DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

SOAL MATEMATIKA

Dari hasil pencarian mesin pencari (search engine) yang masuk, seseorang mencari jawaban sebuah soal yang redaksinya sebagai berikut:

Carilah dua bilangan, jika jumlah dua bilangan dibagi selisihnya sama dengan 2 sisanya 27 ?

Penyelesaian:

Soal ini menuntut kemampuan : mengidentifikasi soal , memahami soal, menyatakan dalam bentuk aljabar, mengubah bentuk aljabar , memahami bentuk aljabar, menentukan metode penyelesaian, dan membuat simpulan secara umum.

Mengidentifikasi Soal: Soal ini berkaitan dengan pembagian bilangan bulat positif dan persamaan linear dua variabel.

Memahami Soal :

Soal ini , mencari dua bilangan bulat positif yang tidak diketahui yang memenuhi kriteria soal.

Karena dua bilangan tersebut tidak diketahui nilainya, maka dua bilangan itu merupakan variabel sehingga dapat kita tulis masing-masing bilangan tersebut a dan b , dimana a > b dan a dan b adalah bilangan bulat positif atau dapat ditulis a > b > 0 .

 Menyatakan bentuk aljabar:

Berdasarkan informasi soal:

Jika jumlah dua bilangan dibagi selisihnya sama dengan 2 sisanya 27, maka dapat kita tulis:

Apabila anda belum memahami bentuk aljabar tersebut, ambilah bilangan bulat yang kecil, misalnya; 7 : 3 = 2 sisa 1, dalam penulisan lain kesamaan tersebut dapat ditulis;

 

Mengubah bentuk aljabar :

Kembali ke persoalan.

Persamaan ..(1) merupakan Persamaan linear dua variabel, jika kedua ruas persamaan (1) dikali (ab ), maka diperoleh;

a + b = 2(ab) + 27 …….(2)

Memahami bentuk aljabar :

Selanjutnya kita akan mencari nilai a dan b, tetapi terlebih dahulu sedikit kita analisa. Perhatikan bentuk aljabar terakhir …(2), tampak bahwa jumlah kedua bilangan itu yaitu (a + b) merupakan bilangan bulat ganjil, karena         2(ab) bernilai genap (lihat pengali 2), dan 27 bernilai ganjil. Ok!?

Karena (a + b) merupakan bilangan bulat ganjil, maka (ab) merupakan bilangan bulat positif ganjil juga.

Karena sisa pembagian (a + b) oleh (ab) bersisa 27, maka haruslah pembaginya yaitu (ab) > 27, dan bilangan bulat positif ganjil terkecil yang memenuhi adalah 29, sehingga dapat ditulis bahwa;

ab = 29   ……..(3)

Menentukan Metode Penyelesaian :

Selanjutnya substitusi persamaan….(3) ke dalam persamaan ….(2) diperoleh;

a + b = 2 x 29 + 27

a + b = 85   ……………..(4)

Persamaan (3) dan (4) membentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV).

Selanjutnya metode yang tepat dan efisien dalam menentukan solusi dari dua persamaan (3) dan (4) ini adalah metode eliminasi-substitusi.

Eliminasi b ;

ab = 29

a + b = 85

________________ +

2a      = 114

a    = 114/2 = 57

Substitusi nilai a = 57   ke dalam persamaan (3) atau (4). (bebas pilih), sehingga persamaan (3) menjadi

     b = 57 – 29= 28.

Jadi, dua bilangan bulat positif terkecil itu adalah   57   dan   28.

Dengan demikian dua bilangan tersebut bukanlah satu-satunya, tetapi banyaknya tak hingga.

– Lanjutkan untuk nilai ab = 31, maka nilai a + b = 89, sehingga dengan metode yang sama diperoleh nilai a = 60 dan b = 29.

– Lanjutkan untuk nilai ab = 33, maka nilai a + b = 93, sehingga dengan metode yang sama diperoleh nilai a = 63 dan b = 30.

 Membuat simpulan:

Perhatikan bilangan pertama a yaitu : 57, 60, 63, … membentuk barisan aritmetika dengan beda = 3, sehingga suku ke-n barisan ini yaitu U1 + (n – 1)x beda = 57 + (n -1) x 3 = 3n + 54 ,

begitu juga bilangan kedua b yaitu: 28, 29, 30, … membentuk barisan aritmetika dengan beda = 1, sehingga suku ke-n barisan ini yaitu U1 + (n – 1)x beda = 28 + (n -1) x 1 = n + 27 .

Dari masing-masing bilangan tersebut dapat disimpulkan secara umum:

Bilangan pertama ; a = 3n + 54 , dan

Bilangan kedua      ; b = n + 27 ,       dengan  n   adalah bilangan asli.

Inilah jawab umum dari soal tersebut.

Demikian penyelesaian soal ini penulis sajikan dengan menggunakan konsep SPLDV dan suku ke-n barisan aritmetika, agar dapat dipahami oleh siswa SMP kelas IX yang sudah belajar barisan bilangan atau siswa SMA.

Semoga dapat dipahami dan menambah wawasan anda…

11 Oktober 2015 - Posted by | ALJABAR, BAHAS SOAL, TEORI BILANGAN, UMUM | , , ,

1 Komentar »

  1. a + b = 2(a – b) + 27 …… itu bukannya kalau dikalikan dengan a-b menjadi A+B=2+27

    Komentar oleh Irvan Achmad Ashari | 2 Juli 2016 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: