DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

JAWABAN PERTANYAAN RULI

Baru sempat saat ini pertanyaan saudara Ruli saya coba jawab, maklum padatnya kegiatan pasca UN . Siapapun orangnya saya anggap Ruli siswa SMP. Berikut jawaban menurut saya dan tiap orang punya cara jawab tersendiri sesuai dengan background pendidikannya. Soalnya kalau tidak salah copy sebagai berikut :

1. Saat ini umur Agus dan umur Fauzan kurang dari 100 tahun. Jika umur Agus dan Fauzan ditulis secara berurutan maka diperoleh suatu bilangan 4 digit yang merupakan kuadrat sempurna. Dua puluh tiga tahun kemudian ditulis dengan cara yang sama maka diperoleh bilangan 4 digit lain yang merupakan bilangan kudrat sempurna. Jika umur mereka diasumsikan merupakan bilanganbulat positif maka berapakah umur mereka saat ini ?

Jawab :

1.  Berdasarkan informasi soal umur Agus dan Fauzan merupakan puluhan, sehingga dapat ditulis:

Umur Agus = 10a + b , dan Umur  Fauzan = 10c + d , dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positif. Ditulis secara berurutan merupakan bilangan kuadrat, maka dapat ditulis : (10a + b) 10² + 10c + d = (10p + q)² ……………(1),

dengan p dan q bilangan bulat positif dimana p ≥ 3 , dan q ≥ 2 ( fakta bahwa 32² = 1024 bilangan kuadrat yang terdiri dari 4 digit). Ok Selanjutnya, 23 tahun kemudian jika umur mereka ditulis secara berurutan diperoleh bilangan kuadrat sempurna, maka dapat ditulis; [(a + 2)10 + (b + 3)] 10² + (c + 2)10 + (d + 3) = (10r + s)² …………………(2) dengan r , dan s bilangan bulat positif, dimana r ≥ 3 , dan s ≥ 2 Selajutnya terka nilai d yang mungkin lalu periksa !

Dengan memperhatikan persamaan (1) dan (2) , maka nilai d yang mungkin hanya 1 dan q = 9, Sehingga persamaan (1) menjadi :

(10a + b) 10² + 10c + 1 = (10p + 9)² = p² 10² + 2 . 9 . p . 10 + 81

= p² 10² + 18 p . 10 + 81

= p² 10² + (18 p + 8). 10 + 1

Jika p = 3 maka diperoleh; (10a + b) 10² + 10c + 1 = 3² 10² + (18 . 3 + 8). 10 + 1

= 3² 10² + (62). 10 + 1

= (3² + 6)10² + 2. 10 + 1

= 15 . 10² + 2 . 10 + 1

Dengan memperhatikan ruas kiri = ruas kanan diperoleh nilai       a = 1 ,    b = 5 ,     c = 2 , dan    d = 1

Selanjutnya periksa dengan substitusi ke persamaa (2) , diperoleh

[(1+2).10 + (5 + 3)] 10² + ( 2 + 2) . 10 + (1 + 3) = ( 10r + s)²

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = r² 10² + 2rs. 10 + s² ……………..(3)

Dari persamaan (3) diperoleh nilai s² = 4 , maka s = 2 , sehingga persamaan menjadi

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = r² 10² + 4r. 10 + 4 diperoleh bahwa 4r = 4 maka r = 1 , tapi tak memenuhi syarat r ≥ 3 .

Selajutnya coba dan periksa nilai r , kita ketahui 6² = 36 , Untuk r = 6 , maka persamaan (3) menjadi:

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = 6² .10² + 4. 6 10 + 4.

38 . 10² + 4 . 10 + 4 = 36 10² + 24. 10 + 4

= (36+2) 10²+ 4. 10 + 4

Tampak bahwa ruas kiri = ruas kanan, Dengan demikian 3844 merupakan bilangan kuadrat dari 62

Jadi, umur Agus dan Fauzan saat ini adalah 15 dan 21 tahun .

Tentu jika soal isian singkat , langsung periksa saja, apakah 3844 merupakan bilangan kuadrat?

2. Diketahui bilangan N mempunyai sifat berikut : 2 membagi N , 3 membagi N+1 , 4 membagi N+2, 5 membagi N+ 3, 6 membagi N+4 , 7 membagi N+5 , 8 membagi N+6 . Bilangan bulat positif pertama yang memiliki sifat seperti itu adalah 2 . Tentukan bilangan bulat positif ke- 5 yang memenuhi sifat-sifat di atas !

Jawab :

Soal ini ekuivalen dengan soal sebagai berikut :

Carilah bilangan N , jika dibagi 2 bersisa 0 , dibagi 3 bersisa 2, dibagi 4 bersisa 2, dibagi 5 bersisa 2, dibagi 6 bersisa 2, dibagi 7 bersisa 2 , dan dibagi 8 juga bersisa 2.

Tentu bilangan N banyaknya tak hingga, bilangan terkecil N diketahui yaitu 2 . dengan demikian bilangan N dapat dinyatakan :

N = 2 + k x (KPK dari (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  )

Karena 6 adalah  KPK (2, 3) ,   dan 8  kelipatan dari   2 da 4 ,      maka N = 2 + k x KPK (2, 3 , 4, 5, 7 )

dan KPK ( 2, 3, 4, 5, 7 ) = 2 x 3 x 4 x 5 x 7 = 120 x 7 = 840

Dengan demikian N = 2 + k . 840 , dengan k adalah bilangan Cacah.

Untuk  k = 0 diperoleh bilangan N pertama yaitu N = 2 ,

Untuk k = 1  diperoleh bilangan N  ke-2 yaitu N = 2 + 2 x 840 = 2 + 1680 = 1682.

Untuk k = 4 diperoleh bilangan N ke-5 yaitu N = 2 + 4 x 840 = 2 + 3360 = 3362.

Jadi, bilangan ke-5 yang bersifat seperti itu adalah 3362.

Demikian pembahasan saya, semoga dapat dipahami !

10 Juni 2011 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, TEORI BILANGAN | , ,

3 Komentar »

  1. salam kenal pak. Bagi rekan – rekan smp yang mau lihat pembahasan OSP SMP 2011 silakan mampir ke blogku. Aku sudah bahas lengkap, sekalian minta masukan dan koreksinya.

    Komentar oleh tutur | 17 Juli 2011 | Balas

  2. makasih ya pak ……… ditunggu lo pembahasan OSP 2011nya

    Komentar oleh ruli | 21 Juni 2011 | Balas

  3. itu soal OSP 2011 pak😀

    Komentar oleh iffah | 15 Juni 2011 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: