DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

Pembahasan Lengkap Soal KMP SMP Se-Indonesia Final Th. 2014

PEMBAHASAN LENGKAP SOAL

KOMPETISI MATEMATIKA PASIAD SE-INDONESIA X 2014

BABAK FINAL TINGKAT SMP

TYPE SOAL D

Soal Kompetisi Matematika PASIAD Se-Indonesia babak Final Tingkat SMP tahun 2014 ini menguji pemahaman materi-materi pembelajaran tentang bilangan real dan bilangan bulat yang dikemas dalam bentuk aljabar yang tidak sederhana, Faktorial suatu bilangan, Keterbagian suatu bilangan bulat, deret bilangan bulat positif dan pecahan , barisan aritmetika dan geometri, satu soal bilangan pecahan, 3 soal fungsi rekursif, 1 soal fungsi bilangan bulat terbesar, 2 soal teori peluang, kombinasi, permutasi, Persamaan, Pertidaksamaan, fungsi kuadrat, 2 soal geometri, dan 1 soal transformasi (rotasi). Secara umum soal KMP mutlak menuntut kemampuan peserta untuk terampil dalam menganalisis dan memanipulasi bentuk-bentuk aljabar.

Pembahasan ini menurut versi penulis yang mungkin saja tak luput dari kesalahan, walaupun penulis berusaha menjawab soal-soal ini dengan konsep matematika sebatas pengetahuan yang penulis kuasai. Oleh karena itu pembahasan yang legal dari pembuat soal PASIAD. Tetapi sebaik-baiknya pembahasan adalah jawaban yang anda temukan sendiri dengan benar, karena hal itulah yang akan menjadi pengalaman belajar yang berharga untuk anda sendiri. Jadi jadikan pembahasan ini sebagai pembanding, mudah-mudahan anda dapat menambah wawasan pengetahuan anda tentang matematika berikut cara menjawab soal kompetisi matematika Pasiad.

 Berikut beberapa soal yang menuntut keterampilan aljabar dalam memanipulasi bentuk aljabar, dan menyajikan bentuk bilangan dalam menjawabnya tanpa harus melakukan kalkulasi bilangan-bilangan dengan rumit. Selamat menyimak.

  1. PILIHAN GANDA

Soal No. 1

Tentukan hasil penjumlahan dari semua bilangan bulat A yang mempunyai sifat bahwa

image001

A.   6               B. -6              C. 5               D. -5             E. 7

Jawab:

Kita harus menemukan nilai A yang merupakan bilangan bulat sehingga pembagian bentuk aljabar tersebut merupakan bilangan bulat. Jika kita coba-coba dan periksa nilai A dengan menggantinya maka tentu akan menyita waktu dan tanpa arah. Langkah yang harus kita lakukan adalah menyederhanakan bentuk pembagian tersebut!

image002

 

Dari bentuk sederhana itu, kita lebih mudah menentukan nilai A .

Agar hasil pembagian itu merupakan bilangan bulat, maka haruslah nilai dari 2A + 3 merupakan faktor (pembagi) dari 5. Kita ketahui faktor-faktor dari 5 adalah -1, -5 , 1, dan 5.

2A + 3 = – 1  ⇔ 2A = -1 – 3 , maka A = -4/2 = -2

2A + 3 = – 5 ⇔ A = -4

2A + 3 = 1   ⇔ A = -1

2A + 3 = 5   ⇔ A = 1

Jadi, jumlah semua nilai A = (-2) + (-4) + (-1) + 1 = -6                 B

Soal No. 6

Ada berapa (x, y, z) real yang memenuhi x + yz = y + zx = z + xy = -1 ?

A.  0                B. 1               C. 3               D. 6               E. 24

Jawab:

Diketahui;         x + yz = -1 …….. (1)

y + xz = -1 …….. (2)

z + xy = -1 …….. (1)

Persamaan (1) = Persamaan (2), maka dapat ditulis;

⇔         x + yz = y + xz

⇔         yz – xz = y – x

⇔         z(y – x)= y – x

⇔         z         = y – x /(y – x)

⇔         z         = 1     (dimana y ≠ x)

Substitusi z = 1 ke persamaan (3) diperoleh;

1 + xy = -1

⇔         xy = – 2 atau y = -2/x        …..(4)

Substitusi y = -2/x ke persamaan (1) atau (2) diperoleh;

x -2/x = -1     (kedua ruas dikali x diperoleh;

⇔         x2 + x – 2 = 0

⇔         (x +2) (x – 1) = 0

Dipenuhi untuk x = – 2 , atau x = 1   Selanjutnya substitusi masing-masing nilai x ke persamaan (4) diperoleh nilai y sbb:

Untuk x = – 2 , diperoleh y = -2/-2 = 1 , maka pasangan bilangan (-2, 1, 1).

Untuk x = 1 , diperoleh y = -2/1 = -2 , maka pasangan bilangan (1, -2, 1) .

Dengan cara yang serupa, kita dapat mencari nilai yang lainnya tetapi karena bentuk ketiga persamaan simetri,maka satu pasang nilai x, y dan z yang memenuhi adalah (1, 1, -2) .

Jadi, ada 3 bilangan real yang memenuhi                  C.

 

Soal No. 7

Ada berapa (x, y) bulat positif yang memenuhi x2 = 65 + 2y ?

A.   1                B. 2              C. 3              D. 4              E. Tak hingga

Jawab:

Soal ini menuntut kemampuan menguraikan bentuk kuadrat suku dua . Nyatakan ruas kanan dalam bentuk hasil kuadrat jumlah suku dua, yaitu; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .

x2 = 65 + 2y     ⇔  x2 = 64 + 2y + 1 = 26 + 2y + 1 = (23)2 + 2. 23 . 1 + 1 = (23 + 1)2

⇔  2y = 2. 23 = 24 , maka y = 4, sehingga x = 23 + 1 = 9

Pasangan bilangan bulat positif (9, 4)

x2 = 2y + 64 + 1 = 2y + 26 + 1 = 210 + 2. 25 . 1 + 1 = (25)2 + 25+1 + 1 = (25 + 1)2

⇔  2y = 210 , maka y = 10, sehingga x = 25 + 1 = 32 + 1 = 33

Pasangan bilangan bulat positif (33, 10).

Karena tidak ada lagi bentuk pemfaktoran dari 26 .

Jadi, banyaknya pasangan (x, y) bilangan bulat positif ada 2  B.


Soal No. 8

ab adalah bilangan dua digit dan (ab)2 – (ba)2 = 693 , Cari a2 + b2 .

  1. A.  68             B. 51            C. 25             D. 61            E. 75

Jawab:

Dalam hal ini kita harus mencari berapa nilai a dan b ? Dengan melihat bentuk selisih dua kuadrat bilangan yang susunan angkanya dipertukarkan bernilai positif, maka haruslah nilai a > b .

Ambillah sebuah bilangan dua digit, kemudian temukan karakteristiknya.

Misalkan : 21 + 12 = 33 = 3 x 11 = (2 + 1) x 11 = (jumlah angkanya) x 11

Sedangkan 21 – 12 = 9 = 1 x 9 = (2 – 1) x 9 = (selisih angkanya) x 9

Kembali ke soal sebenarnya.

(ab)2 – (ba)2 =   (ab + ba)(ab – ba)    = 693  (ingat bentuk selisih dua kuadrat)

= 77 x 9

= 7 x 11 x 1 x 9

Dengan mengacu kepada sifat di atas, maka haruslah,

a + b   = 7

a – b = 1

________ +

2 a      = 8 , maka a = 4   , dan b = 3 sehingga a2 + b2 = 42 + 32 = 25           C.

 
Soal No. 9

Tentukan banyaknya (x, y) real yang memenuhi sistem persamaan berikut:

image003

A. 0                 B. 4              C. 3              D. 2              E. 1

Jawab:

Sedikit kita analisa bentuk aljabar tersebut, tampak bahwa nilai x , y merupakan bilangan bulat positif dan karena bentuknya simetri maka nilai x, dan y yang memenuhi haruslah x = y.

Substitusi y diperoleh;

image004

image005

image006

Dipenuhi :

x = 0 atau 5x4 – 8x3 + 2x2 + 1 = 0

Perhatikan bentuk 5x4 – 8x3 + 2x2 + 1, jumlah koefisien-koefisiennya yaitu 5 – 8 +2+1 = 0, maka x = 1, merupakan akarnya, sehingga dapat ditulis;

5x4 – 8x3 + 2x2 + 1   = 0

⇔         (x – 1)(5x3 – 3x2 – x – 1) = 0 ,

Karena jumlah koefisien-koefisien dari bentuk 5x3 – 3x2 – x – 1 adalah 0, maka x = 1 merupakan akarnya, sehingga dapat kita faktorkan lagi

⇔         (x – 1) (x – 1) (5x2 +2x + 1) = 0 , karena bentuk 5x2 +2x + 1 bernilai positif untuk setiap nilai x bilangan real, sehingga tak dapat difaktorkan lagi.

Sehingga persamaan terakhir dipenuhi jika x – 1 = 0 , atau x= 1.

Selanjutnya untuk nilai x = 0, diperoleh nilai y = 0, pasangan bilangan (0, 0), dan

untuk nilai x = 1, diperoleh nilai y = 1, pasangan bilangan (1, 1).

Jadi, nilai (x, y) bilangan real yang memenuhi (0, 0) dan (1, 1) ada 2         D.

 

Soal No. 10

Apa nilai terkecil b , dengan sifat bahwa jika b < y < 1 , maka y3 + y2 < y + 1-2

A. -2             B. -1/3          C. 1/2           D. -1            E. 0

Jawab:

Selesaikan pertidaksamaan tersebut!

y3 + y2 < y + 1

⇔      y3 + y2 – y – 1 < 0 , karena jumlah koefisien-koefisiennya = 0, maka y = 1 merupakan pembuat nol, atau akarnya, sehingga dapat kita faktorkan sbb:

⇔       (y – 1) (y2 + 2y +1 ) < 0

⇔       (y – 1) (y +1)2 < 0

Maka pembuat nol fungsi tersebut adalah y = 1, atau y = -1, tetapi nilai ini tidak memenuhi, karena pertidaksamaan bernilai negatif atau < 0 .

Jadi, nilai y yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah -1 < y < 1 atau y < -1 .

Tampak pada garis bilangan penyelesaiaan pertidaksamaan tersebut dapat digambarkan sbb:

image007

Dari pilihan jawaban yang ada, maka nilai b terkecil adalah -2        A.

Cara Lain dengan coba dan periksa nilai dari pilihan jawaban yang ada dengan mengganti nilai y pada petidaksamaan tsb sehingga menjadi ketidaksamaan yang benar. (-2)3 + (-2)2 < -2 + 1 ⇔ -8 + 4 = -4 < -1 benar memenuhi.

 

Soal No. 11

i)     2 ·3 = 12

ii)    3 ·2 = 18

iii)  4 ·4 = 64

iv)  2 ·5 = ?

Jika operasi “·” efeknya sama pada tiap persamaan, hasil dari operasi keempat adalah ….

A.  10              B. 20            C. 30            D. 40            E. 50

Jawab:

Nyatakan hasil operasi “ ·” dalam operasi standar yang sama dengan melibatkan 2 unsur yang dioperasikan pada operasi “ ·” .

2 ·3 = 4 x 3 = 2 x 2 x 3 = 22 x 3 = 12

3 ·2 = 9 x 2 = 3 x 3 x 2 = 32 x 2 = 18

4 ·4 = 16 x 4 = 4 x 4 x 4 = 42 x 4 = 64 , maka

2 ·5 = 22 x 5 = 4 x 5 = 20             B

 

Soal No. 13

Diketahui x , y real dan memenuhi dua ketaksamaan berikut ini sekaligus

x + y > 1 + xy ,        x2 + y2 > 1 + x2 y2

Diantara lima pilihan di bawah ini, mana yang selalu berlaku?

A.   x + y < – 2     B. x + y = 2        C. x + y > – 2        D. x + y > 2             E. xy > 2

Jawab:

Jika kita amati dua pertidaksamaan tersebut ekuivalen (setara atau sama ), tampak jika pertidaksamaan yang satu  dikuadratkan, maka menghasilkan pertidaksamaan yang lainnya (sebelah kanan), jadi dalam hal ini kita tidak perlu mengeliminasi atau mensubstitusi salah satu pertidaksamaan ke pertidaksanaan yang lainnya.

Yang perlu kita lakukan yaitu, mengubah satu pertidaksamaan linear tersebut ke dalam bentuk seperti yang disediakan dalam pilihan jawaban, ok kita mulai.

x + y > 1 + xy

⇔  x – xy > 1 – y

⇔  x (1– y) > 1 – y

⇔  x > (1 – y)/(1 – y) , dengan y ≠ 1

⇔  x > 1   ………. (1)

Dengan cara yang serupa kita dapat tulis;

x + y > 1 + xy

⇔  y – xy > 1 – x

⇔ y (1– x) > 1 – x

⇔   y > (1 – x)/(1 – x) , dengan x ≠ 1

⇔  y > 1   ………. (2)

pertidaksamaan (1) + pertidaksamaan (2), diperoleh x + y > 2

Jadi, yang selalu berlaku x + y > 2               D.

 

Soal No. 16

Diberikan suatu bilangan real p dengan sifat p 3 + p 2 + 1 = 0, Jika c adalah bilangan real terbesar yang memenuhi pc 2 + pc + 1 = 0 , maka cp 2 = ?

A.   2p              B. – p2 – 1               C. 1              D. 0               E. -1

Jawab:

Dari bentuk persamaan p 3 + p 2 + 1 = 0, maka nilai p < 0 (negatif), tetapi tidak mudah mencari nilai p yang tidak bulat, begitu pula dengan nilai c tidak diketahui.

Dengan demikian kita tak perlu mencari kedua nilai tsb.

Perhatikan kedua persamaan bernilai nol, maka kita peroleh persamaan sbb:

p 3 + p 2 + 1   = pc 2 + pc + 1

⇔       p 3 + p 2         = pc 2 + pc

⇔       p 2 + p           = c 2 + c        (kedua ruas di bagi p, karena p ≠ 0)

⇔                 p      = c

Karena c = p    , maka persamaan pc 2 + pc + 1 = 0 , dapat kita tulis;

cp 2 + p 2 + 1 = 0

                      ⇔       cp 2     = – p 2 – 1                B.

 

Soal No. 17

image008

image009

Jawab:

Jumlahkan tiga suku deret bilangan tersebut, kemudian amati polanya, dan buat simpulan.

image010

image011

 

Soal No. 18

Jika x6 – 2x4 – 2x3 + x2 + 2x + 1 = 0, maka x2 – 1/x = ?

A.  – 1             B. – 2                     C. – 3/2                  D. 1              E. 2

Jawab:

Jika kita amati akar persamaan pangkat 6 tersebut bukan bilangan bulat, tetapi bilangan irasional, karena tidak mudah mencari nilai x , maka tak perlu kita mencari nilai x.

Yang perlu kita lakukan adalah menjabarkan yang diketahui menuju bentuk yang ditanyakan;

x6 – 2x4 – 2x3 + x2 + 2x + 1= 0

⇔         x6 – 2x4 – x3 + x2 + 2x        = x3 – 1

image012

image013

image014

Pada ruas kiri lakukan pembagian biasa, maka diperoleh;

image015

image016

image017

image018image019

⇔         p2 + 1 = 2p

⇔         p2 – 2p + 1 = 0

⇔         (p – 1)2 = 0

⇔         p = 1

image020

Download pembahasan lengkap klik link berikut :

Download Pembahasan OSN Tk. Kota 2014

 

 

30 April 2014 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, GEOMETRI, TEORI BILANGAN, TEORI PELUANG | ,

3 Komentar »

  1. soal kmp 11 ada gak pak?

    Komentar oleh mega dwi | 18 Februari 2015 | Balas

  2. permisi pak , yang paket A nya ada gak ya?

    Komentar oleh mega dwi | 18 Februari 2015 | Balas

    • Ga punya, tp setiap paket relatif sama type soalnya.

      Komentar oleh deni11math | 19 Februari 2015 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: