DR-Page

Hanyalah Setetes Air di Laut Samudera yg Dalam

Berapakah sisa dari 12! dibagi 13 ?

Melalui satu komentar seseorang mengaku bernama Erwin menanyakan soal;

Berapakah  12! (mod13).

Siapapun Erwin saya pandang siswa SMP atau SMA.

Soal ini sama artinya dengan berapakah sisa dari  12 faktorial  dibagi 13?

Dalam  notasi (penulisan ) persamaan kongruensi modulo ditulis  12! ≡ x (mod 13), berapakah nilai x?

Jika kita hitung tuntas  12!  lalu dibagi 13, tentu cukup merepotkan, tetapi dengan menggunakan definisi faktorial

12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 dan sifat perkalian kongruensi modulo,  soal itu dapat kita jawab sebagai berikut:

12 x 1 = 12 ≡ 12 (mod 13)  atau  12 ≡ -1 (mod 13)

11 x 10 = 110 ≡ 6 (mod 13)

9 x 8 = 72 ≡  7 (mod 13)

7 x 6 = 42 ≡ 3 (mod 13)

5 x 4 = 20 ≡ 7 (mod 13)

3 x 2 = 6   ≡ 6 (mod 13)

Maka,

12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1            ≡ 12 . 6 . 7 . 3 . 7 . 6 (mod 13)

12!    ≡ 36 . 42 . 42 (mod 13)

12!    ≡ 10 . 3 . 3 (mod 13)

12!    ≡ 30 . 3 (mod 13)

12!    ≡  4 . 3  (mod 13)

12!    ≡ 12 (mod 13).

Atau dapat ditulis               12!    ≡ -1 (mod 13)

Jadi,  12! dibagi 13  sisanya 12 .

Review (lihat kembali soal yang sudah dijawab).

Perhatikan  bilangan pembagi, 13 merupakan bilangan prima, dan 12 = 13 – 1.

Dari soal tersebut kita dapat menentukan bahwa;

6! ≡ 6 (mod 7) atau  6!   ≡ -1 (mod 7)  , begitu pula  10! ≡ 10 (mod 11) atau 10! ≡ -1 (mod 11) ,              100! ≡ 100 (mod 101) dan sejenisnya, karena  7, 11, 101  adalah bilangan prima.

Secara umum;

Jika  p bilangan prima, maka (p – 1)! ≡ -1 (mod p) atau (p – 1)! + 1 ≡ 0 (mod p)

Dan jika tidak salah …ini yang dikenal dengan teorema Wilson, tetapi tanpa mengenal teorema itupun , demikian langkah menjawab soal tersebut sudah logis artinya dapat diterima atau dibuktikan dengan menggunakan sifat2 sisa pembagian. Begitu saudara-saudara…

Semoga dapat dipahami….

Iklan

6 April 2012 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, TEORI BILANGAN | , ,

1 Komentar »

  1. mantaps pak…. makasi atas ilmux

    Komentar oleh adimath17 | 8 Agustus 2012 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: