DR-Math's

I don't known how long… this page exists

RUMUS REKURSIF

RUMUS  REKURSIF

Rumus Rekursif (berulang) adalah suatu rumus yang menyatakan nilai berikutnya diperoleh dengan memuat nilai sebelumnya secara berulang-ulang.  Rumus yang bersifat iterasi atau adanya pengulangan atau re’currence (berulang kembali, kurang lebih seperti itu menurut saya).

Soal-soal yang bersifat rekursif sering ditemukan misalnya pada barisan bilangan;
Barisan bilangan segitiga. Tentukan suku ke- 20 dari barisan bilangan; 1, 3, 6, 10, …
Barisan Fibonacce; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (re’currence series)

Contoh Soal OSN Matematika SMP tahun 2007 seleksi Tingkat kota yang termasuk fungsi Rekursif.

Jika   f  suatu fungsi dari himpunan bilangan Asli ke himpunan bilangan Asli yang memenuhi
f (x) + f (x+1) = 2 x2  , dan      f (31) = 99 , maka  f (99) = …. ?

Penyelesian :
f (x+1) = 2 x2  – f (x)
f (32) = 2. 312  – f (31)
f (33) = 2. 322f (32)
f (34) = 2. 332f (33)
f (35) = 2. 342  – f (34)= 2. 342 – 2. 332 + 2. 322 – 2. 312 + f (31)
.
.
.
Berdasarkan pola  f (35)  maka diperoleh:
f (99) = 2. 982  – f (98)
f (99) = 2. 982 – 2. 972 + 2. 962 – 2. 952 + 2. 942 – 2. 932 + … + 2. 322 – 2. 312 + f (31)
f (99) = 2 { 982 – 972 + 962 – 952 +  942 – 932 + … + 322 – 312 } + 99
f (99) = 2 { (982 – 972) +(962 – 952) +(942 – 932)+ … + (322 – 312) } + 99

Perhatikan  ini bentuk  selisih dua kuadrat  x2 – y2 = (x + y)(x – y), maka dapat kita tulis:

f (99) = 2 { (98 +  97)(98 – 97) + (96 + 95)(96 – 95) +(94 + 93)(94 – 93)+ … + (32 + 31)(32 – 31) } + 99
f (99) = 2 { 195 + 191 + 187 + … + 63 } + 99.
Perhatikan Deret bilangan:  195 + 191 + 187 + … + 63.  Merupakan Deret Aritmetika,
Dengan suku pertama  a = 195   dan   beda    b =  – 4 .
Sekarang kita hitung ada berapa  banyak  suku deret hitung itu, jika  n  adalah banyaknya suku, maka
Un = a + ( n – 1 ) x b
63 = 195 + ( n – 1) x (-4)
4n = 195 + 4 – 63
4n = 136
n = 34,   maka
(195 + 191 + 187 +… + 67 + 63) = S34 = 1/2  x 34 (195 + 63)
Jadi,
f (99) = 2 x 1/2  x 34 (195 + 63) + 99
f (99) = 34 x 258  + 99
f (99) = 8772  + 99
f (99) = 8871

Contoh 2.

Jika  f (1) = 2000,  f (x+1) + 12 = f (x), maka  f (100) = …. ?

Penyelesaian:

f (x+1) = f (x) – 12

Untuk  x = 1 , maka  f (1+1)= f (2) = f (1) – 12

Untuk  x = 2 , maka  f (3) = f (2) – 12 = f (1) – 12 – 12 = f (1) – 2 x 12

Untuk  x = 3 , maka  f (4) = f (3) – 12 = f (1) – 2 x12 – 12 = f (1) – 3 x 12

Dengan memperhatikan pola bilangannya, maka

Untuk  x = 99, maka  diperoleh     f (100) = f (1) – 99 x 12

= 2000 – (100 – 1) x 12

= 2000 – 1200 + 12

= 812

Soal  seperti ini menuntut kemampuan memahami fungsi, nilai fungsi, pola rumus suku ke-n  dan  jumlah n suku suatu deret Aritmetika  dan  pemfaktoran bentuk aljabar.

Semoga dapat dipahami dan  menambah wawasan anda tentang rumus Rekursif..

Iklan

27 Februari 2010 - Posted by | BAHAS SOAL | ,

2 Komentar »

  1. perkalian 34 x 258 hasilnya keliru ._. yang benar 8772.

    Komentar oleh AP | 30 Maret 2017 | Balas

    • Ya.., Makasih koreksinya berarti Anda kritis. Itu salah ketik ketika sy edit bbrp bln yl.

      Komentar oleh deni11math | 2 April 2017 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: