DR-Page

Hanyalah Setetes Air di Laut Samudera yg Dalam

GOLDEN RATIO

GOLDEN RATIO

Istilah Golden Ratio disebut juga golden mean, golden section , extreme and mean ratio, medial section, divine proportion, divine section , golden proportion, golden cut, and golden number. Istilah ini lahir bergantung dari kajian atau studi yang dilakukan. Karena kajian Golden Ratio tidak hanya menjadi kajian ahli matematika tetapi menjadi kajian para ahli lainnya seperti; ahli biologi, seniman, ahli sejarah, ahli arsitektur, ahli musik, ahli psikologi dan yang lainnya.
Kajian tentang Golden Ratio bukanlah kajian yang lahir saat ini, bahkan konon ratusan tahun sebelum Masehi, ratusan tahun sebelum Euclid’s lahir, lebih dari seorang ahli matematika  telah mengkaji masalah ini, tetapi Euclid’s-lah orang yang pertama menetapkan definisi tentang apa yang sekarang disebut Golden Ratio dalam bukunya “Elements”, di dalam Buku 6 : Bentuk-bentuk Sebangun (Similar Figures)  ,definisi ke-2 yang sekarang disebut Golden Ratio. Tetapi yang pasti  Golden Ratio adalah bilangan milik Alloh SWT. Golden Ratio disebut juga bilangan Ilahiyah,  sebagaimana tercantum dalam Al-Qur’an surat Ali-Imron ayat 96. “Sesungguhnya rumah(Ibadah) pertama yang dibangun untuk manusia, ialah (Baitullah) yang di Bakkah(Mekkah) yang diberkahi dan menjadi petunjuk bagi seluruh alam“. Jumlah huruf  ayat ini adalah 47, dan  47 /1,618 ≈  29,  dan terdapat 29 huruf dari awal kata sampai dengan kata Bakkah.

Apa itu Golden Ratio ?
Dalam matematika, dua kuantitas dikatakan dalam Golden Ratio, jika nilai perbandingan (rasio) jumlah keduanya terhadap kuantitas yang terbesar sama dengan nilai perbandingan kuantitas yang terbesar terhadap yang terkecil.
Secara geometri diilustrasikan seperti berikut:

Secara aljabar dinyatakan dengan dua kuantitas a dan b , dengan a > b > 0

image002

Dalam  “Elements” yaitu:  Buku ke-6  Bentuk-bentuk Sebangun (Similar Figures) , definisi ke-2, Euclid’s mengatakan : “A straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the lesser.
Euclid’s juga menjelaskan suatu konstruksi untuk memotong bagian suatu garis lurus berikut bukti-buktinya.
Sejalan dengan apa yang didefinisikan Euclid’s, dalam buku Ilmu Ukur M.A. De Baan and J.C. Bos terjemahan berbahasa indonesia, dijelaskan perbandingan yang dimaksud Golden Ratio, dalam istilah perbandingan tengah dan luar.

Yang dimaksud perbandingan tengah dan luar adalah jika pada suatu segmen garis AB kita konstruksi sebuah titik P, sehingga bagian yang terpanjang merupakan pembanding tengah antara bagian yang terpendek dan garis AB, maka dikatakan garis itu terbagi atas perbandingan tengah dan luar.
Jika panjang segmen garis AB = a, dan panjang AP = n, maka PB = a – n , dengan AP > PB atau n > (a – n) > 0.

image003

Perbandingan panjang PB : AP = AP : AB atau
(a – n ): n = n : a , atau   n 2 = a (an )  atau  n 2  + ana 2 = 0,
Tampak bentuk itu suatu persamaan kuadrat dalam n , karena n >0, maka diperoleh n = – ½ a + ½ a √5 = ½ a (√5 – 1).
Dengan demikian panjang AP = ½ a (√5 – 1), dan
panjang PB = a – ½ a (√5 – 1) = 3/2 a – ½ a √5 = ½ a (3 – √5).

Selanjutnya kita bandingkan panjang AP : PB.
panjang AP : PB = ½ a (√5 – 1) : ½ a (3 – √5) = (√5 – 1) : (3 – √5)
Rasio (√5 – 1) : (3 – √5) ini bersifat tetap, dan dapat dikatakan bahwa titik P membagi segmen garis AB dalam Golden Ratio.

Bagaimana cara membaginya?
Dalam geometri konstruksi, sedikitnya ada dua cara membagi segmen garis agar menghasilkan Golden Ratio, yaitu pembagian dalam dan pembagian luar suatu segmen garis.

  1. Membagi suatu segmen garis AB dengan pembagian dalam (Interior Division)
    Alat: Jangka dan Penggaris
    – Pada segmen garis AB = a , konstruksi titik T ditengah-tengah AB, (konstruksi sumbu garis AB)
    – Konstruksi segmen garis BD tegak lurus AB di titik B,
    – Gambar busur lingkaran pusat di B berjari-jari TB= ½ a =, sehingga memotong garis BD dititik C.
    – Konstruksi garis AC (hypotenusa), maka terbentuk ∆ ABC siku-siku di B.
    – Gambar busur lingkaran pusat di C berjari-jari CB sehingga memotong AC di titik Q,
    – Gambar busur lingkaran pusat di A berjari-jari AQ, sehingga memotong AB di P , maka AP = ½ a(√5 – 1) , dan PB = ½ a (3 – √5)

image004

 

2.  Membagi suatu segmen garis AB dengan pembagian luar (Exterior Division)

– Pada segmen garis AP , konstruksi garis PC tegak lurus AP sehingga panjang PC = AP
– Konstruksi titik T ditengah-tengah AP
– Konstruksi garis TC , maka terbentuk ∆ TPC siku-siku di P.
– Buat busur lingkaran pusat di T berjari-jari TC sehingga memotong perpanjangan segmen garis AP di titik B.
– Titik P membagi segmen garis AB dalam Golden Ratio.atau segmen garis AP dan PB disebut potongan keemasan (Golden Cut).

image005

Jika panjang AB = a, dan AP = y, maka panjang PB = a – y , TP = ½ y, PC = y, dan TC = TB = ½ y √5.
Panjang PB = TB – TP ,maka  a – y = ½ y √5 – ½ y
½ y √5 + ½ y = a
y (√5 + 1) = 2a , diperoleh

image006

Panjang PB = a – y = a – 2a/(√5+1) = (a√5-a)/(√5+1) = a (√5-1)/(√5+1)

Selanjuntnya kita hitung AP : PB
AP/PB= ( 2a / (√5+1) )/ ( a (√5-1)/(√5+1) ) = 2 / (√5-1)

Penerapan dari konstruksi ratio perbandingan ini dalam geometri, diantaranya dalam mengkonstruksi segi-5 dan segi-10 dalam beraturan.
Akibat langsungnya kita dapat mengkonstruksi besar  ∠ 72°, ∠36°, ∠18°, ∠9°, dst, hanya dengan Jangka dan penggaris.

Nilai Golden Ratio dalam bentuk Desimal
Rasio (√5 – 1) : (3 – √5) = 1,6180339887498948482….
Rasio 2 : (√5 – 1) = 1,6180339887498948482….
Bilangan ini tergolong bilangan Irrasional, dan dua algoritma di atas menunjukkan bahwa rasio yang diperoleh sama.
Bilangan 1,6180339887498948482…. = φ (phi) , (jangan keliru bukan π (pi) = 3,14…).

Golden Ratio dalam Barisan Bilangan  Fibonacci

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 44, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

Jika  n menyatakan  suku bilangan dari barisan bilangan tersebut , untuk n > 2, maka  bilangan suku ke-n  dibagi  bilangan suku ke- (n-1) merupakan Golden Ratio.

Misalnya :

144/89 =   1,6179

233/144                =   1,618

377/233                =   1,618

610/377                =   1,618

Dan seterusnya  nilai perbandingannya  konstan yaitu:  1,618..

 

Golden Ratio pada Bagian Tubuh Manusia

Contoh rata-rata rasio emas pada bagian tubuh manusia adalah jika jarak dari pusar hingga telapak kaki  dianggap sebagai 1 unit, maka tinggi seorang manusia setara dengan 1,6.. unit.

Beberapa  rata-rata rasio emas lain, pada bagian tubuh manusia adalah jarak dari ujung jari hingga siku : jarak dari pergelangan tangan hingga siku,  jarak dari garis bahu hingga ujung atas kepala : panjang kepala, jarak dari pusar hingga ujung atas kepala : jarak dari garis bahu hingga ujung atas kepala, dan jarak dari pusar ke lutut : jarak dari lutut ke telapak kaki.

 

Kota Mekkah adalah The Golden Ratio Point of the World

Perbandingan  jarak antara Mekkah – Kutub Utara dengan jarak antara Mekkah – Kutub Selatan adalah  1,618.

Perbandingan  jarak antara Mekkah –Kutub Selatan  dengan  jarak kedua Kutub adalah  1,618.

Masih banyak lagi kajian seputar bangunan Ka’bah, lokasi kota Mekkah yang berkaitan dengan bilangan yang disebut Golden Ratio.

 

Sumber:

Al-Qur’anulkarim , Euclid’s Elements of Geometry ,  Translated in Enggris Modern by  Richard Fitzpatrick, Edition Revised 2008,  Buku M.A. De Baan and J.C. Bos (Terjemahan Bahasa Indonesia), Buku 13 Misteri di Kota Mekkah ( Penyusun Dedi), dan Wikipedia.

Semoga menambah wawasan kita tentang Golden Ratio

Iklan

5 November 2016 - Posted by | GEOMETRI, TEORI BILANGAN | , , , , , ,

1 Komentar »

  1. Terima kasih….telah membranous saya dalam menyelesaikan tugas pada GP. Guru Pembelajaran

    Komentar oleh Mia Kusmiyati | 20 November 2016 | Balas


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: