DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

PEMBAHASAN SOAL NO.9 KMP VIII PAKET B FINAL

Soal No. 9  KMP Paket B babak Final

Ada berapa jalan terpendek yang dapat dilalui semut dari titik  A menuju B?

Berhubung  beragamnya pendapat jawaban soal ini, penulis mencoba membahasanya secara detail menurut cara penulis mudah-mudahan tidak ada yang terlewatkan dalam perhitungannya..

Berikut penyelesaiannya :

Cara I:

Namai semua titik sudut, perhitungan kita lakukan beberapa langkah:

Langkah pertama:

Menghitung banyaknya rute yang melalui bidang-bidang sisi kubus tersebut. Mulai dari  A melalui B2 lalu menuju ke B.  ditulis “ A – B2 – B”

Karena dari B2  ke B  hanya ada 1 jalan terpendek , maka cukup kita hitung banyaknya jalan dari  A menuju B2  ( ditulis  A – B2). Perhatikan  segiempat  AA1B2B1 !

Banyaknya jalan terpendek dari A – B2 ada sebanyak 6 jalan, atau dapat kita hitung dengan kombinasi:

Jadi, banyaknya jalan terpendek dari  A – B2 – B  ada sebanyak = 6 x 1 = 6 .

Dengan cara yang sama, banyaknya jalan  dari  A melalui A1 menuju B, ditulis  A – A1 – B   ada sebanyak  6 jalan.

Tetapi dari dua perhitungan ini terdapat perhitungan ganda yaitu jalan A – A1 – B2 atau melalui rusuk  A1B2 , yang merupakan irisan bidang AA1B2B1  dan   A1A2BB2. Sehingga dalam perhitungan harus dikurangi 1 .

Kita ketahui banyaknya bidang sisi kubus  ada  6.

Maka banyaknya jalan terpendek melalui bidang-bidang sisi kubus ada  6 x 6 – 6 x 1 = 30.

Langkah kedua:

Menghitung banyaknya jalan dari A menuju B yang melalui rangka bidang  yang ada di dalam kubus yaitu segiempat C1C2C3C4, D1D2D3D4,  dan  E1E2E3E4.

Hitung banyaknya jalan terpendek dari  A – E1 – E3 – B

Karena dari E3  ke B  hanya ada 1 jalan , maka cukup kita hitung banyaknya jalan dari  E1 – E3.

Perhatikan segiempat E1E2E3E4, maka banyaknya jalan terpendek dari A – E1 – E3 – B  ada  6.

Dengan demikian banyaknya jalan  dari A yang melalui rangka bidang yang ada di dalam kubus ada sebanyak;  3 x 6 = 18 jalan.

Langkah ketiga:

Hitung banyaknya jalan terpendek yang berbeda dengan jalan pada langkah 1 dan 2.

Perhatikan  pada gambar, rangka bidang  segiempat  E1E2E3E4  !  gunakan aturan perkalian !

Banyaknya jalan dari  A – E1 – C2 – D6 – B = 1 x 2 x 1 x 2 = 4 jalan .

Banyaknya jalan dari  A – E1 – P2 – D6 – B = 1 x 2 x 1 x 2 = 4 jalan.

Banyaknya jalan dari  A – E1 – P1 – D2 – D6 – B = 1 x 1 x 1 x 1 x2 = 2 jalan.

Banyaknya jalan dari  A – E1 – P3 – D3 – B = 1 x 3 x 1 x 1 = 3 jalan.

Banyaknya jalan dari  A – E1 – E2 – D6 – C3 – B  = 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1 jalan.

Banyaknya jalan yang berbeda melalui rangka bidang  segiempat  E1E2E3E4 yang berbeda dengan jalan pada langkah 1 dan 2  ada sebanyak = 4 + 4+ 2 + 3 + 1 = 14 jalan.

Dengan cara yang sama banyaknya jalan berbeda dengan langkah 1 dan 2 yang melalui rangka bidang C1C2C3C4 , dan  D1D2D3D4  masing-masing ada sebanyak 14.

Dengan demikian banyaknya jalan berbeda dengan langkah 1 dan 2 sebanyak = 3 x 14 = 42.

Jadi, banyaknya jalan terpendek dari A ke B seluruhnya ada (30 + 18 + 42) = 90 jalan.     C

Cara II :

Cara Singkat.

Pandang jalan kekanan sebagai arah ke sumbu X (+) , arah depan ke sumbu Y (+), dan arah atas menuju sumbu Z (+). Ke kanan, ke depan dan ke atas masing-masing 2 step, sehingga persoalan ini dapat dipandang seperti menghitung banyaknya susunan  XX YY ZZ.

Ini merupakan persoalan permutasi dari sejumlah n objek berbeda, yang terdiri dari  n1 objek sama,

n2 objek sama, dan  n3 objek sama (dimana,  n1 + n2 + n3 = n ).

Maka banyaknya susunan sebanyak

6! / (2! . 2! . 2!) =  90 .

Simpulan:

Menjawab soal seperti ini memerlukan waktu lebih dari 2 menit karena menuntut kemampuan mengamati bangun ruang, (kecuali kita sudah memahami persoalan seperti itu) . Sebaiknya tangguhkan dulu soal seperti ini, kerjakan soal yang lain, karena soal seperti ini hanya akan menguras waktu serta energi saat kita mencoba menjawabnya dengan teliti.

Semoga dapat dipahami..

13 Maret 2012 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, GEOMETRI | ,

8 Komentar »

  1. Mohon maaf pak, bukannya kalau jalan terpendek itu seharusnya dari A ke C2, kemudian dari C2 dilanjutkan ke B atau dari A ke E4, kemudian dilanjutkan dari E4 ke B dst. logikanya ialah jalan terpendek itu harusnya garis lurus, jika bidang A1 A2 B B2 dibuka ke samping, maka jalan dari A ke B (yg lurus) adalah A C2 B

    Jadi hanya ada 4 cara saja.

    Thanks🙂

    Komentar oleh Evan Saputra | 31 Maret 2012 | Balas

    • Saya maafkan dan sy maklum… Betul pemahaman anda tentang jalan terpendek yg lurus2 saja..saya setuju, tetapi yg dimaksud soal yaitu banyaknya lintasan terpendek yg dilalui semut melalui kerangka bangun ruang berbentuk balok seperti pd gb. dari titik A ke B begitu, kalo bangun ruangnya seperti dus Indomie n bs di buka menjadi bidang datar jalan yg terpendek dari A ke B cuma 1 , lurus saja yah…

      Komentar oleh deni11math | 3 April 2012 | Balas

    • kalau dari A langsung ke C2, masa iya semut bisa jalan ngelewatin diagonal ruang.
      hehe..

      ini, sama kaya polynomial rook bukan yaa..???

      Komentar oleh dinda | 18 Oktober 2012 | Balas

  2. Mas…
    Apa enggak terpikir buat mengkompilasi seluruh soal dan pembahasan KMP ini dalam sebuah e-book?
    Tujuannya agar semua orang bisa sharing dan belajar dari e-book Mas itu…

    Demikian..
    Terima kasih…
    Viva Maths… Viva Science…

    Komentar oleh Sensei JoE | 14 Maret 2012 | Balas

    • Insyaallah klo suatu saat, thank sarannya.

      Komentar oleh deni11math | 14 Maret 2012 | Balas

  3. maaf pak, klo saya jawabnya 90.

    Untuk berjalan dari A ke B dengan jarak terpendek itu berarti kita berjalan ke kanan sebanyak 2 kali, ke belakang sebanyak 2 kali dan ke atas sebanyak 2 kali juga (tidak peduli bagaimana jalan yang kita tempuh). Jadi, pada dasarnya kita hanya mencari berapa banyak kombinasi jalan ke atas, ke belakang dan ke kanan yang bisa di ambil. Untuk memudahkannya, misal jalan ke kanan kita labeli dengan A, jalan ke belakang kita labeli dengan B dan jalan ke atas kita labeli dengan C. Jadi, bila kita tulis AABBCC maka equivalen dengan berjalan ke kanan 2 langkah dilanjutkan ke belakang 2 langkah dan ke atas 2 langkah.

    Dengan demikian, persoalan pada soal equivalen dengan mencari banyaknya susunan yang mungkin dari AABBCC yaitu sebanyak

    6!/(2!2!2!)=90

    Begitu menurut pendapat saya pak.

    Komentar oleh tutur | 13 Maret 2012 | Balas

    • Kayaknya ada yg terhitung ganda..tuh, tp ntar saya periksa lagi jawaban saya, padahal dgn cara spt itu saya dah berusaha tuk menghindari perhitungan ganda, ga apa2 kita sharing, thank..

      Komentar oleh deni11math | 14 Maret 2012 | Balas

    • Betul, mas setelah saya periksa, kenapa saya jadi salah menjumlahkan (30 + 18 + 42) = 90.
      Tetapi ide mas tutur briliant, sy dapat ilmu lagi thank..

      Komentar oleh deni11math | 14 Maret 2012 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: