagi  khususnya untuk siswa SMP peserta OSN   dan penggemar matematika pada umumnya.

                Soal sebanyak 30 butir terdiri dari 20 Pilihan Ganda 5 options, dan 10 Isian Singkat. Yang dimaksud soal Isian Singkat yaitu jawaban pada lembar jawaban hanya hasil akhirnya saja, bukan berarti cara menjawabnya singkat walapun ada yang singkat.

                Tentu pembahasan yang legal  dan benar  dari Pembuat soal OSN, pembahasan ini menurut Penulis yang mungkin saja terdapat kekeliruan walau demikian penulis berusaha menyajikan sejelas mungkin sebatas pengetahuan yang penulis miliki.

                Untuk menghemat waktu dan menghindari kesalahan ketik ulang, soal ini telah penulis Scan.

Sedikit tips  untuk peserta OSN,  dalam menjawab soal  sebaiknya terlebih dahulu bacalah petunjuk di bagian awal lembar soal, alokasikan waktu untuk menjawab soal PG dan uraian, bacalah dengan cermat semua soal  hingga anda memahami soal. Dari hasil identifikasi soal tersebut anda dapat menentukan prioritas soal nomor berapa  yang bisa segera dikerjakan dan ditangguhkan dan tentukan strategi yang tepat dalam menjawab soal !

Selamat  menyimak dan semoga bermanfaat !

1 .         KPK  dari (8! , 9!, 10! ) = 10!

10! = 10 x 9 x 8!

             C .        73/10!   mudah

2.          Karena bilangan yang dibentuk  genap, maka angka satuan dari bilangan tersebut yang mungkin adalah

2 atau 6.  Sehingga bilangan terbesar adalah 96.512 , dan bilangan terkecil  12.596

Selisihnya  96.512 – 12.596 = 83.916                            E

 Lihat pembahasan

3.          Sisa air dalam tabung = volum tabung – 3 volum bola pejal (dengan r = 3 cm)

 4.            Soal ini menuntut kemampuan peserta OSN  dalam memahami beberapa pernyataan dan membuat kesimpulan.

Diketahui : Terdapat  50 ekor kelinci.

• 25 ekor kelinci  jantan , maka  25 ekor  kelinci betina
• 25 ekor  dilatih menghindari jebakan, 10 ekor diantaranya jantan. Dari pernyataan ini diperoleh simpulan terdapat 15 ekor kelinci betina dilatih menghindari jebakan, dan  15 ekor kelinci jantan dan 10 ekor kelinci betina tidak dilatih menghindari jebakan.
• 20 ekor (dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan. Dari pernyataan ini, maka terdapat 16 ekor kelinci betina yang dapat berhasil menghindari jebakan.
• 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor diantaranya jantan. Dari penyataan ini, maka terdapat 12 ekor betina  yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan dan sejumlah 10 ekor kelinci yang dilatih tidak dapat menghindari jebakan terdiri dari 7 ekor jantan dan 3 betina.

Dari pernyataan ke-3 dan ke-4 diperoleh simpulan  16 – 12 = 4 ekor kelinci betina dapat menghindari jebakan  tanpa dilatih.

Jadi, banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih dan tidak dapat menghindari jebakan adalah

10 – 4 = 6 ekor .           B

Lihat pembahasan

5.

               Karena merupakan  bilangan bulat,  maka  dapat ditulis :

 Untuk setiap nilai  k diperoleh satu nilai  x yang merupakan bulat, maka banyaknya bilangan bulat  x    yang memenuhi sama dengan banyaknya bilangan bulat  k  yaitu  6    D

 6.          Ubahlah  bilangan berpangkat tersebut  sehingga berpangkat sama !

2⁴⁴⁴⁴ = (2⁴)¹¹¹¹      , 3³³³³ = (3³)¹¹¹¹                  dan        4²²²² = (4²)¹¹¹¹

2⁴ = 16 ,  3³=27  , dan  4² = 16   diketahui  fakta bahwa  16 < 27 ,maka urutan bilangan dari yang terkecil

Sampai yang terbesar adalah

2⁴⁴⁴⁴ , 4²²²²  ,  3³³³³              A

Lihat pembahasan

7.       Menjawab soal seperti ini  buatlah  5 petak yang mana setiap petak mewakili dua kursi kemudian isi

  dengan   banyaknya cara yang mungkin dapat diduduki .

Petak ke-1  kemungkinan dapat diduduki oleh 5 pasutri, petak ke-2  kemungkinan dapat diduduki oleh 4   pasutri , dan seterusnya  .. terakhir  oleh 1 pasutri.          

 Ini menyatakan  banyaknya cara duduk  5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120

Perhitungan belum tuntas , karena setiap pasang suami istri dapat menempati 2 posisi, diketahui ada 5 pasang sehingga banyaknya cara duduk yang mungkin agar pasutri berdampingan adalah

120 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 120 x 32 = 3840                      C

 Secara umum jika terdapat n pasang , tersedia  2n tempat duduk, maka banyaknya cara duduk berdampingan adalah  n! x 2ⁿ .

Dalam menjawab soal seperti ini , selain kaidah operasi  hitung ,logika berpikir  kita sangat dominan berperan, jadi  tak perlu memaksakan menghapal  rumus-rumus !

Dengan strategi mulai dari jumlah yang sedikit , kita bisa menghitung lalu merumuskan secara umum.

8.      Diketahui  15 telur , 5 telur rusak maka 10 telur baik.

Ditanyakan berapa peluang diperoleh telur rusak ke-3  pada pengetesan ke-5?

Jawab :

Tentu, jelas telur yang diperiksa / dites  tidak dikembalikan lagi.

Dari pertanyaan  telur yang diambil sebanyak 5 butir.

Tentukan semua kemungkinan yang terjadi dalam pengetesan 5 butir tersebut .

Kemungkinan pengetesan ke-1 diperoleh telur Baik, ke-2  Baik, ke-3 Rusak, ke-4 Rusak, dan ke-5 Rusak  dan kita tulis        {BBRRR} kemungkinan kejadian yang lain :

{BRBRR} atau {BRRBR} atau {RBRBR} atau {RRBBR} atau {RBBRR}. Terdapat 6 kejadian yang mungkin.

 Karena tanpa pengembalian, maka Peluang setiap kejadian sama, dan 6 kejadian tersebut saling lepas. jadi  Peluang yang dimaksud adalah

P(BBRRR) + P(BRBRR) + P(BRRBR) + P(RBRBR) + P(RRBBR) + P(RBBRR) =

Lihat pembahasan

9.            Buatlah sketsa gambar Limas T.ABCD !

Limas T.ABCD beraturan, maka panjang AB = BC = CD = AD = 2 cm , begitu juga panjang TA =  TD =TB = TC = 4 cm .   ABCD adalah persegi, maka segitiga DAB siku-siku sama kaki.

 Segmen garis BE tegaklurus rusuk tegak TD ,selanjutnya kita hitung  panjang BE .

Perhatikan  segitiga TBD (yang merupakan bidang diagonal limas T.ABCD)

 Segitiga TBD samakaki, buat garis TF tegal lurus BD, maka DF = BF

Segitiga  TFD siku-siku di F, maka berdasarkan teorema Pythagoras

               Selajutnya  panjang BE dapat dihitung melalui kesamaan luas segitiga TBD

Luas segitiga TBD = 1/2 x TD x BE = 1/2 x BD x TF

TD x BE = BD x TF

BE = ( BD x TF ) / TD

`

10.    Untuk menghitung luas daerah yang diarsir yang terdiri dari 4 bagian daerah  yang kongruen, kita dapat

 menghitungnya  1 bagian saja kemudian  kalikan dengan 4.

Titik A, B, C, dan D  adalah pusat-pusat lingkaran dengan panjang jari-jari  r .

 Keliling  lingkaran = 62,4 cm

                  2 x 3,14 x r   = 62,4

6,28  x   r  = 62,4

r  = 10 cm

Luas  1 bagian daerah yang diarsir = luas persegi ABCD – Luas daerah 1 lingkaran

=  2r x 2r – 3,14 x r x r

= 20 x 20 – 3,14 x 10 x 10

= 400 – 314 = 86

Jadi, luas derah yang diarsir = 4 x 86 = 344 cm²                   A

Lihat pembahasan

11.          Diketahui keterlambatan sebuah jam dinding  5 menit setiap jamnya, maka keterlambatan 60 menit=

1jam setiap 12 jam. Jika pada pk. 12.00  menunjukkan waktu yang tepat, maka selama 12 jam kedepan waktu menunjukkan pk. 11.00 (keterlambatan 1jam) . Dengan demikian  jam dinding akan menunjukkan waktu yang tepat (pada pk.12.00 kembali) setelah  12 jam x 12 = 144 jam   E

12.          Jumlah bola  18 , terdiri dari  5 bola hitam, 6 bola putih, dan 7 bola hijau. Diambil 2 bola secara acak.

Kejadian yang mungkin  terambilnya 2 bola berwarna sama adalah

A : Terambilnya bola pertama hitam dan bola kedua hitam, maka P(A) = 5/18  x  4/17 = 10/153

B :  Terambilnya bola pertama putih dan bola kedua putih, maka P(B) = 6/18  x  5/17 = 15/153

C :  Terambilnya bola pertama hijau dan bola kedua putih, maka P(C) = 7/18  x  6/17 = 21/153

Karena kejadian  A, B, dan C  adalah kejadian yang saling lepas (tidak terjadi pada saat bersamaan)maka, peluang  terambilnya 2 bola berwarna sama          = P(A) + P(B) + P(C)

= 10/153 + 15/153 + 21/153 = 46/153        A

Lihat pembahasan

13.    Menjawab soal lingkaran,  langkah awal  buatlah sketsa  gambar lengkapi dengan ukuran panjangnya,

kemudian temukan letak titik pusat lingkaran dengan mengkonstruksi garis diagonal AC dan BD  seperti berikut:

 Titik O adalah titik potong diagonal AC dan BD, sehingga AO = BO = CO = DO = 1/2 AC

Karena  besar sudut ADC  siku-siku, maka O pusat lingkaran luar persegi ABCD

Dengan pengurangan luas daerah diperoleh ;

Luas daerah yang diarsir = 4 x luas 1/2 lingkaran pusat  P – (luas tembereng AB +CD +AD)

= 2 x luas lingkaran pusat P – (luas lingkaran pusat O – luas persegi ABCD)

= 2 x luas lingkaran pusat P – luas lingkaran pusat O + luas persegi ABCD

Review :

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas Persegi ABCD.

Lihat pembahasan

14.   2^2x + 2^-2x = 2

(2^x)² + (2^-x)² = 2

(2^x  – 2^-x )² – 2. 2^x. 2^-x = 2

 (2^x  – 2^-x )² – 2. 2⁰ = 2

(2^x  – 2^-x )² – 2 = 2

(2^x  – 2^-x )² = 4

15.          Misalkan banyaknya guru  adalah  m orang  , dan  banyaknya profesor  adalah  n orang, maka

                 40 m – 35 m = 50 n – 40 n

5 m         = 10 n

m : n      = 10 : 5 = 2 : 1                     A

16.        Buatlah sketsa gambarnya sesuai informasi soal

     Diketahui  panjang AC = 25 cm, luas jajargenjang ABCD = 125, maka

AC  x DP = luas jajargenjang ABCD

25 x DP = 125 , maka panjang DP = 5 cm

Perhatikan segitiga APD siku-siku di  P , maka panjang  AP = 12 cm ( Ingat tripel Pythagoras)

Segitiga  APD kongruen dengan segitiga CQB (s-sd-sd) , maka panjang  AP = CQ, sehingga

2 x Panjang AP + panjang PQ = panjang AC

2 x 12  + panjang PQ = 25

Panjang PQ = 25 – 24 = 1 cm                          B

17.      Soal ini tentang penggunaan persamaan bentuk aljabar   (a + b)² = a² + 2ab + b²

Ubahlah  bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk  kuadrat jumlah atau kuadrat selisih !

Untuk menghemat tempat, saya  uraikansecara terpisah

Lihat pembahasan :

18.      Diketahui :  1! = 1  , 2! = 2 x 1 = 2 ,  3! = 3 x 2 x 1 = 6,  4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24,   dan  5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120

Perhatikan  angka satuan dari bilangan  n! , untuk  n ≥ 5  adalah 0 , jadi untuk mengetahui angka satuan dari

1!  + 2!  + 3!  + 4! + … + 2011!   Cukup kita hitung  jumlah dari 1!  + 2!  + 3! + 4!

1!  + 2!  + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 .

Jadi,    1!  + 2!  + 3!  + 4! + … + 2011!   Adalah  suatu bilangan dengan angka satuan  3              A

19.      Cara menjawab soal ini , identik dengan soal no. 7 , perbedaannya  pada soal ini tempat duduk lebih 1 dari jumlah orang  yang menduduki.

Karena  2 orang yang bisa nyetir, maka tempat  duduk sopir kemungkinannya hanya dapat ditempati oleh 2 orang. Selanjutnya  hitung banyaknya cara tersisa  5 tempat duduk kosong yang dapat diisi oleh 4 orang.

Persoalan ini merupakan permutasi 4 tempat duduk terisi dari 5 tempat duduk kosong.  5 P 4 .

Jadi, banyaknya  cara duduk yang mungkin  adalah

20.      Buatlah sketsa gambarnya !

 Persegi   ABCD adalah  bingkai foto asal dengan panjang  AB = BC = CD= AD = 1 cm, sedangkan  persegi A’B’C’D’  hasil rotasi sebesar 45^o dengan pusat P .

Prinsip Rotasi (pemutaran)  suatu bidang tidak mengubah luas dan ukuran panjang sisi-sisinya.

Sehingga  panjang  A’B’ = panjang AB = 1 cm

Perhatikan  segitiga EA’F , FBG , GB’H  adalah segitiga-segitiga  siku-siku samakaki yang kongruen, maka

Panjang  EA’ = A’F = FB = BG = GB’ = B’H

Jika  panjang  A’F = a , maka  panjang

 Sedangkan  panjang  A’F + FG + GB’ = panjang  A’B’

 Luas  segitiga  FBG = 1/2 x FB x BG

 Luas  irisan  antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar = luas persegi ABCD – 4 x luas segitiga FBG

 ISIAN  SINGKAT

Lihat pembahasan :

1.     Diketahui  :  terdapat  5 permen (identik),  1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 2 rasa jahe.

Peluang terambilnya  1 permen rasa  jahe = 2/5 , maka

Peluang  Anto mendapat  1 permen rasa jahe  adalah  2/5 .

2.        Gunakan sifat Distributif   untuk memudahkan perkalian tersebut !

999.999.999 x 12.345.679 = (1.000.000.000 – 1) x 12.345.679

= 12.345.679.000.000.000 – 12.345.679

= 12.345.678.987.654.321

Jumlah angka-angkanya    = 2 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8  ) + 9

= 2 x 1/2 x 8 ( 1 + 8 )  + 9

= 8 x 9  +  9

= 81

(Anda  dapat mempelajari  trik-trik metode Menghitung Cepat  Bill Handley , termasuk pengurangan bilangan berakhiran 0 di atas, menurut saya metode Bill lebih mudah dicerna penyajiannya dibanding Trachtenberg, walaupun inspirasinya dari Trachtenberg, selain adanya bukti  teori bilangan yang digunakan)

Lihat pembahasan :

3.        Lengkapi gambar pada soal untuk memperoleh informasi  lebih lengkap !

Perhatikan  Segiempat BFDE adalah  layang-layang, maka segitiga BFD  kongruen dengan segitiga BED (sss).

Sedangkan luas segitiga BFD = luas segitiga BAD, (karena panjang AF = FD), sehingga

Luas layang-layang BFDE = luas segitiga siku-siku BAD = luas segitiga siku-siku ABC.

Dengan demikian , luas daerah EDFGH = luas segitiga ABC – luas segitiga BGH .

 Selanjutnya  hitung luas segitiga BGH,  hitung panjang GH (sepintas GH = 1/3 AC, tetapi kita buktikan)

Perhatikan segitiga BGI dan segitiga  BFJ (sd-sd)  sebangun, akibatnya :

luas daerah EDFGH             = luas segitiga ABC – luas segitiga BGH

                                                        = 1/2 x AC x BI –  1/2 x GH x BI

                                                        = 1/2 x AC x BI – 1/2 x 1/3 x AC x BI

= 1/2 x 2/3 x AC x BI

4.        Faktorkan bentuk selisih dua kuadrat tersebut !

1²  – 2² + 3² – 4² + 5² – … – 2010² + 2011² = J

J = 1 + (2 + 3)(-2 + 3)+(4 + 5)(-4 + 5)+ (6 + 7)(-6 + 7)+… + (2010 + 2011)(-2010 + 2011)

J = 1 + 5  + 9  + 13 + … + 4021

Jumlah bilangan-bilangan ini membentuk deret aritmetika dengan suku pertama 1 dan beda 4, selanjutnya hitung  banyaknya suku bilangan deret tersebut, jika  n  banyaknya suku-suku deret bilangan tersebut, maka

Un = 4n – 3

4021 = 4n – 3

4n  = 4021 + 3

4n  = 4024

n = 4024/4 = 1006

Sehingga   J = 1/2 x 1006 x ( 1 + 4021)

J = 1006 x 2011

J = (1000 + 6 ) x 2011

J = 2.011.000 + 12.066

J = 2.023.066

Jadi,  1²  – 2² + 3² – 4² + 5² – … – 2010² + 2011² = 2.023.066

Lihat pembahasan :

5.        Jika  barisan  x₁ , x₂ , x₃ , …, x_n  yang memenuhi  x₁ + x₂ + x₃ + …+ x_n  = n³ ,  untuk semua n bilangan asli,

maka  berapakah  x₁₀₀ ?

Jawab :

x₁ = 1³

x₂ = 2³ – x₁= 2³ – 1³

x₃ = 3³ – x₂ – x₁ = 3³ – (2³ – 1³) – 1³ = 3³ – 2³

.                                                                      .       .

.                                                                      .       .

.                                                                      .       .

x_n =                                                            n³ – (n-1)³

Jadi,  x₁₀₀ = 100³ – (100 – 1)³

= 100³ – (100³ – 3 . 100² + 3 . 100 – 1³)

= 3 . 100² – 3 . 100 + 1

= 30.000 – 300 + 1

= 29.701

6.        Semua pasangan bilangan bulat (a, b)  yang memenuhi  2^a  = b² – 1 adalah …

Jawab :

Sedikit  analisa terlebih dahulu !

b² = 2^a + 1  ,  maka b² adalah bilangan kuadrat bersifat ganjil  dan karena (a, b) bilangan bulat , maka

haruslah a bilangan bulat positif, jadi a>0.

Selanjutnya  kita ketahui bahwa ;  2^a untuk a bilangan bulat positif merupakan bilangan genap dengan angka satuan 2, 4, 6, atau 8 , sedangkan  bilangan kuadrat ganjil antara lain 1 , 9, 25 , 49, dan 81 , tapi yang perlu kita coba dan periksa  bilangan kuadrat  dengan angka satuan  9 dan 5 , yaitu  9 , 25 , dan 49.

(karena 4+1 = 5, 8 + 1 = 9  lihat angka satuan dari 2^a )

Untuk  b² = 9 , maka  b = -3 atau b = 3,

dan  2^a + 1 = 9 diperoleh  2^a = 8 atau  a = 3 , sehingga pasangan (a, b) adalah (3, -3) dan (3, 3)

Untuk  b² = 25 , maka  b = -5 atau b = 5,

dan  2^a + 1 = 25 diperoleh  2^a = 24  maka tak ada bilangan bulat a  yang memenuhi

Untuk  b² = 49 , maka  b = -7 atau b = 7,

dan  2^a + 1 = 49 diperoleh  2^a = 48, maka tak ada bilangan bulat a  yang memenuhi.

Dengan demikian proses coba dan periksa tuntas,

Jadi,  Semua pasangan bilangan bulat (a, b)  yang memenuhi  2^a  = b² – 1 adalah (3, -3) dan (3, 3).

Lihat pemabahasan :

7.        Diketahui  banyaknya warna  angka 2 ada 5 warna,  sedangkan angka 0, dan 1 sebanyak 4 warna.

Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi perwarnaan tidak ada angka bersebelahan sewarna ?

Jawab :

Strateginya  kita hitung banyaknya semua  komposisi pewarnaan yang mungkin (tanpa syarat apapun), lalu kurangi  banyaknya  semua komposisi perwarnaan dengan sedikitnya sepasang angka yang bersebelahan berwarna sama.

Banyaknya semua komposisi warna  yang mungkin pada bilangan 2011 sebanyak = 5 x 4 x 4 x 4 = 320

1.   Banyaknya komposisi semua angka berwarna sama  sebanyak  4

2.    Banyaknya komposisi dengan angka 2, 0, 1 berwarna sama , tetapi angka terakhir 1 berbeda warna

Maksudnya  3 angka pertama berwarna sama.  (Ada  4 kemungkinan warna untuk 3 angka pertama, dan           ada 3 warna yang mungkin berbeda dengan warna pada 3 digit pertama)

Jai, banyaknya  ada  4 x 3 = 12.

Untuk menghitung banyaknya anda dapat menggambar diagram garis seperti berikut :

3.    Banyaknya  komposisi dengan angka  2 , 0 berwarna sama, tetapi  angka 1 , 1 berbeda

Ada   4 x 3 x 3 = 36.

4.    Banyaknya  komposisi dengan angka  0 1 berwarna sama, tetapi  angka 2 , 1 berbeda

        Ada   4 x 4 x 3 = 48.

5.    Banyaknya  komposisi dengan angka  1 , 1  berwarna sama, tetapi  angka 2 , 0 berbeda

        Ada   4 x 3 x 4 = 48.

6.    Banyaknya  komposisi dengan angka  2 berbeda ,tetapi  angka 0, 1 , 1 sama

        Ada   1 x 4 = 4.  ( satu warna yaitu  nila untuk angka 2 )

Jumlah  komposisi dengan sedikitnya dua angka bersebelahan berwarna sama sebanyak

4 + 12 + 36 + 48 + 48 + 4 = 152.

Jadi,   Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi perwarnaan tidak ada angka bersebelahan sewarna

Sebanyak  320 – 152 = 168 .

8.      Diketahui  terdapat 500 kelereng yang sama yang terdiri dari 5 warna, masing-masing kelerang sewarna

sebanyak 100.  Berapa minimum banyaknya kelereng yang diambil agar memuat sedikitnya  5 kelereng berwarna sama?

Jawab :

Simak dengan cermat pertanyaanya !!

Jika kita ambil sebanyak 20 butir kelereng, maka mungkin terdapat sebanyak 4 butir kelereng dari masing-masing warna.

Jika kita ambil sebanyak 21 kelereng, maka dijamin paling sedikit terdapat 5 butir kelereng dengan warna yang sama (sewarna).

Jadi,  sebanyak  21 kelereng minimum yang harus diambil secara acak, agar dijamin diperoleh sedikitnya 5 butir kelereng dengan warna yang sama.

9.        Jika  (3 + 4)(3² + 4²) (3⁴ + 4⁴) (3⁸ + 4⁸) (3¹⁶ + 4¹⁶) (3³² + 4³²) = (4^x – 3^y) , maka  x – y = …?

Jawab :

Cara  Induktif :  Coba dan periksa

Menjawab soal seperti ini , ambil  sampel  sederhana (3 + 4)(3² + 4²)

(3 + 4)(3² + 4²) = 7 x 25 = 175 = 256 – 81 = (4⁴ – 3⁴)

Diperoleh  nilai x = 4 , dan y = 4 ,  sehingga   x – y = 0 .

Dengan kata lain  x dan y  bernilai sama.

Hal ini berlaku sama untuk soal tersebut nilai x = y = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) + 1 = 64

Cara  deduktif:

Ingat  pemfaktoran bentuk  perpangkatan suku dua !

Kita ambil  selisih pangkat 4 dari a dan b  .

a⁴ – b⁴   =  (a – b)(a³ + ab² + a²b + b³)

=  (a – b) (a + b)(a² + b² )

Untuk  a = 4 dan b = 3 , maka

4⁴ – 3⁴   = ( 4 – 3)(4 + 3)( 4² + 3²)

=  1 (4 + 3)( 4² + 3²)

=  (4 + 3)( 4² + 3²)

Tampak bahwa pangkatnya sama.

Di tingkat SMA  ini materi  pembagian istimewa atau Dalil sisa

Secara umum :

10.      Diketahui :  Himpunan H = { x , y , z } , dengan  x , y, z, bilangan bulat tidak negatif dan berbeda.

(x + y + z)/3 = 15, Tentukan  banyaknya semua himpunan H !

Jawab :

Dari  informasi soal bahwa  x , y, z  ≥ 0 , dan merupakan bilangan bulat berbeda.

(x + y + z)/3 = 15 ,  maka  x + y + z = 45 .

Dengan demikian  kita harus mencari  pasangan  bilangan x, y, z sehingga berjumlah 45.

Mulailah dari  yang terkecil  jika  x = 0 , maka  y = 1 , z = 44  maka pasangan berurutannya (0, 1, 44)

Pasangan bilangan yang lain adalah (0, 2, 43), (0, 3, 42), (0, 4, 41), (0, 5, 40), (0, 6, 39), (0, 7, 38),

(0, 8, 37), (0, 9, 36), (0, 10, 35), (0, 11, 34), (0, 12, 33), (0, 13, 32), (0, 14, 31), (0, 15, 30), (0, 16, 29),

(0, 17, 28), (0, 18, 27), (0, 19, 26), (0, 20, 25), (0, 21, 24), (0, 22, 23). Ada  22 pasangan bilangan.

Selanjutnya kita rumuskan  banyaknya pasangan bilangan tersebut .

Sebelumnya  didefinisikan notasi berikut :

 Jadi, itu notasi  perhitungan dengan pembulatan ke atas ( fungsi  ROUNDUP  dalam MS Excell)

perhatikan pasangan   (0, 1, 44) . Nilai  x = 0 , y = 1 , z = 44 ,

 Dengan demikian pasangan bilangan dengan x = 0 ,  sebanyak  22 pasang.

Selanjutnya :

Untuk  x = 1, salah satu sampel  (1, 2, 42)  terdapat  sebanyak

Untuk  x = 2 , salah satu sampel  (2, 3, 40)  terdapat  sebanyak  19 pasangan.

Untuk  x = 3 , salah satu sampel  (3, 4, 38)  terdapat  sebanyak  17 pasangan

Untuk  x = 4 , salah satu sampel  (4, 5, 36)  terdapat  sebanyak  16 pasangan

Untuk  x = 5 , salah satu sampel  (5, 6, 34)  terdapat  sebanyak  14 pasangan

Untuk  x = 6 , salah satu sampel  (6, 7, 32)  terdapat  sebanyak  13 pasangan

Untuk  x = 7 , salah satu sampel  (7, 8, 30)  terdapat  sebanyak  11 pasangan

Untuk  x = 8 , salah satu sampel  (8, 9, 28)  terdapat  sebanyak  10 pasangan

Untuk  x = 9 , salah satu sampel  (9, 10, 26)  terdapat  sebanyak  8 pasangan

Untuk  x = 10 , salah satu sampel  (10, 11, 24)  terdapat  sebanyak  7 pasangan

Untuk  x = 11 , salah satu sampel  (11, 12, 22)  terdapat  sebanyak  5 pasangan

Untuk  x = 12 , salah satu sampel  (12, 13, 20)  terdapat  sebanyak  4 pasangan

Untuk  x = 13 , salah satu sampel  (13, 14, 18)  terdapat  sebanyak  2 pasangan

Untuk  x = 14 ,  hanya 1 pasangan bilangan yaitu  (14, 15, 16) .

Jadi, banyaknya  himpunan H sebanyak

1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 + 16 + 17 + 19 + 20 + 22 = 169

REVIEW (melihat kembali )

Soal ini sama dengan , menentukan  banyaknya himpunan penyelesaian dari  persamaan ;

x + y + z = 45, dengan  x , y , dan z  bilangan bulat  tidak negatif , dan x, y, atau z , tidak sama.

Tentu, jika semesta pembicaraannya  hanya bilangan  bulat non negatif saja, lebih banyak lagi banyaknya himpunan penyelesaiannya, apalagi  jika semesta pembicaraannya bilangan bulat akan lebih banyak lagi banyaknya  himpunan penyelesaiannya.

 Alhamdulillah 30 soal sudah dibahas semoga bermanfaat, dan mohon kritik bila terdapat kekeliruan !