Pembahasan Soal Matematika OSN SMP Tahun 2010

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2010

BIDANG STUDI MATEMATIKA

WAKTU : 150 MENIT

 SOAL DIBUAT OLEH

KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL

DIRJEND MANAJEMEN DIKDASMEN

DIREKTORAT PEMBINAAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA

( PELAKSANAAN TES  1 MEI  2010 )

Pembahasan ini semata-mata sebagai sarana pembelajaran Penulis sendiri untuk mengembangkan keterampilan dalam melatih di lingkungan internal sekolah, umumnya bagi siswa-siswa yang memerlukan dan yang gemar matematika dalam menyelesaikan soal-soal matematika yang tidak rutin. Tentunya yang lebih absah adalah pembahasan dari pembuat soal itu sendiri.

Soal Bagian A  Pilihan Ganda ini disalin sesuai redaksi soal seutuhnya .

Soal PG  sebanyak 20 Butir.

1.     Garis l  melalui titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4).  Jika garis l   juga melalui titik (a, b) , maka nilai dari

a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3³ = ….

A.  23

B.  1

C.  – 1

D.  – 28

E.  – 31

Jawab :

Nilai yang ditanyakan yaitu  bentuk aljabar yang memuat  variabel  a dan b , berarti kita harus mencari  nilai  a  dan b .

Dari data soal  titik ( a, b) terletak pada garis l , berarti gradien garis antara titik (- 4 ,-3 ) dan (3, 4) dan antara titik  (3, 4) dan (a , b) sama  sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut :

 

 Maka nilai dari

a³ – b³ – 3a²b + 3ab² – 3³         = ( a – b )³ – 3³

                                      = (- 1)³ – 3³

                                      = -1 – 27

                                      =  – 28                           (D)

 2.    Jika bilangan ganjil dikelompokkan seperti berikut :  {1}, {3, 5}, {7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19}, maka suku tengah dari kelompok ke-11 adalah ….

A.    21

B.    31

C.    61

D.    111

E.   121

Jawab :

Cara I : Dengan menghitung langsung

Tuliskan bilangan suku-suku pertama setiap kelompok, kemudian temukan polanya dengan cara menghitung selisih antara dua suku berurutan, seperti berikut:

Sehingga suku pertama kelompok ke-11, adalah 21 + (10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20) = 21 + 90 = 111, urutan suku tengah kelompok ke-11 adalah suku ke 1/2 x (11+1) = suku ke-6. Dengan demikian 6 suku pertama dari 111 yaitu: 111, 113, 115, 117,  119, 121.

Jadi Suku tengah kelompok ke-11  adalah  121

Cara II : Dengan Menentukan Rumus Suku ke-n   Barisan Aritmetika

Lepaskan tanda kurung kurawalnya, lalu perhatikan barisan bilangan itu, tampak merupakan barisan bilangan asli ganjil yang merupakan barisan Aritmetika dengan suku pertama 1 dan beda = 2.

Suku ke-n barisan bilangan asli ganjil :  1,  3 , 5,  7,  9,  11, ….  adalah  U_n = 2n – 1

Banyaknya  suku bilangan sampai dengan kelompok ke-10 = 1 + 2 + 3 + … +10 = 1/2 x 10 (1 + 10)= 55, sedangkan urutan suku tengah kelompok ke-11 adalah suku ke 1/2 x (11+1) = suku ke-6 ,  maka suku tengah kelompok ke-11 adalah U₅₅₊₆ = U₆₁ = 2 x 61 –  1 = 122 –  1 = 121

 

Cara III : Dengan Menentukan Rumus Suku ke-n   Barisan Tingkat 2

Jika kita perhatikan suku-suku barisan dalam kelompok ke-2 , ke-3, ke-4 dst, merupakan barisan Aritmetika dengan selisih 2.

Agar dapat menentukan suku tengah dari kelompok barisan tersebut, kita harus menentukan Rumus Suku ke-n  untuk setiap kelompok ke-k .  Perhatikan barisan suku-suku pertama setiap kelompok ke-k  berikut :   1 ,  3 ,   7 ,  13 ,  21 , …

 

dengan k  bilangan Asli

Ini barisan tingkat dua sehingga f(k) adalah  suatu fungsi berderajat dua dalam k

Lebih dari satu cara menentukan rumus suku ke-n barisan tingkat 2, (dapat dilihat pada Pembahasaan Soal Matematika Ujian Nasional SMP/MTs  Tahun 2009/2010 pada Daftar Isi) .

Sekarang kita tentukan f(k) dengan rumus. Kita ketahui rumus  suku ke-k  barisan tingkat 2 adalah

 

 Perhatikan pada skema bilangan diatas nilai a = 1 ,  b = 2 , dan c = 2 , sehingga

 

 

 

Perhatikan suku-suku bilangan yang terdapat pada setiap kelompok ke-k , merupakan barisan Aritmetika dengan selisih atau beda = 2, dan suku pertama f(k) , dengan demikian dapat dirumuskan Suku ke-n  kelompok ke-k  sebagai berikut :

         

Urutan suku tengah kelompok ke-11  adalah suku ke  1/2 x (11+1) = suku ke-6  ,  sehingga diperoleh

U(6) = f(11) + (6 – 1) 2

U(6) = 11² – 11 + 1  + 5 x 2

U(6) = 121 – 10 + 10 = 121

Jadi Suku tengah kelompok ke-11  adalah  121   (E)

Dari ketiga cara tersebut tentunya anda dapat memilih  mana cara berpikir yang sederhana.

 

 3.   n  adalah bilangan bulat positif terkecil  sehingga  7 + 30n  bukan bilangan prima. Nilai dari

64 – 16n + n²   adalah ….

A.    1

B.    4

C.    9

D.   16

E.    25

Jawab :

Agar  7 + 30n merupakan bilangan komposit (bukan bilangan prima) , maka nilai n yang memenuhi adalah  6 , sehingga  7 + 30.6  bukan bilangan prima , karena  (7 + 30. 6 )=187 habis dibagi 11 atau 187 = 11 x 17

Jadi nilai dari  64 – 16n + n² = 64 – 16×6 + 6² = 64 – 96 + 36 = 4          (B)

 

 4.     Dijual  100 lembar kupon , 2 diantaranya berhadiah. Ali  membeli 2 lembar undian. Peluang Ali mendapat  2 hadiah  adalah … 

A.   

B.   

C.    

D.   

 E.   

Jawab :

Ini merupakan  dua  kejadian yang  tak bebas artinya terjadinya salah satu kejadian atau tidak terjadinya, akan mempengaruhi kejadian yang lain. Sehingga terdapatnya lembar kupon ke-1 berhadiah ataupun tidak,  akan mempengaruhi peluang pada lembar kupon yang ke-2.

Dengan demikian Peluang Ali mendapat 2 lembar kupon berhadiah adalah

P(2 berhadiah) =                       (D)

         Dengan  teori peluang banyaknya hasil yang mungkin  adalah Permutasi 2 dari 100 ditulis

 

          Banyaknya hasil yang dimaksud   2 kupon berhadiah

Jadi  Peluang (Ali mendapat 2 kupon berhadiah )          =      

 

5.   Bilangan tiga digit 2A3  jika ditambah dengan 326  akan menghasilkan bilangan tiga digit 5B9. Jika 5B9  habis dibagi  9 , maka  A + B  = ….

A.    5

B.    6

C.    7

D.    8

E.    9

Jawab :

Nyatakan  soal tersebut ke dalam kalimat matematika

200 + 10A + 3 + 326          =       500 + 10B + 9

          500 + 10A + 20 + 9  =       500 + 10B + 9

                   10A  + 20           =       10B

                   10 ( A + 2 )        =       10B

                             A + 2         =       B

                                      A       =       B  – 2         ……………(1)

 Karena  5B9  habis dibagi  9, maka jumlah angka-angkanya habis dibagi 9 , sehingga dapat ditulis

5 + B  + 9 = k. 9 ,  dengan  k bilangan bulat

B  + 14      = k. 9         dipenuhi untuk  k = 2, sehingga

B  + 14      = 2 x 9

B  + 14      = 18

         B       = 4

Substitusi   B = 4  ke persamaan  ………(1) diperoleh  A= 4 – 2 =2

Jadi Nilai   A + B  = 2 + 4 = 6               (B)

 

 6.     Sebuah mata uang dan sebuah dadu dilantunkan bersama-sama. Bila diketahui mata uang muncul angka, maka peluang munculnya mata dadu lebih dari 2  adalah …

A.     

B.    

C.   

D.   

E.    

Jawab :

Pada pelantunan sebuah mata uang dan sebuah dadu,kejadian munculnya angka atau gambar pada mata uang  dan kejadian munculnya mata dadu 1, 2, 3, 4, 5,atau 6  merupakan dua kejadian yang saling bebas  artinya kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang satu tidak akan mempengaruhi kemungkinan terjadinya atau tidak terjadinya kejadian yang lain.

Tetapi soal hanya menanyakan peluang munculnya mata dadu lebih dari 2.

Hasil yang mungkin adalah S = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6 }  , maka n(S) = 6

Hasil yang dimaksud  atau mata dadu lebih dari 2 adalah  A= { 3 , 4, 5, 6} , maka   n(A) = 4

Jadi Peluang munculnya  mata dadu lebih dari 2  adalah P(A) = 4/6 = 2/3                   (D)

       Jika soal menanyakan peluang munculnya angka pada uang dan muncul mata dadu lebih dari 2,  maka  peluangnya  = 1/2 x 4/6 = 1/3

 

7.    Diberikan dua buah bilangan bulat berbeda yang berjumlah 37 .  Apabila bilangan yang lebih besar dibagi dengan bilangan yang lebih kecil, maka hasil baginya adalah 3 dan sisanya 5.

Selisih kedua bilangan tersebut adalah …

A.     21

B.     22

C.     23

D.     24

E.     25

Jawab :

Misalkan bilangan-bilangan bulat tersebut  adalah  A  dan  B , dimana A > B

A + B         =  37          …………………(1)

         A       =  3 x B + 5 ……………… (2)

Substitusi  persamaan  (2) ke  persamaan(1) diperoleh ;

 3 B + 5 + B       = 37

                   4 B    = 37 – 5

                   4 B    = 32

                      B    = 8 ,  maka  A = 3 x 8 + 5 = 29

Jadi  A –B = 29 – 8 = 21            (A)

8.    Jika  x : y  = 3 : 4  ,  maka         

A.   

B.    

C.    

D.    

E.    

Jawab :

Untuk memudahkan perhitungan  kita  tulis  x = 3k , dan y = 4k  , dengan k bilangan Real  dan k ≠0

Sehingga

                 (A)

 

9.     Roda  A  dengan jari-jari  40 cm  dan  roda  B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan dengan sebuah tali yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat kedua roda  adalah 60 cm,  maka  panjang tali yang dibutuhkan  adalah  …  cm.

A.    

B.    

C.    

D.    

E.      

Jawab :

Buatlah sketsa gambar dari soal tersebut  seperti berikut ini :

          Jika  titik-titik C , D, E, dan F  adalah titik-titik singgung garis singgung persekutuan dua lingkaran,  maka panjang CD = EF = BG = BH. Kita ketahui bahwa garis singgung tegak lurus jari-jari yang  melalui titik singgung. Konstruksi  sedemikian rupa sehingga segiempat BCDG dan segiempat BFEH   adalah persegipanjang. Dengan demikian panjang AG = AH = 30 cm.

Perhatikan segitiga AGB  siku-siku  di titik G , karena  AG : AB = 30 : 60 = 1 : 2 , maka

Besar sudut  ABG = 30⁰  dan  besar sudut  BAG = 60⁰ , begitu pula pada segitiga AHB siku-siku di H , maka

Besar  sudut  ABH = 30⁰  dan  besar sudut  BAH = 60⁰

Berdasarkan teorema Pythagoras

 

Jadi panjang tali yang melingkari kedua lingkaran adalah

    cm                       (A)

 

10.    Pada segitiga ABC  (siku-siku di C), titik Q pada  AC,  titik P pada  AB, dan PQ  sejajar BC.

Panjang  AQ = 3 ;  AP = 5  ;   BC = 8 ,  maka luas  segitiga  ABC  adalah …

A.    48

B.    36

C.    24

D.    22

E.    12

Jawab :

Gambar segitiga tersebut

Karena  PQ sejajar BC , maka  besar sudut AQP = besar sudut ACB = 90⁰(pasangan sudut sehadap). Segitiga  AQP siku-siku di Q , maka panjang  PQ = 4 (ingat tripel Pythagoras 3 , 4, 5)

Begitu pula besar sudut APQ  =  besar sudut  ABC  (pasangan sudut sehadap), maka

Segitiga  AQP sebangun dengan segitiga ACB , (sd-sd-sd) akibatnya;

 

Jadi Luas segitiga  ABC = 1/2 x AC x BC = 1/2 x 6 x 8 = 24         (C)

 

11.    Jika diberikan          dengan n bilangan asli, maka nilai

A.    – 5

B.    0

C.    17

D.    28

E.    30

Jawab :

S_n  adalah jumlah n suku pertama dari deret tersebut.

Perhatikan polanya ! Jika kita amati untuk n bilangan asli ganjil suku-suku deret bertanda positif, sedangkan untuk  n  bilangan asli genap  bertanda negatif.  Dengan kata lain  S_n sama dengan selisih dari jumlah bilangan asli ganjil dan jumlah bilangan asli genap  yang terdapat dalam  n suku pertama deret tersebut.     

Dengan cara yang sama diperoleh

                     (D)

 

12.    Tersedia  tujuh gambar yang berbeda akan dipilih empat gambar yang akan dipasang membentuk

barisan memanjang. Banyaknya cara yang dapat dilakukan jika sebuah gambar yang terpilih harus selalu dipasang di ujung   adalah …

A.    420

B.    504

C.    520

D.    720

E.    710

Jawab :

Soal ini menuntut logika berpikir dalam memahami syarat soal yang diberikan dan penggunaan konsep Kombinasi dan Permutasi.

Pertama menentukan banyaknya kombinasi gambar yang terdiri dari 4 gambar dari 7 gambar yang tersedia, yaitu sebanyak  kombinasi 4 unsur dari 7 unsur berbeda , ditulis :

Terdapat  35 kombinasi  yang terdiri dari 4 gambar.  Selanjutnya dari 1 kombinasi yang terdiri dari 4 gambar tersebut kita pasangkan pada tempat yang membentuk barisan memanjang . Untuk memudahkan kita sediakan kotak  sebagai tempat banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemasangan gambar tersebut. Jika  1 gambar  yang dipiih dari 4 gambar dipasangkan di ujung sebelah kiri , maka banyaknya cara yang dapat dilakukan ada sebanyak :

1 x 3 x 2 x 1 = 6 cara , tetapi gambar yang dipilih dapat pula ditempatkan di ujung sebelah kanan (pada tempat ke-4) , sehingga banyaknya cara dari 1 susunan yang terdiri 4 gambar ini adalah

6 x 2 = 12 cara. = 4!

Dengan demikian banyaknya cara dari 35 kombinasi sebanyak = 4! x 35 = 12 x35 = 420 cara.          (A)

 

 13.     Diketahui           adalah bilangan bulat. Manakah dari ketiga bentuk di bawah ini yang juga merupakan bilangan bulat untuk nilai-nilai  x  yang memenuhi ketiga bentuk di atas ?

A.    I

B.    II

C.    III

D.    I  dan III

E.    II  dan  III

Jawab :

3 x    merukan bilangan bulat , jika  x  adalah bilangan bulat  dan  x = 1/3

         Dimana k  adalah bilangan bulat yang tidak sama dengan nol.

Nilai-nilai x yang memenuhi ketiga bentuk diatas adalah  -1, -3, 1, 3 , dan 1/3

Jelas untuk nilai x  tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah  III            (C)

 

14.    Bilangan ratusan yang berupa bilangan prima  dimana perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut

  adalah 10 , ada sebanyak …  buah bilangan.

A.    6

B.     5

C.    4

D.    3

E.    2

Jawab :

Karena  perkalian ketiga angka penyusun bilangan tersebut  adalah 10, maka bilangan tersebut terdiri dari  angka 1 , 2,  dan 5 .  Permutasi  dari 3 angka tersebut sebanyak  6  macam yaitu :

125, 152, 215, 251, 512, 521 .

Dari bilangan-bilangan tersebut  masing-masing ada sebanyak 2 bilangan yang merupakan bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 5.

Dari bilangan ratusan tersebut yang merupakan bilangan prima adalah  251  dan  521.

Jadi ada sebanyak  2  buah bilangan               (E)

 

15.    Sebuah prisma segiempat berukuran 15  cm x  15 cm x  10 cm, terbuat  dari baja. Prisma tersebut setiap rusuknya diberi kerangka terbuat dari kawat dan setiap sisi dicat.  Harga baja setiap 1 cm² adalah Rp 800,00; setiap 4 cm  kawat harganya Rp 1.300,00; dan setiap 10 cm² membutuhkan cat seharga Rp 1.600,00;. Biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut adalah …

A.    Rp 2.020.000,00

B.    Rp 1.160.000,00

C.    Rp 1.060.000,00

D.    Rp 1.050.000,00

E.    Rp 1.030.000,00

Jawab :

Biaya pembelian Baja = Luas prisma x Rp 800,00 = (2 x15 x 15 + 4 x 15 x 10)x Rp 800,00

                                                                           =(450 + 600 ) Rp 800,00

                                                                           = 1.050 x Rp 800,00

                                                                           = Rp 840.000,00

Biaya pembelian Kawat = (8 x 15 + 4 x 10) x Rp 1.300,00/4 cm

                                                = (2 x 15 + 10 ) Rp 1.300,00

                                                = 40 x Rp 1.300,00

                                                = Rp 52.000,00

Biaya pengecatan            = luas prisma x Rp 1.600,00/10 cm²

                                                = 1.050 x Rp 160,00

                                                = Rp 168.000,00

Jadi biaya untuk membuat prisma segiempat tersebut  adalah

Rp (840.000,00 + 52.000,00 + 168.000,00) = Rp 1.060.000,00                            (C)

 

16.    Jika  P (x) =Q (x) (x – a) ,  dimana  P (x) dan  Q (x) polinom, maka :

A.    P (a) ≠ 0

B.    x – a bukan faktor dari  P (x)

C.    kurva  y =P (x) memotong sumbu x  di titik (a, 0)

D.    kurva  y =P (x) memotong sumbu x  di titik (-a, 0)

E.    titik potong erhadap sumbu x  tidak dapat ditentukan

Jawab :

Periksa dan pilihlah pernyataan yang benar !

A.  Salah , karena P (a)=0

 B. Salah, karena  (x – a) merupakan faktor dari  P (x)

Kurva  y =P (x) memotong sumbu x , jika  y= 0 maka   0 =Q (x) (x – a)

                                                                                                (x – a)= 0

x= a

Jadi  yang benar  kurva  y =P (x) memotong sumbu x  di titik (a, 0)                       ( C)

 

17.    Empat  kubus identik dengan panjang rusuk 5 cm  disusun menjadi suatu bangun ruang dengan cara menempelkan sisi-sisinya.  Banyak bangun ruang berbeda yang terbentuk adalah …

A.    10

B.    8

C.    6

D.    5

E.    3

Jawab :

 Banyaknya bangun ruang yang berbeda ada  8.         (B)

 

 

18.    Fungsi  f (x) = x² – ax   mempunyai grafik berikut :

Grafik fungsi  g(x) = x² + ax + 5  adalah ….

Jawab :

Dari grafik fungsi  f (x) = x² – ax  , tampak bahwa nilai a > 0  (a positif)

Sehingga  sumbu simetri fungsi  g(x) = x² + ax + 5 , yaitu                   bernilai negatif.

Grafik fungsi  g(x) = x² + ax + 5 , memotong sumbu  Y  di titik (0, 5)

Jadi grafik yang  benar  dari pilihan jawaban yang disediakan  hanya

      (A)

19.    Terdapat  3 orang Indonesia ,  4 orang Belanda ,  dan 2 orang Jerman akan duduk dalam bangku memanjang. Banyaknya susunan yang terjadi jika duduknya berkelompok menurut kewarganegaraannya adalah …

A.    24

B.     48

C.    288

D.    536

E.     1728

Jawab :

Banyaknya  Permutasi  dari  3 warga negara sebanyak  3! = 3 x 2 x 1 = 6

Sedangkan dalam satu warga negara mereka duduk bervariasi , sehingga banyaknya susunan yang terjadi jika duduk berkelompok menurut kewarganegaraanya adalah

3! x 4! x 2! x 6 = (3x2x1) x (4x3x2x1) x (2×1) x 6 = 6 x 24 x 2 x 6 = 288 x 6 = 1728          (E)

 

 20.    Anto mempunyai 20 lembar seribuan,  4 lembar lima ribuan dan 2 lembar sepuluh ribuan.

Jika  x , y, dan  z  adalah banyaknya  seribuan, lima ribuan, dan sepuluh ribuan, maka banyak cara berbeda sehingga jumlahnya dua puluh ribu adalah …

A.    6

B.    7

C.    8

D.    9

E.    10

Jawab :

Untuk memudahkan buatlah tabel seperti berikut :

Cara Ke-	Banyaknya Uangseribuan (x)	Banyaknya UangLima ribuan (x)	Banyaknya UangSepuluh ribuan (z)	Jumlah Uang
1	20	0	0	20.000
2	0	4	0	20.000
3	0	0	2	20.000
4	15	1	0	20.000
5	10	2	0	20.000
6	10	0	1	20.000
7	5	3	0	20.000
8	5	1	1	20.000
9	0	2	1	20.000

 

Jadi  ada  9 cara berbeda                  (D) 

Alhamdulillah , Selamat mempelajari ! semoga anda terispirasi, koreksi jika ada yang keliru .

Posted by DR-Math’s  May MMX