Soal Geometri Klasik

SOAL GEOMETRI KLASIK (EUCLIDS)

TENTANG  SEGITIGA DAN PERSEGIPANJANG

Soal tentang Geometri ini termasuk persoalan jaman dulu sebelum masehi  (problem Antiquty-math). Soal ini pertama saya dapatkan dari Ayahanda usai sarapan pagi bersama. Selain berbagi, sepertinya seorang Ayah ingin mengetahui pengetahuan anaknya yang baru mengenal Geometri.

Kini penulis mencoba membahasnya secara lebih lengkap daripada yang pernah dibahas ayahanda dihadapan saya dan saudara kandung. Soal ini cocok untuk mahasiswa jurusan pendidikan matematika , guru muda dan penggemar matematika untuk sekedar menambah wawasan.

           Redaksi soalnya sebagai berikut:

Dengan menggunakan  alat tulis, penggaris dan sebuah jangka.

Pada salah satu sisi sebuah segitiga sembarang terdapat sebuah titik, dari titik tersebut gambarlah sebuah garis sehingga membagi segitiga  menjadi dua bagian yang sama luasnya.

 

Sebaiknya anda coba jawab dulu,  sebelum lihat pembahasan !

Inventarisir data soal kemudian sedikit analisa.

Diketahui: segitiga ABC dan sebuah titik P pada salah satu sisinya misalkan sisi AC.

Ada 3 kemungkinan tempat kedudukan titik P pada sisi AC yaitu :

1. Titik P  terletak ditengah-tengah AC , dimana  jarak AP = jarak PC
2. Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA > jarak PC
3. Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA < jarak PC

1. Untuk kasus titik  P  terletak ditengah-tengah AC , dimana  jarak AP = jarak PC.

Buat garis BP dan garis BP adalah salah satu garis berat segitiga ABC dari titik sudut B.

Sangat mudah menggambarnya.

Harus ditunjukkan bahwa :

luas segitiga  APB = luas segitiga PCB

Buat garis tinggi BE  tegak lurus AC.

luas  segitiga  APB      = ½ x AP x BE

                              = ½ x PC x BE  (karena panjang AP = PC )

                              = luas daerah segitiga PCB  (yang harus ditunjukkan)

Dengan sifat garis berat segitiga dan garis-garis parallel (sejajar), kita akan membuktikan untuk kasus berikutnya.

2.   Untuk kasus  Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA > PC.

Seperti pada gambar berikut :

Langkah menggambar :

• Buat  segmen garis  PB
• Buat garis perpanjangan AB
• Buat garis melalui C sejajar garis  PB sehingga memotong perpanjangan garis AB di titik D    (A – B – D) , simak langkah-langkah menggambarnya :

–       Dengan sebuah jangka, gambar  busur lingkaran yang berpusat di titik B dengan panjang jari-jari  sama dengan panjang PC, selanjutnya ditulis (B ; PC);

–       Gambar busur lingkaran (C ; PB) sehingga memotong busur lingkaran (B ; PC) di titik T.

–       Gambar garis  CT  sehingga memotong perpanjangan garis AB di titik D   (A – B – D).

(garis CD // garis PB)

 

• Selanjutnya tentukan titik tengah AD sehingga jarak AE= jarak ED, anda dapat menggunakan cara menggambar sumbu garis AD.
• Buat segmen garis PE, segmen garis PE adalah garis yang membagi segitiga ABC  menjadi dua bagian yang sama luasnya.

Yang harus ditunjukkan adalah,

luas segitiga PAE = luas segiempat PEBC

 

–        Buat garis bantu PD sehingga memotong segmen garis BC di titik Q.

–        Perhatikan segiempat PBDC adalah trapesium, (karena PB // CD) !!

Karena panjang alasnya sama yaitu PB dan tingginya sama karena PB // CD), maka

Luas segitiga  PBC                             = luas segitiga  BPD

Luas segitiga PBQ + luas segitiga PQC = luas segitiga PBQ + luas segitiga BQD

               Jadi, Luas segitiga PQC       = luas segitiga BQD

 

Perhatikan segitiga PAD  !

Luas segitiga PAE  = luas segitiga PED (karena  panjang AE = ED)   

                                    = luas segiempat PEBQ + luas segitiga BQD

                                    = luas segiempat PEBQ + luas segitiga PQC

                                    = luas segiempat PEBC  (yang harus ditunjukkan)

3.   Untuk kasus  Titik P  diantara  A dan C , ( A – P – C )  dimana  jarak PA < PC.

Seperti pada gambar berikut :

Langkah-langkah menggambar :

• Buat  segmen garis  PB
• Buat garis perpanjangan CB
• Buat garis melalui A sejajar garis  PB sehingga memotong perpanjangan garis CB di titik D    (C – B – D),  langkah-langkah menggambarnya  analog dengan  kasus (B).
• Tentukan titik tengah  segmen garis CD yaitu  E , sehingga  panjang CE = panjang ED.
• Buat segmen garis  PE, segmen garis PE adalah garis yang membagi dua segitiga ABC membagi dua bagian yang sama luasnya.

Tampak seperti pada  gambar berikut:

Harus ditunjukkan bahwa, luas segitiga CPE = luas segiempat PABE.

 

–        Buat garis bantu PD sehingga memotong segmen garis AB di titik F.

–        Perhatikan  trapesium PBDA, (karena PB // AD) !!

Karena panjang alasnya sama yaitu PB dan tingginya sama karena PB // AD), maka

Luas segitiga  PBA                                    = luas segitiga  BPD

Luas segitiga PBF + luas segitiga PFA   = luas segitiga PBF + luas segitiga BFD

               Jadi, Luas segitiga PFA             = luas segitiga BFD

 

Perhatikan segitiga  CPD  !

Luas segitiga CPE  = luas segitiga PED (karena  panjang CE = ED)   

                                    = luas segiempat PEBF + luas segitiga BFD

                                    = luas segiempat PEBF + luas segitiga PFA

                                    = luas segiempat PABE  (yang harus ditunjukkan)

 Soal Kedua:

Soal sederhana untuk siswa SMP kelas IX.

Diketahui ABCD persegipanjang, dan AC garis diagonal seperti tampak pada gambar.

Jika luas persegipanjang FGBH = 37 satuan luas, berapakah luas persegipanjang DEFI ?

  

 Sebaiknya anda coba jawab dulu,  sebelum melihat pembahasan !

Perhatikan gambar berikut:

CARA  I : (Dengan sifat 2 segitiga sebangun)

Karena segiempat FGBH persegipanjang, maka GI // BC dan EH // AB, maka

Besar sudut FAG =  Besar sudut CFH (sudut sehadap)

Besar sudut FGA =  Besar sudut CHF = 90⁰ (sudut sehadap), sehingga

Segitiga  AGF sebangun dengan segitiga FHC , akibatnya

AG x CH = FG x FH

EF x IF = luas persegipanjang FGBH (karena AG=EF dan CH = IF)

luas persegipanjang DEFI = luas persegipanjang FGBH = 37 satuan luas

CARA  II : (Dengan menggunakan sifat Diagonal Persegi panjang)

Diagonal suatu persegipanjang membagi dua persegipanjang menjadi dua bagian segitiga yang sama luasnya, sehingga dapat kita tulis :

Luas  segitiga  ADC = luas segitiga ABC

Luas Δ AEF + luas Δ FIC + luas persegipanjang DEFI =  Luas Δ AGF + luas Δ FHC + luas persegipanjang FGBC

Karena ,  luas Δ AEF = Luas Δ AGF  , dan  luas Δ FIC = luas Δ FHC  ,  maka

luas persegipanjang DEFI =   luas persegipanjang FGBC = 37 satuan luas

Soal Kedua merupakan kajian yang dibahas Euclid’s dalam bukunya The Elements.

Semoga  menambah sedikit wawasan anda tentang Geometri Euclids