PEMFAKTORAN BENTUK KUADRAT ax^2 + bx + c

BEBERAPA CARA PEMFAKTORAN BENTUK  ax² + bx + c

Beberapa hal yang mendasar yang harus dipahami   siswa dalam mempelajari pemfaktoran bentuk kuadrat;

ax² + bx + c ,  dengan  a, b, dan c  anggota bilangan nyata,  dan  a  ≠ 0  , diantaranya;

•  arti  pemfaktoran;
•  penguasaan  kompetensi  prasyarat   yaitu, sifat distributive, FPB  dua bilangan bulat,  FPB  bentuk aljabar, serta factor-faktor dari suatu bilangan  bulat , pembagian bentuk aljabar, sifat distributive  dan;.
• algoritma  pemfaktoran

Sebelum  memfaktorkan bentuk aljabar di atas, simak dan pahami  uraian berikut:

a.   Arti  Memfaktorkan

Memfaktorkan bentuk aljabar  artinya  mengubah suatu bentuk penjumlahan suku-suku aljabar menjadi bentuk perkalian  factor-faktornya.

Memfaktorkan suatu bilangan bulat  artinya  menyatakan  suatu bilangan  dalam bentuk  perkalian factor-faktornya.

Faktor-faktor  suatu bilangan bulat ,adalah bilangan bulat yang membagi  habis(pembagi habis)  suatu bilangan bulat .

Membagi habis artinya  sisa pembagiannya  0 ( tidak bersisa).

Contoh 1.   Nyatakanlah   6 sebagai  perkalian dua factornya  !

Factor –actor  dari  6  adalah ,  1 , 2 , 3, dan 6  atau  -1, -2, -3, dan – 6 , maka  6  dapat dinyatakan sbb:

6 = 1 x 6  , atau           6 = 2 x 3   atau      , 6 = (-1) x (-6)     atau          6 = (-2) x (-3)

 Contoh 2.  Nyatakanlah  – 8  sebagai  perkalian dua factornya  !

 Pasangan  factor-faktor  dari – 8  adalah  (-1, 8), (1, -8) , ( -2, 4)  ,  (2, -4) , sehingga  -8  dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian  berikut:

– 8 =  (– 1) x 8  ,  atau    – 8 = 1 x (–8  ) ,  atau       – 8 = (-2) x 4  , atau         – 8 = 2 x (-4)

Simpulan:

Dari  dua contoh di atas  tampak  bahwa, sepasang faktor bilangan  bulat positif  bertanda sama, sedangkan  sepasang  faktor dari bilangan  bulat negative  berbeda tanda.

 b.  FPB  (Faktor Persekutuan Terbesar) atau Pembagi Bersama Terbesar (PBT)

1)         FPB  Dua Bilangan Bulat

Contoh:

 FPB  dari  3  dan  6  adalah  3 , karena  3 adalah  bilangan bulat  terbesar  yang  membagi habis  3  dan 6.  (3  Pembagi Bersama Terbesar dari  6 dan 3).

 Contoh:

FPB atau PBT  dari   12 dan  18  adalah   6 ,   karena  6 adalah  bilangan bulat  terbesar  yang  membagi habis,  12  dan 18.

Secara nalar  anda dapat  menentukannya dengan mudah, tetapi bagi siswa yang lambat berpikir  anda dapat menggunakan cara-cara  berikut:

Lakukan pembagian untuk bilangan 12 dan 18,  pertama  bagi dengan 2, hasil pembagiannya  6 dan 9. Selanjutnya  6 dan 9  di bagi 3  hasil pembagiannya  2 dan 3.

 Karena  hanya  1 yang habis membagi 2 dan 3 , maka  proses pembagian tuntas.

Jadi,  PBT(12, 18)  adalah   2 x 3 = 6 , sedangkan  KPK (12, 18) = 2 x 3 x 2 x 3 = 36

Atau  menggunakan  cara  berikut:

PBT (12, 18)      = PBT (18, 12)

                             =PBT(18 – 12 , 12) = PBT ( 6 , 12)

                             =PBT ( 12 – 6, 6)

                             =PBT ( 6, 6)

                             = 6

2)          FPB/PBT  Bentuk  Aljabar

FPB   dari  2x²y  dan  6xy²   adalah   2xy  ,  karena  2xy  membagi habis  2x²y  dan  6xy².

Dengan skema pembagian.

Jadi, PBT  2x²y  dan  6xy²   adalah  2 . x . y = 2xy , sedangkan  KPKnya = 2.x.y.x.3y = 6x²y²

3)         Sifat Disributif

a  . ( b + c ) = ab + ac ,  atau

ab + ac                  =  a ( b + c )

Proses pada bentuk  pertama  adalah  perkalian suku satu dengan suku dua, sedangkan bentuk yang terakhir  adalah              bentuk pemfaktoran suku dua  (ab + ac).

Tampak, bahwa  a dan (a + b)  adalah  factor-faktor dari  (ab + ac).

 Dan   a  adalah  PBT dari  ab  dan  ac.

Dengan skema pembagian:

c.     Memfaktorkan bentuk   ax²+ bx + c ,  dengan  a,b, c ε R , dan  a ≠ 0

Cara I

Perhatikan bentuk kuadrat  suku tiga;  ax²+ bx + c  , yang  dinyatakan  sebagai  perkalian suku dua dengan suku dua berikut;

Jika  bentuk ruas kanan  kita jabarkan seperti berikut:

Perhatikan suku-suku pada ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (B) tersebut, maka  haruslah

pq/a = c   atau   pq = ac  , dan  p + q = b .

Dengan demikian pekerjaan  kita  adalah menemukan  nilai p dan q  dengan dua syarat yang mengikat, yaitu

 p dan q   harus merupakan factor dari  ac dan jumlahnya harus  sama dengan  b ( koefisien x).

Secara skema dapat digambarkan sbb:

I.      Kasus  jika  nilai  a = 1

Bentuk  ax²+ bx + c , menjadi   x²+ bx + c  sehingga  bentuk pemfaktoran  persamaan  (A)  menjadi;

Dimana :   p.q = c  ,  dan   p + q = b

Contoh 1

Faktorkanlah   x²  – 11x  + 30

Diketahui  a = 1 , b = -11 , dan  c = 30 .  sehingga dapat ditulis;

x²  – 11x  + 30  =  (x + p) (x + q)

x²  – 11x  + 30 = (x – 5) (x – 6)

 

II.    Kasus  jika  nilai  a ≠ 1

Contoh 2

Faktorkanlah   3x²  – 11x  – 20

Diketahui  a = 3 , b = -11 , dan  c = – 20 .  sehingga dapat ditulis;

Selanjutnya  menemukan nilai p dan  q  yang memenuhi dua syarat  tersebut di atas, dengan cara coba dan periksa.  Buatlah skema  seperti diatas !

Selanjutnya  coba dan periksa nilai penggati  p dan q sebagai  factor  dari  -60. Karena  factor dari bilangan bulat  negative , maka  nilai  p dan  q  berbeda tanda. ( +  dan  – ) . Karena jumlahnya  -11, maka untuk memudahkan , langkah awal  kita tentukan  dari bilangan positif.

Jika  nilai p = +1  maka  q = -60 , dan  1 + (-60) = -59 ≠ -11,  jadi  tidak memenuhi.

Lanjutkan dengan  menentukan nilai  p  yang lebih dari  +1.

Jika  nilai p = +2  maka  q = -30 , dan  2 + (-30) = -29 ≠ -11,  jadi  tidak memenuhi.

Hal  ini dapat  dikalkulasi  dalam benak kita.

Jika  p = +4 , maka  q = (-60) : 4 = -15 ,  dan   4 + (-15) = -11, jadi  nilai  p = +4  dan q = -15  bilangan yang memenuhi.  Selanjutnya substitusi  ke dalam bentuk (A)  di atas !

Tampak  dengan cara seperti  ini, kita  masih harus  menyederhanakan.

Cara  II 

Bentuk  ax² + bx + c  dapat  kita tulis  sbb:      

    

Jika  ruas kanan  kita uraikan maka  diperoleh bentuk sbb:

Perhatikan suku-suku pada ruas kiri dan ruas kanan dari persamaan (B) tersebut, maka  haruslah

a₁ . a₂ = a  ,              c₁ . c₂ = c   ,  dan        (a₁.c₂ + a₂.c₁ ) =  b

Dengan kata lain,  kita harus menemukan sepasang factor dari  a (koefisien x²)  dan sepasang factor dari  konstanta c yang tepat, sehingga jumlah dari hasil kali sepasang factor a dan c sama dengan b (koefisien x).

Untuk memudahkan dapat kita buat skema berikut :

Contoh 3

Faktorkanlah  3x² +11 x  – 20  !

Selanjutnya  dengan coba-coba dan periksa, temukan jumlah dari hasil perkalian  sepasang factor  dari  3 dan (-20)  sehingga jumlahnya = 11.

Sepasang factor  dari 3  adalah (±3, ±1)  dan

Selanjutnya  kita  dapat  menghitung pasangan  factor  yang tepat yaitu, (3, 1)  dan  (-4, 5)  , karena

3 x 5 + 1 x (-4)= 15 – 4 = 11 ,   memenuhi syarat :  a₁.c₂ + a₂.c₁ =  b

 Tampak dengan cara seperti ini, bentuk pemfaktoran langsung diperoleh.

Cara ini  cocok untuk siswa yang terampil dalam penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.

Contoh 4

Faktorkanlah  -6x² – x  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Dengan cara coba dan periksa, kita dapat memeriksa jumlah hasil perkalian pasangan factor-faktor yang memenuhi syarat.

Pasangan factor yang memenuhi  yaitu, (+2 , -3)  dan  (5 , 7) , karena 2 x 7 + (-3) x 5 = 14 – 15 = -1

Memenuhi syarat:  a₁.c₂ + a₂.c₁ =  b

Cara  III

Dengan menggunakan sifat Distributif

Bentuk  ax² + bx + c  dapat  kita tulis  sbb:          

ax² + bx + c  = ax² + px +qx + c

Langkah pemfaktoran ini pada dasarkan mengubah  bentuk suku 3  menjadi suku 4 dengan mengubah suku  bx menjadi bentuk penjumlahan px + qx  dengan  pq = ac, kemudian langkah selanjutnya pemfaktoran dengan menggunakan sifat distributive.

Dengan skema  seperti diatas .

Contoh 5

Faktorkanlah  3x² +11 x  –  20  !

Diketahui:  a = 3  ,  b = 11 ,  c = -20

Karena  jumlahnya  11,  untuk memudahkan  kita mulai coba dan periksa dalam menentukan faktornya dari bilangan negative. Pasangan factor dari (-60) yang memenuhi adalah -4  dan +15.

Selanjutnya  bentuk kuadrat tersebut dapat ditulis sbb:

 3x² +11 x  –  20     = 3x² +15 x    – 4x – 20

                             = 3x (x + 5)    – 4 (x +5)             (sifat Distributif)

                             =(x + 5) (3x – 4)                         (sifat Distributif)

Atau  dapat anda tulis sbb:

3x² +11 x  –  20      = 3x²  – 4x + 15x – 20

                             = x (3x – 4) + 5 (3x – 4)              (sifat Distributif)

                             = (3x – 4) ( x + 5)                       (sifat Distributif)

Hasilnya  sama.

Contoh 6

Faktorkanlah  -6y² – y  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Karena jumlah faktornya -1, dengan coba dan periksa untuk memudahkan menentukan pasangan faktornya,  mulailah  dari bilangan positif  dengan mempertimbangkan syarat jumlahnya  -1 dan kemudian lakukan operasi pembagian.

Pasangan factor-faktor  dari -210  yang memenuhi adalah (14 , -15).

Selanjutnya  bentuk kuadrat tersebut dapat ditulis sbb:

-6y² – y  + 35    = -6y² – 15y    +14y + 35

                        = -3y ( 2y + 5 )   + 7 ( 2y + 5 )          (sifat Distributif)

                        = ( 2y + 5 ) ( -3y + 7 )                      (sifat Distributif)

Cara  IV

Cara  ini hanya penyederhanaan dari  cara III.  .

Contoh 6

Faktorkanlah  -6x² – x  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Selanjutnya  tulis seperti pada skema berikut;

Langkah ini dan langkah-langkah berikut yang sering saya  gunakan, karena langkah-langkah pemfaktoran dapat kita tulis langsung berikut  perhitungan bisa diselesaikan dalam benak kita.

Dari beberapa  cara, silahkan  gunakan cara yang anda rasa lebih  mudah dan dapat dipahami.

Simpulan:

Dari  semua  cara  yang telah diuraikan di atas,  penentuan  factor-faktor dari  ac yang jumlahnya sama dengan b  merupakan  syarat perlu serta  dalam penentuan  factor-faktornya menggunakan cara coba-coba  dan periksa. (try and check).

Sekarang   dapatkah  kita menentukan  factor-faktor nya  secara langsung (tanpa coba dan periksa)? Tentu  BISA 

Simak uraian  berikut ….

Cara  V

Bentuk  kuadrat    ax²+ bx + c ,  dengan  a,b, c ε R , dan  a ≠ 0  , dapat  kita tulis;

 

dengan   p.q = ac  ,  dan   p + q = b   dengan  p,q  ε bilangan  Bulat

 Jika  anda  analisa  nilai  p  dan  q merupakan  bilangan bulat, sedangkan himpunan bilangan bulat merupakan himpunan bagian (sub set) dari himpunan bilangan rasional.

Bilangan rasional adalah  bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  r / s  dengan s ≠ 0 dan  r dan  s  adalah  bilangan bulat .

 Dan jika  anda  analisa dari bentuk ax²+ bx + c =(a1x + p)(a2x +q) ,  nilai   b² – 4ac   (disebut diskriminan) merupakan bilangan kuadrat, sehingga dapat ditulis :

         b² – 4ac = k²  ,  dengan  k bilangan bulat positif.   Atau 

Selanjutnya;

         b² – 4ac = k²

↔     b² – k²    = 4ac

↔    (b + k) (b – k) = 4pq

 Karena  p dan q  factor  dari  ac yang merupakan bilangan bulat tertentu,  maka  dapat kita tentukan

                  

Gunakan rumus ini untuk menentukan factor-faktornya !

Contoh 7

Faktorkanlah  -6x² – x  + 35     !

Diketahui :   a = -6  ,  b = -1  dan  c = 35

Contoh 8

Faktorkanlah  -6x² – x   + 35     !

Menggunakan cara IV

Dengan menggunakan rumus  diatas diperoleh pasangan factor yang tepat adalah (+14 , -15)

Langkah pertama  kita faktorkan  -6x² –15 x = -3x(2x + 5)  , kemudian kita tulis:

Jadi,    -6x² – x   + 35 = (-3x + 7) (2x + 5)

Tampak,  dengan menggunakan rumus untuk p dan q  tersebut di atas, pasangan faktor  ac yang berjumlah b dapat ditentukan tanpa coba-coba dan periksa, dan rumus itu tak akan Anda banyak temukan di beberapa buku matematika karena memang hasil olah pikir penulis sendiri sebagai penggemar  matematika. Rumus ini sangat membantu terutama untuk bilangan yang cukup besar dan  cara pemfaktoran ke IV lebih singkat tanpa harus menyederhanakan lagi.

Semoga dapat dipahami