SOAL DAN PEMBAHASAN OSN SMP TK KOTA TH 2011

SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL

 SMP TINGKAT  KAB/KOTA TAHUN 2011

MATEMATIKA

WAKTU 150 MENIT (2,5 JAM)

                 Soal sebanyak 30 butir terdiri dari 20 Pilihan Ganda 5 options, dan 10 Isian Singkat. Yang dimaksud soal Isian Singkat yaitu jawaban pada lembar jawaban hanya hasil akhirnya saja, bukan berarti cara menjawabnya singkat walapun ada yang singkat.

                Tentu pembahasan yang legal  dan benar  dari Pembuat soal OSN, pembahasan ini menurut Penulis yang mungkin saja terdapat kekeliruan walau demikian penulis berusaha menyajikan sejelas mungkin sebatas pengetahuan yang penulis miliki.

                Untuk menghemat waktu dan menghindari kesalahan ketik ulang, soal ini telah penulis Scan.

Sedikit tips  untuk peserta OSN,  dalam menjawab soal  sebaiknya terlebih dahulu bacalah petunjuk di bagian awal lembar soal, alokasikan waktu untuk menjawab soal PG dan uraian, bacalah dengan cermat semua soal  hingga anda memahami soal. Dari hasil identifikasi soal tersebut anda dapat menentukan prioritas soal nomor berapa  yang bisa segera dikerjakan dan ditangguhkan dan tentukan strategi yang tepat dalam menjawab soal !

Selamat  menyimak dan semoga bermanfaat !

1 .   KPK  dari (8! , 9!, 10! ) = 10!

10! = 10 x 9 x 8!

             C .        73/10!   mudah

 

2.    Karena bilangan yang dibentuk  genap, maka angka satuan dari bilangan tersebut yang mungkin adalah

2 atau 6.  Sehingga bilangan terbesar adalah 96.512 , dan bilangan terkecil  12.596

Selisihnya  96.512 – 12.596 = 83.916                            E

 

3.          Sisa air dalam tabung = volum tabung – 3 volum bola pejal (dengan r = 3 cm)

             

 

 

 4.   Soal ini menuntut kemampuan peserta OSN  dalam memahami beberapa pernyataan dan membuat kesimpulan.

Diketahui : Terdapat  50 ekor kelinci.

• 25 ekor kelinci  jantan , maka  25 ekor  kelinci betina
• 25 ekor  dilatih menghindari jebakan, 10 ekor diantaranya jantan. Dari pernyataan ini diperoleh simpulan terdapat 15 ekor kelinci betina dilatih menghindari jebakan, dan  15 ekor kelinci jantan dan 10 ekor kelinci betina tidak dilatih menghindari jebakan.
• 20 ekor (dari total 50 ekor) berhasil menghindari jebakan, 4 ekor diantaranya jantan. Dari pernyataan ini, maka terdapat 16 ekor kelinci betina yang dapat berhasil menghindari jebakan.
• 15 ekor yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan, 3 ekor diantaranya jantan. Dari penyataan ini, maka terdapat 12 ekor betina  yang pernah dilatih berhasil menghindari jebakan dan sejumlah 10 ekor kelinci yang dilatih tidak dapat menghindari jebakan terdiri dari 7 ekor jantan dan 3 betina.

Dari pernyataan ke-3 dan ke-4 diperoleh simpulan  16 – 12 = 4 ekor kelinci betina dapat menghindari jebakan  tanpa dilatih.   (Anda bingung , minum air  mineral dulu!)

Jadi, banyaknya kelinci betina yang tidak pernah dilatih dan tidak dapat menghindari jebakan adalah

10 – 4 = 6 ekor .           B

 

5.

 

               Karena merupakan  bilangan bulat,  maka  dapat ditulis :

 Untuk setiap nilai  k diperoleh satu nilai  x yang merupakan bulat, maka banyaknya bilangan bulat  x    yang memenuhi sama dengan banyaknya bilangan bulat  k  yaitu  6    D

 6.          Ubahlah  bilangan berpangkat tersebut  sehingga berpangkat sama !

2⁴⁴⁴⁴ = (2⁴)¹¹¹¹      , 3³³³³ = (3³)¹¹¹¹                  dan        4²²²² = (4²)¹¹¹¹

2⁴ = 16 ,  3³=27  , dan  4² = 16   diketahui  fakta bahwa  16 < 27 ,maka urutan bilangan dari yang terkecil

Sampai yang terbesar adalah

2⁴⁴⁴⁴ , 4²²²²  ,  3³³³³              A

 

7.       Menjawab soal seperti ini  buatlah  5 petak yang mana setiap petak mewakili dua kursi kemudian isi

  dengan   banyaknya cara yang mungkin dapat diduduki .

Petak ke-1  kemungkinan dapat diduduki oleh 5 pasutri, petak ke-2  kemungkinan dapat diduduki oleh 4   pasutri , dan seterusnya  .. terakhir  oleh 1 pasutri.          

 Ini menyatakan  banyaknya cara duduk  5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120

Perhitungan belum tuntas , karena setiap pasang suami istri dapat menempati 2 posisi, diketahui ada 5 pasang sehingga banyaknya cara duduk yang mungkin agar pasutri berdampingan adalah

120 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 120 x 32 = 3840                      C

 Secara umum jika terdapat n pasang , tersedia  2n tempat duduk, maka banyaknya cara duduk berdampingan adalah  n! x 2ⁿ .

Dalam menjawab soal seperti ini , selain kaidah operasi  hitung ,logika berpikir  kita sangat dominan berperan, jadi  tak perlu memaksakan menghapal  rumus-rumus !

Dengan strategi mulai dari jumlah yang sedikit , kita bisa menghitung lalu merumuskan secara umum.

8.      Diketahui  15 telur , 5 telur rusak maka 10 telur baik.

Ditanyakan berapa peluang diperoleh telur rusak ke-3  pada pengetesan ke-5?

Jawab :

Tentu, jelas telur yang diperiksa / dites  tidak dikembalikan lagi.

Dari pertanyaan  telur yang diambil sebanyak 5 butir.

Tentukan semua kemungkinan yang terjadi dalam pengetesan 5 butir tersebut .

Kemungkinan pengetesan ke-1 diperoleh telur Baik, ke-2  Baik, ke-3 Rusak, ke-4 Rusak, dan ke-5 Rusak  dan kita tulis        {BBRRR} kemungkinan kejadian yang lain :

{BRBRR} atau {BRRBR} atau {RBRBR} atau {RRBBR} atau {RBBRR}. Terdapat 6 kejadian yang mungkin.

 Karena tanpa pengembalian, maka Peluang setiap kejadian sama, dan 6 kejadian tersebut saling lepas. jadi  Peluang yang dimaksud adalah

P(BBRRR) + P(BRBRR) + P(BRRBR) + P(RBRBR) + P(RRBBR) + P(RBBRR) =

 

 

9.            Buatlah sketsa gambar Limas T.ABCD !

Limas T.ABCD beraturan, maka panjang AB = BC = CD = AD = 2 cm , begitu juga panjang TA =  TD =TB = TC = 4 cm .   ABCD adalah persegi, maka segitiga DAB siku-siku sama kaki.

  

 Segmen garis BE tegaklurus rusuk tegak TD ,selanjutnya kita hitung  panjang BE .

Perhatikan  segitiga TBD (yang merupakan bidang diagonal limas T.ABCD)

 Segitiga TBD samakaki, buat garis TF tegal lurus BD, maka DF = BF

       

Segitiga  TFD siku-siku di F, maka berdasarkan teorema Pythagoras

               Selajutnya  panjang BE dapat dihitung melalui kesamaan luas segitiga TBD

Luas segitiga TBD = 1/2 x TD x BE = 1/2 x BD x TF

TD x BE = BD x TF

BE = ( BD x TF ) / TD

`

 

10.   Untuk menghitung luas daerah yang diarsir yang terdiri dari 4 bagian daerah  yang kongruen, kita dapat

 menghitungnya  1 bagian saja kemudian  kalikan dengan 4.

Titik A, B, C, dan D  adalah pusat-pusat lingkaran dengan panjang jari-jari  r .

       

 Keliling  lingkaran = 62,4 cm

                  2 x 3,14 x r   = 62,4

6,28  x   r  = 62,4

r  = 10 cm

Luas  1 bagian daerah yang diarsir = luas persegi ABCD – Luas daerah 1 lingkaran

=  2r x 2r – 3,14 x r x r

= 20 x 20 – 3,14 x 10 x 10

= 400 – 314 = 86

Jadi, luas derah yang diarsir = 4 x 86 = 344 cm²                   A

 

11.   Diketahui keterlambatan sebuah jam dinding  5 menit setiap jamnya, maka keterlambatan 60 menit=

1 jam setiap 12 jam. Jika pada pk. 12.00  menunjukkan waktu yang tepat, maka selama 12 jam kedepan waktu menunjukkan pk. 11.00 (keterlambatan 1jam) . Dengan demikian  jam dinding akan menunjukkan waktu yang tepat (pada pk.12.00 kembali) setelah  12 jam x 12 = 144 jam   E

 

12.   Jumlah bola  18 , terdiri dari  5 bola hitam, 6 bola putih, dan 7 bola hijau. Diambil 2 bola secara acak.

Kejadian yang mungkin  terambilnya 2 bola berwarna sama adalah

A : Terambilnya bola pertama hitam dan bola kedua hitam, maka P(A) = 5/18  x  4/17 = 10/153

B :  Terambilnya bola pertama putih dan bola kedua putih, maka P(B) = 6/18  x  5/17 = 15/153

C :  Terambilnya bola pertama hijau dan bola kedua putih, maka P(C) = 7/18  x  6/17 = 21/153

Karena kejadian  A, B, dan C  adalah kejadian yang saling lepas (tidak terjadi pada saat bersamaan)maka, peluang  terambilnya 2 bola berwarna sama          = P(A) + P(B) + P(C)

= 10/153 + 15/153 + 21/153 = 46/153        A

 

13.    Menjawab soal lingkaran,  langkah awal  buatlah sketsa  gambar lengkapi dengan ukuran panjangnya,

kemudian temukan letak titik pusat lingkaran dengan mengkonstruksi garis diagonal AC dan BD  seperti berikut:

 

 

 Titik O adalah titik potong diagonal AC dan BD, sehingga AO = BO = CO = DO = 1/2 AC

Karena  besar sudut ADC  siku-siku, maka O pusat lingkaran luar persegi ABCD

Dengan pengurangan luas daerah diperoleh ;

Luas daerah yang diarsir = 4 x luas 1/2 lingkaran pusat  P – luas tembereng (AB + BC+ CD +AD)

= 2 x luas lingkaran pusat P – (luas lingkaran pusat O – luas persegi ABCD)

= 2 x luas lingkaran pusat P – luas lingkaran pusat O + luas persegi ABCD

Review :

Luas daerah yang diarsir sama dengan luas Persegi ABCD = 14 x 14 = 196 satuan luas.

 

14.   2^2x + 2^-2x = 2

(2^x)² + (2^-x)² = 2

(2^x  – 2^-x )² – 2. 2^x. 2^-x = 2

 (2^x  – 2^-x )² – 2. 2⁰ = 2

(2^x  – 2^-x )² – 2 = 2

(2^x  – 2^-x )² = 4

 

15.          Misalkan banyaknya guru  adalah  m orang  , dan  banyaknya profesor  adalah  n orang, maka

                 40 m – 35 m = 50 n – 40 n

5 m         = 10 n

m : n      = 10 : 5 = 2 : 1                     A

16.       Buatlah sketsa gambarnya sesuai informasi soal

        Diketahui  panjang AC = 25 cm, luas jajargenjang ABCD = 125, maka  AC  x DP = luas jajargenjang ABCD

25 x DP = 125 , maka panjang DP = 5 cm

Perhatikan segitiga APD siku-siku di  P , maka panjang  AP = 12 cm ( Ingat tripel Pythagoras)

Segitiga  APD kongruen dengan segitiga CQB (s-sd-sd) , maka panjang  AP = CQ, sehingga

2 x Panjang AP + panjang PQ = panjang AC

2 x 12  + panjang PQ = 25

Panjang PQ = 25 – 24 = 1 cm                          B

 

17.   Soal ini tentang penggunaan persamaan bentuk aljabar   (a + b)² = a² + 2ab + b²

Ubahlah  bilangan dalam tanda akar menjadi bentuk  kuadrat jumlah atau kuadrat selisih !

Untuk menghemat tempat, saya  uraikan secara terpisah

Jadi,   

 

18.      Diketahui :  1! = 1  , 2! = 2 x 1 = 2 ,  3! = 3 x 2 x 1 = 6,  4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24,   dan  5! = 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120

Perhatikan  angka satuan dari bilangan  n! , untuk  n ≥ 5  adalah 0 , jadi untuk mengetahui angka satuan dari

1!  + 2!  + 3!  + 4! + … + 2011!   Cukup kita hitung  jumlah dari 1!  + 2!  + 3! + 4!

1!  + 2!  + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33 .

Jadi,    1!  + 2!  + 3!  + 4! + … + 2011!   Adalah  suatu bilangan dengan angka satuan  3              A

 

19.      Cara menjawab soal ini , identik dengan soal no. 7 , perbedaannya  pada soal ini tempat duduk lebih 1 dari jumlah orang  yang menduduki.

Karena  2 orang yang bisa nyetir, maka tempat  duduk sopir kemungkinannya hanya dapat ditempati oleh 2 orang. Selanjutnya  hitung banyaknya cara tersisa  5 tempat duduk kosong yang dapat diisi oleh 4 orang.

Persoalan ini merupakan permutasi 4 tempat duduk terisi dari 5 tempat duduk kosong.  5 P 4 .

Jadi, banyaknya  cara duduk yang mungkin  adalah

 

20.      Buatlah sketsa gambarnya !

 

 Persegi   ABCD adalah  bingkai foto asal dengan panjang  AB = BC = CD= AD = 1 cm, sedangkan  persegi A’B’C’D’  hasil rotasi sebesar 45^o dengan pusat P .

Prinsip Rotasi (pemutaran)  suatu bidang tidak mengubah luas dan ukuran panjang sisi-sisinya.

Sehingga  panjang  A’B’ = panjang AB = 1 cm

Perhatikan  segitiga EA’F , FBG , GB’H  adalah segitiga-segitiga  siku-siku samakaki yang kongruen, maka

Panjang  EA’ = A’F = FB = BG = GB’ = B’H

Jika  panjang  A’F = a , maka  panjang

 Sedangkan  panjang  A’F + FG + GB’ = panjang  A’B’

 Luas  segitiga  FBG = 1/2 x FB x BG

                                  

 Luas  irisan  antara bingkai foto sebelum dan sesudah diputar = luas persegi ABCD – 4 x luas segitiga FBG

 

 ISIAN  SINGKAT

Lihat pembahasan :

1.     Diketahui  :  terdapat  5 permen (identik),  1 rasa apel, 2 rasa jeruk, dan 2 rasa jahe.

Peluang terambilnya  1 permen rasa  jahe = 2/5 , maka

Peluang  Anto mendapat  1 permen rasa jahe  adalah  2/5 .

2.        Gunakan sifat Distributif   untuk memudahkan perkalian tersebut !

999.999.999 x 12.345.679 = (1.000.000.000 – 1) x 12.345.679

= 12.345.679.000.000.000 – 12.345.679

= 12.345.678.987.654.321

Jumlah angka-angkanya    = 2 x ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8  ) + 9

= 2 x 1/2 x 8 ( 1 + 8 )  + 9

= 8 x 9  +  9

= 81

(Anda  dapat mempelajari  trik-trik metode Menghitung Cepat  Bill Handley , termasuk pengurangan bilangan berakhiran 0 di atas, menurut saya metode Bill lebih mudah dicerna penyajiannya dibanding Trachtenberg, walaupun inspirasinya dari Trachtenberg, selain adanya bukti  teori bilangan yang digunakan)

 

3.        Lengkapi gambar pada soal untuk memperoleh informasi  lebih lengkap !

Perhatikan  Segiempat BFDE adalah  layang-layang, maka segitiga BFD  kongruen dengan segitiga BED (sss).

Sedangkan luas segitiga BFD = luas segitiga BAD, (karena panjang AF = FD), sehingga

Luas layang-layang BFDE = luas segitiga siku-siku BAD = luas segitiga siku-siku ABC.

Dengan demikian , luas daerah EDFGH = luas segitiga ABC – luas segitiga BGH .

Selanjutnya  hitung luas segitiga BGH,  hitung panjang GH (sepintas GH = 1/3 AC, tetapi kita buktikan dulu)

Perhatikan segitiga BGI dan segitiga  BFJ (sd-sd)  sebangun, akibatnya :

luas daerah EDFGH             = luas segitiga ABC – luas segitiga BGH

                                                        = 1/2 x AC x BI –  1/2 x GH x BI

                                                        = 1/2 x AC x BI – 1/2 x 1/3 x AC x BI

= 1/2 x 2/3 x AC x BI

 

4.        Faktorkan bentuk selisih dua kuadrat tersebut !

1²  – 2² + 3² – 4² + 5² – … – 2010² + 2011² = J

J = 1 + (2 + 3)(-2 + 3)+(4 + 5)(-4 + 5)+ (6 + 7)(-6 + 7)+… + (2010 + 2011)(-2010 + 2011)

J = 1 + 5  + 9  + 13 + … + 4021

Jumlah bilangan-bilangan ini membentuk deret aritmetika dengan suku pertama 1 dan beda 4, selanjutnya hitung  banyaknya suku bilangan deret tersebut, jika  n  banyaknya suku-suku deret bilangan tersebut, maka

Un = 4n – 3

4021 = 4n – 3

4n  = 4021 + 3

4n  = 4024

n = 4024/4 = 1006

Sehingga   J = 1/2 x 1006 x ( 1 + 4021)

J = 1006 x 2011

J = (1000 + 6 ) x 2011

J = 2.011.000 + 12.066

J = 2.023.066

Jadi,  1²  – 2² + 3² – 4² + 5² – … – 2010² + 2011² = 2.023.066

 

5.        Jika  barisan  x₁ , x₂ , x₃ , …, x_n  yang memenuhi  x₁ + x₂ + x₃ + …+ x_n  = n³ ,  untuk semua n bilangan asli,

maka  berapakah  x₁₀₀ ?

Jawab :

x₁ = 1³

x₂ = 2³ – x₁= 2³ – 1³

x₃ = 3³ – x₂ – x₁ = 3³ – (2³ – 1³) – 1³ = 3³ – 2³

.                                                                      .       .

.                                                                      .       .

.                                                                      .       .

x_n =                                                            n³ – (n-1)³

Jadi,  x₁₀₀ = 100³ – (100 – 1)³

= 100³ – (100³ – 3 . 100² + 3 . 100 – 1³)

= 3 . 100² – 3 . 100 + 1

= 30.000 – 300 + 1

= 29.701

 

6.        Semua pasangan bilangan bulat (a, b)  yang memenuhi  2^a  = b² – 1 adalah …

Jawab :

Sedikit  analisa terlebih dahulu !

b² = 2^a + 1  ,  maka b² adalah bilangan kuadrat bersifat ganjil  dan karena (a, b) bilangan bulat , maka

haruslah a bilangan bulat positif, jadi a>0.

Selanjutnya  kita ketahui bahwa ;  2^a untuk a bilangan bulat positif merupakan bilangan genap dengan angka satuan 2, 4, 6, atau 8 , sedangkan  bilangan kuadrat ganjil antara lain 1 , 9, 25 , 49, dan 81 , tapi yang perlu kita coba dan periksa  bilangan kuadrat  dengan angka satuan  9 dan 5 , yaitu  9 , 25 , dan 49.

(karena 4+1 = 5, 8 + 1 = 9  lihat angka satuan dari 2^a )

Untuk  b² = 9 , maka  b = -3 atau b = 3,

dan  2^a + 1 = 9 diperoleh  2^a = 8 atau  a = 3 , sehingga pasangan (a, b) adalah (3, -3) dan (3, 3)

Untuk  b² = 25 , maka  b = -5 atau b = 5,

dan  2^a + 1 = 25 diperoleh  2^a = 24  maka tak ada bilangan bulat a  yang memenuhi

Untuk  b² = 49 , maka  b = -7 atau b = 7,

dan  2^a + 1 = 49 diperoleh  2^a = 48, maka tak ada bilangan bulat a  yang memenuhi.

Dengan demikian proses coba dan periksa tuntas,

Jadi,  Semua pasangan bilangan bulat (a, b)  yang memenuhi  2^a  = b² – 1 adalah (3, -3) dan (3, 3).

 

7.   Diketahui  banyaknya warna  angka 2 ada 5 warna,  sedangkan angka 0, dan 1 sebanyak 4 warna.

Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi perwarnaan tidak ada angka bersebelahan sewarna ?

Jawab :

Strateginya  kita hitung banyaknya semua  komposisi pewarnaan yang mungkin (tanpa syarat apapun), lalu kurangi  banyaknya  semua komposisi perwarnaan dengan sedikitnya sepasang angka yang bersebelahan berwarna sama.

Banyaknya semua komposisi warna  yang mungkin pada bilangan 2011 sebanyak = 5 x 4 x 4 x 4 = 320

1.   Banyaknya komposisi semua angka berwarna sama  sebanyak  4

2.   Banyaknya komposisi dengan angka 2, 0, 1 berwarna sama , tetapi angka terakhir 1 berbeda warna

Maksudnya  3 angka pertama berwarna sama.  (Ada  4 kemungkinan warna untuk 3 angka pertama, dan           ada 3 warna yang mungkin berbeda dengan warna pada 3 digit pertama)

Jai, banyaknya  ada  4 x 3 = 12.

Untuk menghitung banyaknya anda dapat menggambar diagram garis seperti berikut :

 

3.    Banyaknya  komposisi dengan angka  2 , 0 berwarna sama, tetapi  angka 1 , 1 berbeda, Ada   4 x 3 x 3 = 36.

Banyaknya  komposisi dengan angka  0 1 berwarna sama, tetapi  angka 2 , 1 berbeda

        Ada   4 x 4 x 3 = 48.

Banyaknya  komposisi dengan angka  1 , 1  berwarna sama, tetapi  angka 2 , 0 berbeda

        Ada   4 x 3 x 4 = 48.

Banyaknya  komposisi dengan angka  2 berbeda ,tetapi  angka 0, 1 , 1 sama

        Ada   1 x 4 = 4.  ( satu warna yaitu  nila untuk angka 2 )

Jumlah  komposisi dengan sedikitnya dua angka bersebelahan berwarna sama sebanyak

4 + 12 + 36 + 48 + 48 + 4 = 152.

Jadi,   Banyaknya bilangan 2011 dengan komposisi perwarnaan tidak ada angka bersebelahan sewarna

Sebanyak  320 – 152 = 168 .

 

8.   Diketahui  terdapat 500 kelereng yang sama yang terdiri dari 5 warna, masing-masing kelerang sewarna

sebanyak 100.  Berapa minimum banyaknya kelereng yang diambil agar memuat sedikitnya  5 kelereng berwarna sama?

Jawab :

Simak dengan cermat pertanyaanya !!

Jika kita ambil sebanyak 20 butir kelereng, maka mungkin terdapat sebanyak 4 butir kelereng dari masing-masing warna.

Jika kita ambil sebanyak 21 kelereng, maka dijamin paling sedikit terdapat 5 butir kelereng dengan warna yang sama (sewarna).

Jadi,  sebanyak  21 kelereng minimum yang harus diambil secara acak, agar dijamin diperoleh sedikitnya 5 butir kelereng dengan warna yang sama.

 

9.   Jika  (3 + 4)(3² + 4²) (3⁴ + 4⁴) (3⁸ + 4⁸) (3¹⁶ + 4¹⁶) (3³² + 4³²) = (4^x – 3^y) , maka  x – y = …?

Jawab :

Cara  Induktif :  Coba dan periksa

Menjawab soal seperti ini , ambil  sampel  sederhana (3 + 4)(3² + 4²)

(3 + 4)(3² + 4²) = 7 x 25 = 175 = 256 – 81 = (4⁴ – 3⁴)

Diperoleh  nilai x = 4 , dan y = 4 ,  sehingga   x – y = 0 .

Dengan kata lain  x dan y  bernilai sama.

Hal ini berlaku sama untuk soal tersebut nilai x = y = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) + 1 = 64

Cara  deduktif:

Ingat  pemfaktoran bentuk  perpangkatan suku dua !

Kita ambil  selisih pangkat 4 dari a dan b  .

a⁴ – b⁴   =  (a – b)(a³ + ab² + a²b + b³)

=  (a – b) (a + b)(a² + b² )

Untuk  a = 4 dan b = 3 , maka

4⁴ – 3⁴   = ( 4 – 3)(4 + 3)( 4² + 3²)

=  1 (4 + 3)( 4² + 3²)

=  (4 + 3)( 4² + 3²)

Tampak bahwa pangkatnya sama.

Di tingkat SMA  ini materi  pembagian istimewa atau Dalil sisa

Secara umum :

 

10.      Diketahui :  Himpunan H = { x , y , z } , dengan  x , y, z, bilangan bulat tidak negatif dan berbeda.

(x + y + z)/3 = 15, Tentukan  banyaknya semua himpunan H !

Jawab :

Dari  informasi soal bahwa  x , y, z  ≥ 0 , dan merupakan bilangan bulat berbeda.

(x + y + z)/3 = 15 ,  maka  x + y + z = 45 .

Dengan demikian  kita harus mencari  pasangan  bilangan x, y, z sehingga berjumlah 45.

Mulailah dari  yang terkecil  jika  x = 0 , maka  y = 1 , z = 44  maka pasangan berurutannya (0, 1, 44)

Pasangan bilangan yang lain adalah (0, 2, 43), (0, 3, 42), (0, 4, 41), (0, 5, 40), (0, 6, 39), (0, 7, 38),

(0, 8, 37), (0, 9, 36), (0, 10, 35), (0, 11, 34), (0, 12, 33), (0, 13, 32), (0, 14, 31), (0, 15, 30), (0, 16, 29),

(0, 17, 28), (0, 18, 27), (0, 19, 26), (0, 20, 25), (0, 21, 24), (0, 22, 23). Ada  22 pasangan bilangan.

Selanjutnya kita rumuskan  banyaknya pasangan bilangan tersebut .

Sebelumnya  didefinisikan notasi berikut :

 Jadi, itu notasi  perhitungan dengan pembulatan ke atas ( fungsi  ROUNDUP  dalam MS Excell)

perhatikan pasangan   (0, 1, 44) . Nilai  x = 0 , y = 1 , z = 44 ,

 Dengan demikian pasangan bilangan dengan x = 0 ,  sebanyak  22 pasang.

Selanjutnya :

Untuk  x = 1, salah satu sampel  (1, 2, 42)  terdapat  sebanyak

Untuk  x = 2 , salah satu sampel  (2, 3, 40)  terdapat  sebanyak  19 pasangan.

Untuk  x = 3 , salah satu sampel  (3, 4, 38)  terdapat  sebanyak  17 pasangan

Untuk  x = 4 , salah satu sampel  (4, 5, 36)  terdapat  sebanyak  16 pasangan

Untuk  x = 5 , salah satu sampel  (5, 6, 34)  terdapat  sebanyak  14 pasangan

Untuk  x = 6 , salah satu sampel  (6, 7, 32)  terdapat  sebanyak  13 pasangan

Untuk  x = 7 , salah satu sampel  (7, 8, 30)  terdapat  sebanyak  11 pasangan

Untuk  x = 8 , salah satu sampel  (8, 9, 28)  terdapat  sebanyak  10 pasangan

Untuk  x = 9 , salah satu sampel  (9, 10, 26)  terdapat  sebanyak  8 pasangan

Untuk  x = 10 , salah satu sampel  (10, 11, 24)  terdapat  sebanyak  7 pasangan

Untuk  x = 11 , salah satu sampel  (11, 12, 22)  terdapat  sebanyak  5 pasangan

Untuk  x = 12 , salah satu sampel  (12, 13, 20)  terdapat  sebanyak  4 pasangan

Untuk  x = 13 , salah satu sampel  (13, 14, 18)  terdapat  sebanyak  2 pasangan

Untuk  x = 14 ,  hanya 1 pasangan bilangan yaitu  (14, 15, 16) .

Jadi, banyaknya  himpunan H sebanyak

1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 8 + 10 + 11 + 13 + 14 + 16 + 17 + 19 + 20 + 22 = 169

REVIEW (melihat kembali )

Soal ini sama dengan , menentukan  banyaknya himpunan penyelesaian dari  persamaan ;

x + y + z = 45, dengan  x , y , dan z  bilangan bulat  tidak negatif , dan x, y, atau z , tidak sama.

Tentu, jika semesta pembicaraannya  hanya bilangan  bulat non negatif saja, lebih banyak lagi banyaknya himpunan penyelesaiannya, apalagi  jika semesta pembicaraannya bilangan bulat akan lebih banyak lagi banyaknya  himpunan penyelesaiannya.

 Alhamdulillah 30 soal sudah dibahas semoga bermanfaat, dan mohon kritik bila terdapat kekeliruan !