DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

PEMBAGIAN ISTIMEWA

PEMBAGIAN ISTIMEWA

Dari mesin pencari (search engine) yang masuk ke situs penulis, seseorang melontarkan satu pertanyaan berikut;

Buktikan bahwa; 

12001 + 22001 + 32001 + 42001 + … + 20002001+ 20012001  adalah kelipatan 13.

Soal ini akan lebih mudah dipahami siswa dengan redaksi sbb:

Buktikan bahwa;  12001 + 22001 + 32001 + 42001 + … + 20002001+ 20012001  habis dibagi 13.

Siapapun orangnya, berikut penulis sajikan jawabannya.

Dalam membuktikan soal tersebut, tak mungkin dan tak perlu kita lakukan perhitungan secara total dari jumlah bilangan berpangkat sebesar itu kemudian melakukan pembagian dengan 13.

Tentunya dengan sifat Keterbagian Bilangan persoalan di atas dapat dijawab. Salah satu sifat Keterbagian bilangan yaitu,  jika  a habis membagi b, dan b habis membagi c, maka a habis membagi c.  Selain dari sifat keterbagian tersebut ada satu keterbagian bentuk jumlah bilangan berpangkat ganjil sama habis dibagi jumlah bilangan pokoknya yang lazim disebut pembagian istimewa.

Salah satu dari sifat pembagian istimewa, yaitu

jumlah dua bilangan berpangkat sama ganjil, habis dibagi jumlah bilangan yang dipangkatkan.

Dalam penulisan matematika ditulis sbb:

12001 + 22001 + 32001 + 42001 + … + 20002001+ 20012001 , selanjutnya kita pilah sepasang-sepasang bilangan itu sehingga menjadi;

(12001 + 20012001) +(22001 + 20002001) + (32001 + 19992001)+ ….+ (10002001 + 10022001)+ 10012001.

Dengan menggunakan sifat pembagian istimewa tersebut, diketahui bahwa;

(12001 + 20012001) habis dibagi (1 + 2001)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.

Jadi, 12001 + 20012001  habis dibagi 13.

Dengan cara yang sama,

(22001 + 20002001) habis dibagi (2 + 2002)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.

Jadi, 22001 + 20002001  habis dibagi 13.

Begitu pula sepasang-sepasang bilangan berikutnya yaitu; (32001 + 19992001), (42001 + 19982001) , (52001 + 19972001), …., dan (10002001 + 10022001) habis dibagi 13.

Perhatikan !

(10002001 + 10022001) habis dibagi (1000 + 1002)= 2002, sedangkan 2002 = 13 x 154.

Jadi, 10002001 + 10022001  habis dibagi 13.

Dengan menggunakan salah satu sifat keterbagian tersebut di atas,

satu bilangan terakhir yaitu, 10012001 habis juga dibagi 13, karena  1001 = 77 x 13.

Dengan demikian cukup langkah pembuktikan bahwa;

12001 + 22001 + 32001 + 42001 + … + 20002001+ 20012001 merupakan kelipatan 13.

Kenapa bentuk bilangan seperti itu habis dibagi, dan bagaimana penurunan bentuk secara umum tersebut dapat diperoleh, simak uraian berikut!;

1.    Apa itu pembagian istimewa?

Pembagian istimewa dapat dipahami sebagai operasi pembagian dari jumlah atau selisih  dua bilangan berpangkat sama, dengan jumlah atau selisih bilangan yang dipangkatkan  yang menghasilkan sisa pembagian nol (habis dibagi).

Sebagai contoh dalam bentuk aljabar;

Kita pahami dari bentuk;   a5 – b5    , a dan b   disebut  bilangan pokok(bilangan yang dipangkatkan)  , dan 5 adalah pangkatnya.

Akan terjawab dan mudah dipahami jika kita lakukan pembagian secara konvensional .

Sebelumnya kita periksa apakah  a5 – b5  habis dibagi dengan (a – b) ? Simak uraian berikut;

Pada skema pembagian berikut: ruas kiri sebagai pembagi, ruas tengah  yang dibagi dan sisa sedangkan  ruas kanan sebagai hasil pembagian.

Pembagian tahap 1

Tampak, bahwa  sisanya  a4b – b5 , dan sisa itu harus dibagi lagi dengan (a – b).

Tetapi karena  a4b – b5 = b ( a4 – b4) , maka  pembagian itu akan habis,   jika   a4 – b4 habis dibagi (a – b).

Pembagian Tahap 2

Selanjutnya bahwa, a4 – b4   akan habis dibagi dengan (a – b) , jika  (a3– b3)  habis dibagi  dengan  (a – b).

Pembagian Tahap 3

Selanjutnya bahwa, a3 – b3   akan habis dibagi dengan (a – b) , jika  (a2– b2)  habis dibagi  dengan  (a – b).

Pembagian Tahap 4

Tampak bahwa, (a2– b2)  habis dibagi  dengan  (a – b), karena sisanya b (a – b) habis dibagi (a – b).

Dengan demikian  a 5 – b5  habis dibagi (a – b), sehingga secara konvensional dapat kita bagi seperti berikut;
Pembagian Konvensional
Atau  dapat ditulis;

Tampak bahwa, a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4  merupakan hasil pembagian, perhatikan polanya!!

  • Pangkat dari bilangan-bilangan pokoknya; pangkat a menurun 1 dan pangkat b naik 1 secara berturutan;
  • Semua suku-sukunya bertanda positif

Dari hasil pemeriksaan  pembagian diatas, diperoleh informasi bahwa;

a2 – b2    habis dibagi  (a – b)

a3 – b3    habis dibagi  (a – b)

a4 – b4    habis dibagi  (a – b)

a5 – b5    habis dibagi  (a – b)

Dari pemeriksaan pembagian dengan (a – b) hingga pangkat 5 tersebut, kita dapat menyimpulkan secara umum bahwa;

Selisih dua bentuk aljabar berpangkat sama   habis dibagi   dengan selisih bilangan pokoknya.

Dalam notasi matematika ditulis;

 

Contoh 1.

Berapakah  (74 – 44) : (7 – 4) ?

Jawab:

Cara lain dengan pemfaktoran bentuk selisih dua kuadrat:

=11 x (49 + 16) = 11 x 65 = 715

 

Contoh 2.

Soal PASIAD

Jawab:

Ingat bentuk pembagian selisih pangkat 4 dengan selisih bilangan pokoknya;

 Contoh 3.

Jawab:

Karena  bentuk x3 – y3  habis dibagi (x – y), maka  (x – y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x3 – y3 = (x – y) (x2 +xy + y2)

 

2.        Bentuk –bentuk  Apa saja yang Habis Dibagi  (a + b) ?

Bentuk apa saja yang habis dibagi (a + b)  tanpa harus melakukan pemeriksaan?

Kita pahami bahwa; a + b = a – (-b) , sehingga dapat ditulis bahwa;

a2 – (-b)2  atau  a2 – b2

a3 – (-b)3  atau  a3 + b3

a4 – (-b)4  atau  a4 – b4

a5 – (-b)5  atau  a5 + b5

a6 – (-b)6  atau  a6 – b6

a7 – (-b)7  atau  a7 + b7

dst…

Perhatikan dari uraian  tersebut, dengan menggunakan sifat  (1) kita memperoleh dua simpulan secara umum;

Pertama :

Selisih dua suku bentuk aljabar berpangkat sama genap,  habis dibagi  (a + b).

Dalam notasi matematika ditulis;

Bentuk Selisih Berpangkat Genap Sama

Perhatikan bentuk hasil pembagian!!

  • Suku-sukunya bertanda positif dan negatif.
  • Suku-suku yang bertanda negatif yaitu suku yang memuat varibel b  yang berpangkat ganjil.

Contoh 4.

Jawab:

Hasil Bagi

Kedua :

Jumlah  dua suku bentuk aljabar berpangkat sama ganjil habis dibagi  (a + b).

Dalam notasi matematika ditulis;

Bentuk Jumlah Berpangkat Ganjil Sama

Perhatikan bentuk hasil pembagian!!

  • Suku-sukunya bertanda positif dan negatif.
  • Suku-suku yang bertanda negatif yaitu suku yang memuat varibel b  yang berpangkat ganjil.

Contoh 5.

Jawab:

Karena  bentuk x3 + y3  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x3 + y3 = (x + y) (x2 –xy + y2)

 Contoh 6.

Jawab:

Karena  bentuk x5 + y5  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x5 + y5 = (x + y) (x4 –x3y + x2 y2 – xy3 + y4 )

 Contoh 7.

Jawab:

Menurut sifat (1) ,   bentuk x6 – y6  habis dibagi (x – y), maka  (x – y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x6 – y6 = (x – y) (x5 +x4y + x3 y2 + x2y3 + xy4 + y5 ).

Menurut sifat (2) ,   bentuk x6 – y6  habis dibagi (x + y), maka  (x + y) merupakan faktornya, sehingga ditulis;

x6 – y6 = (x + y) (x5 –x4y + x3 y2 – x2y3 + xy4 – y5 ).

Bentuk  x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3 , menurut sifat (1),  habis dibagi (x2 – y2 ), dan  hasil baginya ((x2)2 +x2 y2 + (y2)2) , sehingga dapat ditulis;

x6 – y6    = (x2 – y2 ) ((x2)2 +x2 y2 + (y2)2 )

= (x2 – y2 ) ( x4 +x2 y2 + y4 )

= ( x + y )( x – y )(x4 +x2 y2 + y4 )

Bentuk  x6 – y6 = (x3)2 – (y3)2 , menurut sifat (1),  habis dibagi (x3 – y3 ), dan hasil baginya (x3 +y3 ) , sehingga dapat ditulis;

x6 – y6    = (x3 – y3 ) ( x3 + y3 )

Menurut sifat (1),  x3 – y3  habis dibagi (x – y) , dan hasil baginya (x2 +xy +y2 ) ,sehingga  bentuk  x6 – y6 dapat difaktorkan lagi menjadi;

x6 – y6    = ( x – y )(x2 +xy +y2 ) ( x3 + y3 )

Selanjutnya menurut sifat (3),  x3 + y3  habis dibagi (x + y) , dan hasil baginya (x2 –xy +y2 ) ,sehingga  bentuk  x6 – y6 dapat difaktorkan lagi menjadi;

x6 – y6    = ( x – y )(x2 +xy +y2 ) (x + y) (x2 –xy +y2 )

Dari uraian tersebut di atas, sedikitnya terdapat 6 bentuk pemfaktoran dari  x6 – y6  selain bentuk itu sendiri.

 3.    Apakah bentuk  an + bn  habis dibagi  (a – b) ?

Kita periksa apakah  a5 + b5 habis dibagi (a – b)

Pembagian Konvensional

Selanjutnya bahwa  a5 + b5  habis dibagi  (a – b)  jika  a4 + b4  habis dibagi (a – b), dan seterusnya hingga akhirnya

(a + b ) harus habis dibagi (a – b)   dan itu  hal yang tak mungkin.

Jadi, bentuk  jumlah dua suku berpangkat sama  tidak habis dibagi  selisih bilangan pokoknya.

Simpulan:

Ada 3  bentuk  yang termasuk pembagian istimewa, yaitu :

Bentuk Selisih Berpangkat Sama

Bentuk Selisih Berpangkat Genap Sama

Bentuk Jumlah Berpangkat Ganjil Sama

Manfaat memahami pembagian istimewa selain kita dapat menyederhanakan  pembagian bentuk dua suku berpangkat sama dengan selisih atau jumlah bilangan pokoknya, kita juga dapat memfaktorkan  jumlah atau selisih  dua suku  bentuk berpangkat sama.

Semoga dapat dipahami dan bermanfaat…

 

12 Oktober 2013 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, TEORI BILANGAN | , , , ,

Belum ada komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: