DR-Page

Hanyalah Setetes Air di Laut Samudera yg Dalam

RUMUS REKURSIF

RUMUS  REKURSIF

Rumus Rekursif (berulang) adalah suatu rumus yang menyatakan nilai berikutnya diperoleh dengan memuat nilai sebelumnya secara berulang-ulang.  Rumus yang bersifat adanya pengulangan (Iteration) atau re’currence (berulang kembali, kurang lebih seperti itu menurut saya).

Soal-soal yang bersifat rekursif sering ditemukan misalnya pada barisan bilangan;
Barisan bilangan segitiga. Tentukan suku ke- 20 dari barisan bilangan; 1, 3, 6, 10, …
Barisan bilangan Fibonacce; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … (re’currence series).

Pada barisan bilangan Fibonacci, bilangan  setelah suku ke-2, merupakan jumlah dari dua bilangan suku sebelumnya.  Jika  f (n)  menyatakan  suku ke-n , dengan n >2,  dan   f (1)= 1 ,  f (2)= 1 ,    maka             f (n) = f (n – 2) + f (n – 1).

Tampak bahwa:

Suku ke-3  adalah  f (3) = f (1) + f (2) = 1 + 1 = 2

Suku ke-4  adalah  f (4) = f (2) + f (3) = 1 + 2 = 3

Suku ke-5  adalah  f (5) = f (3) + f (4) = 2 + 3 = 5

Suku ke-6  adalah  f (6) = f (4) + f (5) = 3 + 5 = 8

Suku ke-7  adalah  f (7) = f (5) + f (6) = 5 + 8 = 13, dst.

Tahukah Anda dalam menyelesaikan permasalahan kasus apa, sehingga  Fibonacci terkenal dengan barisan bilangannya? Jurusan Biologi kemungkinan banyak yang tahulah dan sangat memahami.

Ya, dalam masalah perkembangbiakan mahluk hidup, yang dillustrasikan dengan sepasang kelinci jantan dan betina yang diasumsikan kelinci betina selalu dapat melahirkan anak. Berapa banyak pasangan kelinci yang beranak pinak selama satu tahun, jika diawali dari sepasang kelinci (jantan dan betina) dan kelinci tersebut tumbuh jadi dewasa bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan, sehingga setiap bulan kedua, masing-masing kelinci betina selalu melahirkan sepasang kelinci baru ? Maksudnya ada berapa pasang atau berapa ekor jumlah kelinci setelah 1 tahun? Dihitung saja, berapa ya ?!

Pandang barisan bilangan Fibonacci tersebut: Bulan ke-1 : awal ada 1 pasang kelinci, bulan ke-2 masih 1 pasang-baru kawin (bilangan ke-2), bulan ke-3  melahirkan 1 pasang sehingga ada 2 pasang (bilangan ke-3), bulan ke-4 kelinci pertama melahirkan lagi 1 pasang sehingga terdapat 3 pasang kelinci (bilangan ke-3), bulan ke-5 terdapat 5 pasangan kelinci bertambanh 2 pasang dari kelinci awal melahirkan 1 pasang dan dari sepasang kelinci keturunan pertama tadi melahirkan  1 pasang kelinci sehingga bertambah menjadi 5 pasang, dst.

Jadi, masalah tersebut, sama dengan menentukan bilangan pada suku ke-12, dari barisan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , …   . Karena sepasang terdiri dari 2 ekor, maka banyak kelinci setelah 1 tahun ada 2 x 144 = 288 ekor yang terdiri dari jantan dan betina. Begitu saudara-saudara, mudah-mudahan tidak salah memahami masalah Fibonacci tersebut.

Sebenarnya barisan bilangan Fibonacci, bilangan milik Allah SWT yang di terdapat pada ciptaan-Nya seperti pada tumbuhan dan mahluk hidup seperti rumah siput/cangkang siput apa istilahnya saya tak begitu paham, tentu yang belajar Biologi lebih tau dan paham masalah ini. Pada tumbuhan ditunjukkan dengan banyak daunnya-katanya seperti: pada bunga White Calla Lily memilki 1 daun , pada bunga  Euphorbia memiliki 2 daun (benar di rumah ada-suer.. sy juga ga pernah merhatikan batangnya berduri ), pada bunga  Trillium memiliki 3 daun, pada bunga  Columbine memiliki 5 daun, bunga Bloodroot ada yang memiliki 8 daun, bunga  Black-eyed-Susan memiliki  13 daun, dan pada bunga  Shasta Daisy  memiliki  13, 21, 34, 55, 89 daun. Setelah lihat gambar bunga tersebut memang benar adanya. Subhanallah.

Pada Manusia, umumnya setiap manusia memiliki 1 tangan kanan, dan 1 tangan kiri, setiap tangan terdiri dari 5 jari dan setiap jari  kita terbagi dalam 2 bagian, yang dipisahkan  3 buku jari atau 3 sendi. Jadi, 1 , 1, 2, 3, 5

 

Contoh soal  yang termasuk fungsi Rekursif, yaitu:  soal OSN Matematika SMP tahun 2007 seleksi Tingkat kota.

Jika   f  suatu fungsi dari himpunan bilangan Asli ke himpunan bilangan Asli yang memenuhi
f (x) + f (x+1) = 2 x2  , dan      f (31) = 99 , maka  f (99) = …. ?

Penyelesian :
f (x+1) = 2 x2  – f (x)
f (32) = 2. 312  – f (31)
f (33) = 2. 322f (32)
f (34) = 2. 332f (33)
f (35) = 2. 342  – f (34)= 2. 342 – 2. 332 + 2. 322 – 2. 312 + f (31)
.
.
.
Berdasarkan pola  f (35)  maka diperoleh:
f (99) = 2. 982  – f (98)
f (99) = 2. 982 – 2. 972 + 2. 962 – 2. 952 + 2. 942 – 2. 932 + … + 2. 322 – 2. 312 + f (31)
f (99) = 2 { 982 – 972 + 962 – 952 +  942 – 932 + … + 322 – 312 } + 99
f (99) = 2 { (982 – 972) +(962 – 952) +(942 – 932)+ … + (322 – 312) } + 99

Perhatikan  ini bentuk  selisih dua kuadrat  x2 – y2 = (x + y)(x – y), maka dapat kita tulis:

f (99) = 2 { (98 +  97)(98 – 97) + (96 + 95)(96 – 95) +(94 + 93)(94 – 93)+ … + (32 + 31)(32 – 31) } + 99
f (99) = 2 { 195 + 191 + 187 + … + 63 } + 99.
Perhatikan Deret bilangan:  195 + 191 + 187 + … + 63.  Merupakan Deret Aritmetika,
Dengan suku pertama  a = 195   dan   beda    b =  – 4 .
Sekarang kita hitung ada berapa  banyak  suku deret hitung itu, jika  n  adalah banyaknya suku, maka
Un = a + ( n – 1 ) x b
63 = 195 + ( n – 1) x (-4)
4n = 195 + 4 – 63
4n = 136
n = 34,   maka
(195 + 191 + 187 +… + 67 + 63) = S34 = 1/2  x 34 (195 + 63)
Jadi,
f (99) = 2 x 1/2  x 34 (195 + 63) + 99
f (99) = 34 x 258  + 99
f (99) = 8772  + 99
f (99) = 8871

 

Contoh 2.

Jika  f (1) = 2000,  f (x+1) + 12 = f (x), maka  f (100) = …. ?

Penyelesaian:

f (x+1) = f (x) – 12

Untuk  x = 1 , maka  f (1+1)= f (2) = f (1) – 12

Untuk  x = 2 , maka  f (3) = f (2) – 12 = f (1) – 12 – 12 = f (1) – 2 x 12

Untuk  x = 3 , maka  f (4) = f (3) – 12 = f (1) – 2 x12 – 12 = f (1) – 3 x 12

Dengan memperhatikan pola bilangannya, maka

Untuk  x = 99, maka  diperoleh     f (100) = f (1) – 99 x 12

= 2000 – (100 – 1) x 12

= 2000 – 1200 + 12

= 812

 

Contoh 3

Soal PASIAD  VI FINAL  TH. 2010 .  No. 35

Kita diberi satu angka tertentu. Kemudian kita gandakan dan kurangi 1 dari hasilnya, jika kita mengulanginya sampai 98 kali, hasil akhirnya adalah 2100  + 1. Berapakah nilai awal angka yang diberikan ke kita sebenarnya ?

Penyelesaian:

Misalkan  nilai  awal  yang diberikan  adalah  a ,  dan  X0 = 2a – 1

Karena  perhitungannya berulang , Jika Xi menyatakan pengulangan ke-i , maka   perhitungannya dapat kita rumuskan sbb:

Selanjutnya tentukan  X1 , X2 , dan X98 .  Karena rekursif maka terbentuk suatu pola.

Perhatikan  polanya ! Saudara-saudara

X1 = 2 X0 – 1  = 2(2a – 1) – 1 = 4a – 3 = 4a – 4 + 1 = 4 (a – 1) + 1       = 22 (a – 1) + 1

X2 = 2 X1 – 1  = 2(4a – 3) – 1  = 8a – 7 = 8a – 8 + 1 =  8 (a – 1) + 1     = 23 (a – 1) + 1

.                                                                                                    .

.                                                                                                    .

.                                                                                                    .

X98                                                                                                             = 299 (a – 1) + 1

Diketahui , X98             = 2100  + 1

299 (a – 1) + 1  = 2100  + 1

299 (a – 1)        = 2100

299 (a – 1)        = 299 .  21

(a – 1) =   2

                 a     =   2 + 1 = 3

Jadi,  nilai  awal yang diberikan  adalah   3

 

Soal  seperti ini menuntut kemampuan memahami fungsi, nilai fungsi, pola rumus suku ke-n  dan  jumlah n suku suatu deret Aritmetika,  pemfaktoran dan ekspresi bentuk aljabar.

Semoga dapat dipahami dan  menambah wawasan anda tentang rumus Rekursif..

Iklan

27 Februari 2010 - Posted by | BAHAS SOAL | ,

2 Komentar »

  1. perkalian 34 x 258 hasilnya keliru ._. yang benar 8772.

    Komentar oleh AP | 30 Maret 2017 | Balas

    • Ya.., Makasih koreksinya berarti Anda kritis. Itu salah ketik ketika sy edit bbrp bln yl.

      Komentar oleh deni11math | 2 April 2017 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: