DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

Pembahasan Soal Uraian Matematika OSN SMP 2010

PEMBAHASAN SOAL   ESSAY  BY DR-Math’s

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP

SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2010

BIDANG STUDI MATEMATIKA

 

SOAL BAGIAN B : ISIAN SINGKAT.

 TERDIRI DARI  10 BUTIR

 1.   Sebuah  segitiga  ABC  sama kaki dipotong menjadi dua buah segitiga sama kaki (tidak harus kongruen) dengan   membagi dua sama besar salah satu sudut alasnya. Ukuran sudut yang terkecil dari segitiga  ABC   adalah …

Ini soal klasik artinya bukan soal yang baru saat ini, dalam geometri  ( dulu ilmu ukur bidang) telah dibahas, dan soal ini juga unik artinya hanya satu-satunya segitiga sama kaki yang memiliki kasus seperti soal yang ditanyakan yaitu jika pada salah satu sudut alasnya yang sama, dibuat garis bagi, maka terbentuk dua segitiga sama kaki walaupun tidak kongruen.

😆 Silahkan kerjakan terlebih dahulu!  kemudian lihat pembahasannya

Jawab :

Untuk memudahkan gambar segitiga tersebut !

 

 Segitiga ABC   sama kaki dengan  panjang AC = BC , maka besar sudut A = besar sudut B

Misalkan besar sudut  B = x0 , dan besar sudut  A= x0 , dan besar sudut C = y0,  maka

2 x + y  = 1800  …………………..(1)

Garis  AD  adalah garis bagi sudut A, maka besar sudut  BAD = 1/2 x0 dan besar sudut  CAD = 1/2 x0 .

Karena  segitiga  ABD  sama kaki , maka  besar sudut B = besar sudut ADB

Atau    x  =  b , sedangkan  besar sudut ADB = besar sudut ACB + besar sudut CAD , sehingga

                   x  = 1/2 x + y   

atau                    y  = 1/2 x ………………….(2)

Substitusi persamaan  (2)  ke persamaan  (1)  diperoleh :

         2 x + 1/2 x = 1800

 Jadi  ukuran sudut terkecil  dari segitiga  ABC  adalah  360

 2.    Sebuah kotak berisi  bola merah dan hijau. Jika empat bola merah dikeluarkan dari kotak maka sepersepuluh   sisanya adalah bola merah . Akan tetapi  jika empat bola hijau dikeluarkan dari kotak maka seperlima sisanya adalah bola merah. Banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak  tersebut  adalah …

Silahkan kerjakan terlebih dahulu !   kemudian lihat pembahasannya

 Jawab:

Misalkan banyaknya bola merah di dalam kotak adalah  m  buah, dan

                   banyaknya bola hijau di dalam kotak adalah  h  buah,

Sehingga jumlah bola di dalam kotak  adalah ( m + h ) buah

Berdasarkan soal  diperoleh persamaan sebagai berikut :

 

 

 

Dari persamaan (1) dan (2)  diperoleh :

 

 

 

 Jadi , banyaknya bola merah yang semula berada di dalam kotak  tersebut  adalah 8 

 3.     Sebuah perahu motor  meninggalkan kapal induk ke arah utara menuju suatu target dengan kecepatan tetap 80 km/jam . Kapal induk  bergerak ke arah timur  dengan kecepatan tetap 40 km/jam  .  Apabila perahu motor tersebut hanya mempunyai bahan bakar yang cukup untuk berjalan 4 jam saja, maka  jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah …. km.

Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

 Jawab :

Buatlah sketsa gambarnya seperti berikut ini :

 

 Jarak  AT = 40 x 4 = 160 km

Misalkan waktu yang ditempuh  perahu motor dari titik A ke U  dalah   t1 jam ,dan

                   waktu yang ditempuh  perahu motor dari titik U ke T  dalah   t2 jam, 

dimana t1 + t2 = 4 jam  …………..(1)

Berdasarkan teorema Pythagoras

TU2 = AU2 + AT2

(80t2)2       = (80t1)2 + 1602

802.t22       = 802.t12 + 1602

         802(t22 – t12)     = 1602

         (t22 – t12)           = (160/80)2

(t2 – t1)( t2 + t1)        = 4

         (t2 – t1). 4                   = 4

                   (t2 – t1)     = 1    …………(2)

Dari persaman (1) dan (2)  diperoleh :           2t2 = 5  atau  t2 = 5/2 jam  dan  t1 = 3/2 jam

Sehinggga        jarak  AU = 80 km/jam  x  3/2  jam = 120 km

                            Jarak  TU = 80 km/jam  x  5/2  jam = 200 km

Jadi jarak maksimum target yang dapat ditujunya agar ia dapat kembali ke kapal induk dengan tanpa masalah adalah jarak  AU = 120 km .

 4.     Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh Anto dan Dini  dapat diselesaikan dalam waktu 6 jam.

Jika pekerjaaan itu dikerjakan oleh Dini sendirian akan selesai lima jam lebih lambat dibandingkan Anto. Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu … jam

Soal ini tergolong klasik, sejak  akhir kelas VI dibangku SD penulis telah mengenal soal ini sebagai soal latihan tes ke  SMP.

(Dapat dilihatjuga pembahasan serupa pada Soal Perbandingan tidak Senilai di Daftar Isi !) 

Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

Jawab :

Misalkan  Anto dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu  t  jam,  dan

                   Dini  dapat menyelesaikan satu pekerjaan itu dalam waktu  (t + 5)  jam

Sehingga

Rata-rata dalam  waktu  1 jam  Anto dapat menyelesaikan                  ,  dan

Rata-rata dalam waktu  1 jam  Dini dapat menyelesaikan    

Jadi ,

Rata-rata dalam 1 jam  Anto dan Dini dapat menyelesaikan   

 Atau  rata-rata dalam 1 jam  Anto dan Dini dapat menyelesaikan    

 Dengan kata lain, Anto dan Dini dapat menyelesaikan satu pekerjaan  dalam waktu   

 Berdasarkan soal diatas  diperoleh  persamaan

 

 t2 + 5t = 12t + 30

t2 – 7t – 30 =0

(t – 10 )(t  + 3) = 0

t –  10 = 0 ,

t = 10 ,   karena  t >0

Jadi ,  pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh Anto sendirian dalam waktu  10  jam.

 Cara Singkat :

Jika  A dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu  p  satuan waktu, dan

 B dapat menyelesaikan  suatu pekerjaan yang sama dalam waktu q   satuan waktu , maka

Pekerjaan itu dapat diselesaikan oleh  A dan B bersama-sama  dalam waktu

 

          Soal seperti ini merupakan  salah satu kasus  tentang  konsep  rata-rata harmonis.

 5.     Diketahui  jajargenjang ABCD ;   sudut  A = sudut C = 450 . Lingkaran K dengan pusat C  melalui B dan  D.   AD  diperpanjang memotong lingkaran  di E  dan  BE  memotong CD  di  H.

Perbandingan antara luas segitiga  BCH  dengan segitiga  EHD adalah …

Soal ini  pernah diujikan dalam tes (Ujian Masuk Perguruan Tinggi Negeri ) UMPTN  th  1989.

Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

 Jawab :

Buat sketsa gambarnya seperti berikut !

Buat garis  CE .

Karena  segiempat ABCD adalah jajargenjang, maka  AB sejajar DC, sehingga besar sudut CDE = besar sudut  A = 450

Perhatikan segitiga  CDE , panjang CD = panjang  CE = r  (jari-jari lingkaran ), maka

besar sudut CED = 450 dan besar sudut  DCE = 900, jadi segitiga  CDE segitiga siku-siku sama kaki.

Berdasarkan teorema Pythagoras :

Perhatikan segitiga  BCH sebangun dengan  segitiga  EDH  (sd-sd-sd),  akibatnya :

Maka ,      

Jadi, Perbandingan antara luas segitiga  BCH  dengan segitiga  EHD adalah  1 : 2

6.     Jika  jumlah k  bilangan bulat positif berurutan adalah 2010. , dengan k > 1, maka  k  terkecil yang mungkin adalah ….

Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

Jawab :

Jika  k = 2 ,  maka              n + (n + 1)         = 2010  , dengan  n bilangan bulat positif

                                                                   2n     = 2009  , tak ada nilai n yang memenuhi

Jika  k = 3 ,  maka              n + (n + 1) + (n + 2) =  2010

                                                                   3n + 3       =  2010

                                                                             3n     =  2007

                                                                               n     =  669

Bilangan bulat positif tersebut adalah   669 + 670 + 671 = 2010

Jadi nilai   k  terkecil yang mungkin  adalah  3

 7.     Diketahui  ABCD  adalah persegi. Titik  E merupakan perpotongan AC dan BD pada persegi ABCD yang membentuk persegi baru  EFGHEF berpotongan dengan CD di  I dan  EH  berpotongan dengan  AD  di  J .  Panjang  sisi ABCD  adalah 4 cm  dan panjang sisi  EFGH adalah  8 cm.

Jika sudut  EID = 600,  maka luas  segiempat  EIDJ  adalah … cm2

          Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

          Jawab :

          Buatlah sketsa gambarnya !

                     

Perhatikan segitiga  EJD  kongruen dengan segitiga  EIC, maka luas segitiga EJD = luas segitiga EIC 

Sehingga,  luas  segiempat  EIDJ    = luas segitiga DEI + luas segitiga EJD

                                                                    =  luas segitiga DEI + luas segitiga EIC

                                                                    = luas segitiga CDE

Luas  segitiga CDE  = 1/4 x luas  persegi  ABCD

                                      =  1/4 x  4 x  4

                                      =  4  cm2

Jadi, luas  segitiga EIDJ adalah  4  cm2 .

Cara kedua :

Dengan Rotasi bidang segiempat EIDJ  dengan pusat  E , dan persegi ABCD  tetap (statis),dengan arah berlawanan arah jarum jam (arah positif) sedemikian sehingga  EF  tegak lurus CD. Seperti pada gambar berikut :

 

Maka luas  luas segiempat  EIDJ = luas segiempat  EIDJ  

                                                                 =  2 cm x 2 cm  = 4  cm2

8.     Kereta penumpang  berpapasan dengan  kereta barang. Laju kereta penumpang 40 km/jam,

Sedangkan kereta barang 20 km/jam.   Seorang penumpang di kereta penumpang mencatat bahwa kereta barang berpapasan  selama  15 detik.  Panjang rangkaian KA barang adalah … m

Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

 Jawab :

Soal ini merupakan aplikasi konsep kecepatan relatif  dalam ilmu Fisika.

Karena kedua kereta berpapasan artinya kedua kereta api tersebut bergerak belawanan arah.

Kecepatan relatif  KA penumpang terhadap KA barang = (40 + 20) km/jam = 60 km/jam

Jadi, panjang KA barang        = (60 km/jam)   x  15  detik

                                                        =  (60.000 m/3600 detik)    x  15 detik

                                                        =  60.000 m / 240

                                                        =  6.000 m / 24

                                                        =  1.500 m / 6

                                                        =  250 m

9.     Jika operasi  *  terhadap  bilangan rasional positif  didefinisikan sebagai       

 maka  3 * (3*3) = ….

Jawab :

        dengan demikian :

   

10.     Sebuah kubus  akan diberi warna sedemikian sehingga  setiap dua sisi yang berdekatan

(yakni dua sisi yang dipisahkan oleh tepat satu rusuk) diberi warna yang berbeda.

Jika  diberikan  5 warna yang berbeda, maka banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah ….

Silahkan coba  kerjakan  dulu !  kemudian lihat pembahasannya

Jawab:

Perhatikan  gambar Kubus  berikut !

  • Kemungkinan pertama dalam pemberian warna

Sisi-sisi Kubus  diberi wana yang berbeda dengan satu warna yang sama pada sepasang sisi yang sejajar (karena warna yang tersedia hanya 5 warna).

 Untuk memudahkan perhitungan kita  buat  petak-petak jaring-jaring Kubus dan tuliskan  banyaknya cara yang mungkin

       Banyaknya cara yang mungkin  sebanyak     =   5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 cara.

  • Kemungkinan kedua  dalam pemberian warna

Sisi-sisi kubus yang sejajar (berhadapan) diberi warna yang sama.

Kita ketahui  ada  3 pasang sisi kubus yang sejajar. Banyaknya cara pemberian warna  sama dengan kombinasi  3 dari  5 warna yang berbeda.       

Jadi, banyak cara yang berbeda untuk mewarnai kubus adalah sebanyak  (120+10)=130  cara

Alhamdulillah selesai  semoga dapat menjadi inspirasi , mohon kritik jika ada kekeliruan !!

Posted By DR-Math’s  May 9 MMX

9 Mei 2010 - Posted by | BAHAS SOAL | , ,

12 Komentar »

  1. no 10 pak, kalau kita pakai hanya 4 warna bisa kan?

    Komentar oleh hoyongdiajar | 29 Maret 2012 | Balas

    • Pewarnaan kubus dengan 5 warna merupakan soalnya, yang ditanyakan banyaknya cara pewarnaan. Jadi bukan cara menjawab, kalo buat sekedar mewarnai bisa aja cuma bagaimana pertanyaan soalnya?

      Komentar oleh deni11math | 30 Maret 2012 | Balas

      • seperti yang telah bapak jelaskan ” Kemungkinan kedua dalam pemberian warna

        Sisi-sisi kubus yang sejajar (berhadapan) diberi warna yang sama.

        Kita ketahui ada 3 pasang sisi kubus yang sejajar. Banyaknya cara pemberian warna sama dengan kombinasi 3 dari 5 warna yang berbeda. “(kemungkinan kedua ini pewarnaan menggunakan 3 warna dari 5 warna yg tersedia kan pak?)
        nah maksud saya, ada kemungkinan ketiga yang belum dimasukan kedalam perhitungan yaitu pewarnaan hanya menggunakan 4 warna dari 5 warna yg disediakan. logikanya kan kalo kita bisa menggunakan hanya 3 warna (seperti kemungkinan kedua pada penjelasan bapak) . kita bisa juga hanya menggunakan 4 warna dari 5 warna yang tersedia (kemungkinan 3)

        Komentar oleh hoyongdiajar | 2 April 2012

      • Begini neng Ranny.. bukan mengggunakan 3 warna dari 5 warna, kemungkinan kedua yg dimaksud jika sepasang-sepasang sisi-sisi yg sejajar kita beri warna yg sama ok?! krn ada 3 pasang sisi yg sejajar artinya sama jika kita menyusun komposisi warna yg terdiri dari 3 warna berbeda diambil dari sejumlah 5 warna yg berbeda.
        Ini konsep kombinasi.
        Misalkan disediakan 5 warna {a , b, c, d, e}, maka komposisi warna yg dipakai: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, dan cde. ada 10… begitu.
        Nah.., kalo yg neng Ranny ungkapkan., bukan bisa menggunakan 3 warna tapi memang harus 3 warna yg diambil dari 5 agar sepasang2 sisi yg sejajar warnanya sama.
        Kalo yg dimaksud mengambil dari 4 warna yg berbeda (bukan dari 5 warna) perhitungan dah termasuk di dalam 3 kombinasi 5. Ok?!

        Komentar oleh deni11math | 3 April 2012

      • saya juga setuju mengenai konsep kombinasi yang bapak katakan. waktu saya katakan :”kemungkinan kedua ini pewarnaan menggunakan 3 warna dari 5 warna yg tersedia ” Maksud saya juga begitu pak (pake konsep kombinasi) seperti yang telah dijelaskan bapak
        ok kalo begitu sy gak akan bilang pewarnaan menggunakan 4 warna, sy coba pake kata2 lain:
        dua pasang sisi sejajar masing2 diberi warna yg berbeda dan 2 sisi sisanya diberi warna yang berbeda pula jadi sebagai contoh: kiri dan kanan kubus diberi warna a, depan belakang kubus diberi warna b, atas diberi warna c bawah diberi warna d . “Misalkan disediakan 5 warna {a , b, c, d, e}, maka komposisi warna yg dipakai: abcd, abce, abde, adce,bcde
        bisa juga sebagai contoh lagi kiri kanan diberi warna b depan belakang diberi warna c atas diberi warna d bawah diberi warna e.. dan masih banyak lg

        maaf ya pak kalo saya agak susah diajarin,

        Komentar oleh hoyongdiajar | 4 April 2012

      • Nah.., klo spt ini sy paham maksud neng Rany. Jadi pewarnaan dgn sepasang sisi sejajar diberi warna yg beda,dan sepasang2 sisi yg // masing2 diberi warna yg sama. Jd banyaknya cara mewarnai 4 C 5 = 5 cara. Betul anda makasih masukannya .. Nanti sy tambahkan.

        Komentar oleh deni11math | 5 April 2012

  2. Salam

    Coba ikutan untuk no.3

    Selama 4 jam, jarak yang dapat ditempuh oleh Kapal Induk = 4 x 40 = 160 km
    sedangkan jarak yang dapat ditempuh oleh Perahu Motor = 4 x 80 = 320 km

    Dengan skala 1 : 160, keduanya dapat disederhanakan 1 km untuk Kapal Induk dan 2 km untuk Perahu Motor.

    Jika x = adalah jarak A ke U, maka jarak U ke T adalah 2-x

    Sehingga, x^2 + 1^2 = (2-x)^2

    x^2 + 1 = 4 – 4x + x^2

    4x = 3

    Sehingga sesuai skala semula x (jarak dari A ke U) adalah 3/4 x 160 km = 120 km

    Semoga berkenan

    Salam

    Komentar oleh Yudhi | 29 Juni 2010 | Balas

    • Makasih Yudhi. Pembahasan dgn cara perbandingan Jarak yg ditempuh oleh masing2 kendaraan tsb.
      Saya bisa memahaminya, dan mudah-mudahan siswa SMP khususnya siswa saya bisa memahaminya juga.

      Komentar oleh deni11math | 3 Juli 2010 | Balas

  3. Jarak maksimum target yang dapat dituju harusnya dari A ke U, jadi hanya 120km. setelah mencapai target baru kembali ke kapal induk sejauh 200 km.

    Komentar oleh saiful arif | 31 Mei 2010 | Balas

    • Oh iya, benar. Makasih banget saiful atas koreksinya. Berarti anda cermat

      Komentar oleh deni11math | 31 Mei 2010 | Balas

  4. wah, ketemu blog bagus nih
    salam
    mathmagics.wordpress.com

    Komentar oleh ardiantoarsadi | 21 Mei 2010 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: