DR-Math's

Berusaha Berbagi Walau Satu Kata

GOLDEN RATIO

GOLDEN RATIO

Istilah Golden Ratio disebut juga golden mean, golden section , extreme and mean ratio, medial section, divine proportion, divine section , golden proportion, golden cut, and golden number. Istilah ini lahir bergantung dari kajian atau studi yang dilakukan. Karena kajian Golden Ratio tidak hanya menjadi kajian ahli matematika tetapi menjadi kajian para ahli lainnya seperti; ahli biologi, seniman, ahli sejarah, ahli arsitektur, ahli musik, ahli psikologi dan yang lainnya.
Kajian tentang Golden Ratio bukanlah kajian yang lahir saat ini, bahkan konon ratusan tahun sebelum Masehi, lebih dari seorang ahli matematika ratusan tahun sebelum Euclid lahir telah mengkaji masalah ini, tetapi Euclid-lah orang yang pertama menetapkan definisi tentang apa yang sekarang disebut Golden Ratio dalam bukunya “Element”, begitu kata Ancient Greek seorang ahli Matematika yang pertama mempelajari apa yang didefinisikan Euclid yang sekarang disebut Golden Ratio.

Apa itu Golden Ratio ?
Dalam matematika, dua kuantitas dikatakan dalam Golden Ratio, jika nilai perbandingan (rasio) jumlah keduanya terhadap kuantitas yang terbesar sama dengan nilai perbandingan kuantitas yang terbesar terhadap yang terkecil.
Secara geometri diilustrasikan seperti berikut:

Secara aljabar dinyatakan dengan dua kuantitas a dan b , dengan a > b > 0

image002

Euclid dalam bukunya “Element” mendefinisikan apa yang sekarang disebut Golden Ratio. “A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.
Euclid juga menjelaskan suatu konstruksi untuk memotong bagian suatu garis lurus berikut bukti-buktinya.
Sejalan dengan apa yang didefinisikan Euclid, dalam buku Ilmu Ukur M.A. De Baan and J.C. Bos terjemahan berbahasa indonesia, dijelaskan perbandingan yang dimaksud Golden Ratio, dalam istilah perbandingan tengah dan luar.

Yang dimaksud perbandingan tengah dan luar adalah jika pada suatu segmen garis AB kita konstruksi sebuah titik P, sehingga bagian yang terpanjang merupakan pembanding tengah antara bagian yang terpendek dan garis AB, maka dikatakan garis itu terbagi atas perbandingan tengah dan luar.
Jika panjang segmen garis AB = a, dan panjang AP = n, maka PB = a – n , dengan AP > PB atau n > (a – n) > 0.

image003

Perbandingan panjang PB : AP = AP : AB atau
(a – n ): n = n : a , atau   n 2 = a (an )  atau  n 2  + ana 2 = 0,
Selanjutnya kita pandang ini suatu persamaan kuadrat dalam n , karena n >0, maka diperoleh n = – ½ a + ½ a √5 = ½ a (√5 – 1).
Dengan demikian panjang AP = ½ a (√5 – 1), dan
panjang PB = a – ½ a (√5 – 1) = 3/2 a – ½ a √5 = ½ a (3 – √5).

Selanjutnya kita bandingkan panjang AP : PB.
panjang AP : PB = ½ a (√5 – 1) : ½ a (3 – √5) = (√5 – 1) : (3 – √5)
Rasio (√5 – 1) : (3 – √5) ini bersifat tetap, dan dapat dikatakan bahwa titik P membagi segmen garis AB dalam Golden Ratio.

Bagaimana cara membaginya?
Dalam geometri konstruksi, sedikitnya ada dua cara membagi segmen garis agar menghasilkan Golden Ratio, yaitu pembagian dalam dan pembagian luar suatu segmen garis.

  1. Membagi suatu segmen garis AB dengan pembagian dalam (Interior Division)
    Alat: Jangka dan Penggaris
    – Pada segmen garis AB = a , konstruksi titik T ditengah-tengah AB, (konstruksi sumbu garis AB)
    – Konstruksi segmen garis BD tegak lurus AB di titik B,
    – Gambar busur lingkaran pusat di B berjari-jari TB= ½ a =, sehingga memotong garis BD dititik C.
    – Konstruksi garis AC (hypotenusa), maka terbentuk ∆ ABC siku-siku di B.
    – Gambar busur lingkaran pusat di C berjari-jari CB sehingga memotong AC di titik Q,
    – Gambar busur lingkaran pusat di A berjari-jari AQ, sehingga memotong AB di P , maka AP = ½ a(√5 – 1) , dan PB = ½ a (3 – √5)

image004

 

2.  Membagi suatu segmen garis AB dengan pembagian luar (Exterior Division)

– Pada segmen garis AP , konstruksi garis PC tegak lurus AP sehingga panjang PC = AP
– Konstruksi titik T ditengah-tengah AP
– Konstruksi garis TC , maka terbentuk ∆ TPC siku-siku di P.
– Buat busur lingkaran pusat di T berjari-jari TC sehingga memotong perpanjangan segmen garis AP di titik B.
– Titik P membagi segmen garis AB dalam Golden Ratio.atau segmen garis AP dan PB disebut potongan keemasan (Golden Cut).

image005

Jika panjang AB = a, dan AP = y, maka panjang PB = a – y , TP = ½ y, PC = y, dan TC = TB = ½ y √5.
Panjang PB = TB – TP ,maka  a – y = ½ y √5 – ½ y
½ y √5 + ½ y = a
y (√5 + 1) = 2a , diperoleh

image006

Panjang PB = a – y = a – 2a/(√5+1) = (a√5-a)/(√5+1) = a (√5-1)/(√5+1)

Selanjuntnya kita hitung AP : PB
AP/PB= ( 2a / (√5+1) )/ ( a (√5-1)/(√5+1) ) = 2 / (√5-1)

Penerapan dari konstruksi ratio perbandingan ini dalam geometri, diantaranya dalam mengkonstruksi segi-5 dan segi-10 dalam beraturan.
Akibat langsungnya kita dapat mengkonstruksi besar  ∠ 72°, ∠36°, ∠18°, ∠9°, dst, hanya dengan Jangka dan penggaris.

Nilai Golden Ratio dalam bentuk Desimal
Rasio (√5 – 1) : (3 – √5) = 1,6180339887498948482….
Rasio 2 : (√5 – 1) = 1,6180339887498948482….
Bilangan ini tergolong bilangan Irrasional, dan dua algoritma di atas menunjukkan bahwa rasio yang diperoleh sama.
Bilangan 1,6180339887498948482…. = φ (phi) , (jangan keliru bukan π (pi) = 3,14…).

Disadur dari Wikipedia dan Terjemahan Buku M.A. De Baan and J.C. Bos

Semoga menambah wawasan kita tentang Matematika

5 November 2016 - Posted by | GEOMETRI, TEORI BILANGAN | , , , , , ,

1 Komentar »

  1. Terima kasih….telah membranous saya dalam menyelesaikan tugas pada GP. Guru Pembelajaran

    Komentar oleh Mia Kusmiyati | 20 November 2016 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: